2. predavanje iz EMP

Obravnavamo 4 naboje \( e_1, e_2, e_3 \) in \( e_4 \) s svojimi radij vektorji \( \vec{r}_1, \vec{r}_2, \vec{r}_3 \) in \( \vec{r}_4 \). Če dodamo nov naboj \( e \) z radij vektorjem \( r \), bo sila nanjega vsota sil vseh ostalih nabojev

\[ \vec{F} \left( \vec{r} \right) = \sum\limits_i^{} \frac{e e_i}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\left( \vec{r} - \vec{r}_i \right)}{\left| \vec{r} - \vec{r}_i \right| ^3} \]

Celotna elektrostatika je odvisna od zgolj parskih interakcij (interakcij dveh delcev) - ang. two body interaction. Obstaja, vendar ne pri elektrostatiki, tudi multi-body interaction.

Celotna sila je kar vsota parskih prispevkov sil med posameznima dvema nabojema - temu, da je sila vsota parskih prispevkov sil, pravimo princip superpozicije. Enako velja za električno polje in potencial

\[ \vec{E} \left( \vec{r} \right) = \sum\limits_i^{} \frac{e_i}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\left( \vec{r} - \vec{r}_i \right)}{\left| \vec{r} - \vec{r}_i \right| ^3}, \quad \phi \left( \vec{r} \right) = \sum\limits_i^{} \frac{e}{4 \pi \epsilon_0} \frac{1}{\left| \vec{r} - \vec{r}_1 \right|} \]

Električno polje in potencial sta aditivna.

Električni naboj je pogosto porazdeljen - bodisi površina, volumen, … Pogosto je uporabno, da ga opišem z gostoto naboja \( \rho \left( \vec{r} \right) \).

Gostoto naboja lahko opišemo diskretno z enačbo

\[ \rho \left( \vec{r} \right) = \sum\limits_i^{} e_i \delta_i ^3 \left( \vec{r} - \vec{r}_i \right) \]

Z \( \delta \) funkcijo opišemo lokalizacijo naboja \( e_i \). Enote nam ustrezajo, saj vemo, da je integral \( \delta \) funkcije enak

\[ \int\limits_{}^{} \delta(x) \, \mathrm{d}x = 1 \]

kar pomeni, da če ima \( \mathrm{d} x \) enote \( \mathrm{m} \), potem ima \( \delta \) funkcija v tem primeru \( \frac{1}{\mathrm{m}} \).

Gostoto naboja lahko opišemo tudi zvezno z enačbo

Preko integracije velja

\[ e = \int\limits_{}^{} \rho \left( \vec{r} \right) \, \mathrm{d} V = \int\limits_{}^{} \sum\limits_i^{} e_i \delta ^3 \left( \vec{r} - \vec{r}_i \right) \, \mathrm{d}V = \sum\limits_i^{} e_i \]

Z uporabo gostote lahko zapišemo električno silo \( \vec{F} \), električno polje \( \vec{E} \) ter električni potencial \( \phi \).

Silo na celoten naboj v polju \( \vec{E} \left( \vec{r} \right) \) zapišemo z enačbo

\[ \vec{F} = \int\limits_{}^{} \rho \left( \vec{r} \right) \vec{E} \left( \vec{r} \right) \, \mathrm{d} ^3 \vec{r} \]

Električno polje \( \vec{E} \) v integralu je zunanje električno polje.

Električno polje pa zapišemo kot

\[ \vec{E} \left( \vec{r} \right) = \int\limits_{}^{} \frac{\rho \left( \vec{r}\, ' \right)}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\left( \vec{r} - \vec{r} \, ' \right)}{\left| \vec{r} - \vec{r} \, ' \right|} \, \mathrm{d} ^3 \vec{r} \, ' \]

Uvedli smo \( \vec{r}\, ' \), saj nas zanima električno polje v točki \( \vec{r} \), vendar se naboj nahaja v nenujno različni točki \( \vec{r}\, ' \).

1. Točkast naboj ima gostoto naboja

   \[ \rho \left( \vec{r} \right) = e_0 \delta ^3 \left( \vec{r} - \vec{r} _0 \right) \]

   kjer je \( \vec{r}_0 \) položaj naboja.

2. Točkast dipol: naj bo razdalja med težiščema negativnega naboja \( e_- \) in pozitivnega naboja enaka \( d \). Radij vektor do prvega je \( \vec{r}_1 \) in do slednjega \( \vec{r}_2 \). Radij vektor do težišča točkastega dipola je \( \vec{r}_0 \).

   [vstavi skico]

   Gostoto naboja zapišemo

   \[ \rho \left( \vec{r} \right) = e \delta ^3 \left( \vec{r} - \vec{r}_1 \right) - e \delta ^3 \left( \vec{r} - \vec{r}_2 \right) \]

   Označimo razdaljo med težiščem točkastega dipola in težiščem pozitivnega naboja z \( \delta \vec{r} \), analogno pa še z negativnim nabojem \( - \delta \vec{r} \)

   Gostoto naboja zapišemo kot

   \begin{align*} \rho \left( \vec{r} \right) &= e \delta ^3 \left( \vec{r} - \left( \vec{r}_0 + \delta \vec{r} \right) \right) - e \delta ^3 \left( \vec{r} - \left( \vec{r}_0 - \delta \vec{r} \right) \right) \\ &= e \delta ^3 \left( \vec{r} - \vec{r}_0 - \delta \vec{r} \right) - e \delta ^3 \left( \vec{r} - \vec{r}_0 + \delta \vec{r} \right) \end{align*}

   Dano opazujemo v limiti \( \vec{r} - \vec{r}_0 \gg \delta \vec{r} \) in gostoto naboja razvijemo preko odvoda. Za skalarno količino bi to bilo enako

   \[ f \left( x + h \right) = f (x) + h f' (x), \]

   vendar ker operiramo z vektorji, imamo

   \[ f \left( \vec{r} + \Delta \vec{r} \right) = f \left( \vec{r} \right) + \nabla f \left( \vec{r} \right) \cdot \Delta \vec{r} \]

   Gostota naboja bo torej

   \begin{align*} \rho \left( \vec{r} \right) &= - e \delta \vec{r} \cdot \nabla \delta ^3 \left( \vec{r} - \vec{r}_0 \right) - e \delta \vec{r} \cdot \nabla \delta ^3 \left( \vec{r} - \vec{r}_0 \right) \\ &= -2 e \delta \vec{r} \cdot \nabla \delta ^3 \left( \vec{r} - \vec{r}_0 \right) \end{align*}

   Prepoznamo dipolni moment

   \[ \vec{p} = - 2e \delta \vec{r} \]

   Ne bomo računali gradienta \( \delta \) funkcije, ampak bomo pogledali v Kuščar, Kodre, kjer velja dobimo zvezo med divergenco (levo) in gradientom (najbolj desni člen).

   \begin{equation} \label{eq:2} \nabla \cdot \left( \vec{p} \cdot \delta ^3 \left( \vec{r} - \vec{r} \right) \right) = \left( \nabla \cdot p \right) \delta ^3 \left( \vec{r} - \vec{r}_0 \right) + \vec{p} \cdot \nabla \left( \delta ^3 \left( \vec{r} - \vec{r}_0 \right) \right) \end{equation}

   Divergence \( \nabla \cdot \vec{p} \) je zaradi konstantnosti \( \delta \vec{r} \) enaka \( 0 \).

   Dodatno preobrazimo gostoto naboja z zgornjo vezo

   \begin{equation} \label{eq:3} \rho \left( \dot{r} \right) = - \nabla \cdot \left[ \vec{p} \cdot \delta ^3 \left( \vec{r} - \vec{r}_0 \right) \right] \end{equation}

   kjer je količina \( \vec{p} \cdot \delta ^3 \left( \vec{r} - \vec{r}_0 \right) \) gostota dipolnega momenta ali polarizacija \( \vec{P} \).

   Enačbo \ref{eq:3} lahko zapišemo tudi kot

   \[ \rho \left( \dot{r} \right) = - \nabla \cdot \vec{P} \left( \vec{r} \right) \]

   in s tem smo pridobili povezavo med gostoto naboja in polarizacijo.

3. površinsko porazdeljen naboj: naboj je porazdeljen po tanki plasi - površini. Vpeljemo površinsko gostoto naboja

   \[ \rho \left( \vec{r} \right) = \sigma \left( \vec{u} \right) \delta \left( z - z_0 \right) \]

   kjer je \( \vec{u} \) radij vektor v dveh dimenzijah, kjer je \( z_0 \) lega te površine.

4. Volumsko porazdeljen naboj

   \[ \rho \left( \vec{r} \right) = \begin{cases} \rho_{0}; & \left| \vec{r} \right| \le a \\ 0 ; & \text{else } \end{cases} \]

5. Volumsko porazdeljeni dipoli. Polarizacija je

   \[ \vec{P} = \begin{cases} \vec{P}_0; & \vec{r} \le a \\ 0, & \text{else} \end{cases} \]

   Gostota naboja \( \rho \left( \vec{r} \right) \) je

   \[ \rho \left( \vec{r} \right) = - \nabla \cdot \vec{P} = - \nabla\cdot \left( \vec{P}_0 H \left( a - r \right) \right) \]

   kjer je \( H \) Heavisideova funkcija in je \( r \) skalar.

   Tako kot v pimeru točkastega dipola upoštevamo, da je divergenca produkta enaka

   \begin{align*} \rho \left( \vec{r} \right) &= - \nabla \cdot \left( \vec{P}_0 H \left( a - r \right) \right) \\ &= - \left( \nabla \cdot \vec{P}_0 \right) H \left( a - r \right) - \vec{P}_0 \nabla \cdot H \left( a - r \right) \\ &= \vec{P}_0 \cdot \frac{\vec{r}}{r} \delta \left( a - r \right) \end{align*}

   Neničelna gostota električnega naboja je samo na robu površine, največja na vrhu in na dnu, ob strani manjša. To je zaradi tega, ker se naboji ne izničijo.

Naj bodo naboji \( e_1, e_2, \ldots, e_i \) s pripadajočimi radij vektorji \( \vec{r}_1, \vec{r}_2, \ldots, \vec{r}_i \), ki jih zaobjamemo s sklenjeno sfero s površino \( S \). Zanima nas električni pretok skozi sklenjeno površino \( S \).

Nakazali bomo, kako se to izpelje, ostalo prepustimo Gaussu, ki je to že naredil. Za točko na sferi kaže električno polje v specifično smer, ki jo določajo naboji. Diferencial površine \( \mathrm{d} \vec{S} \) bo kazal radialno navzven.

Ta integral znamo preprosto izračunati, ko \( \vec{r}_i = 0 \). Gauss je dokazal, da ta integral velja za poljubno površino.

\[ \oint\limits_{}^{} \vec{E}_1 \, \mathrm{d} \vec{S} = \frac{e_1}{4 \pi \epsilon_0} \oint\limits_{}^{} \frac{1}{r ^2} \cdot 1 \cdot r ^2 \sin \theta \, \mathrm{d} \theta \, \mathrm{d} \phi = \frac{e_1}{\epsilon_0} \]

To velja tudi za \( \vec{r}_i \ne 0 \). Iz tega sledi, da je

Enačbo \ref{eq:4} lahko pretvorimo tudi na zvezni naboj, ki nam poda Gaussov izrek

\[ \oint\limits_{S = \partial V}^{} \vec{E} \, \mathrm{d} \vec{S} = \frac{1}{\epsilon_0} \int\limits_V^{} \rho \left( \vec{r} \right) \, \mathrm{d} ^3 \vec{r} \]

Pove nam, da je električni pretok skozi zaključeno površino enak zaobjetemu naboju.

Uporabimo izrek Gauss-Ostrogradski:

Vzamemo Gaussov izrek

\[ \oint\limits_{S = \partial V}^{} \vec{E} \, \mathrm{d} \vec{S} = \frac{1}{\epsilon_0} \int\limits_V^{} \rho \left( \vec{r} \right) \, \mathrm{d} ^3 \vec{r} \]

in upoštevamo \ref{eq:5} dobimo diferencialno obliko Gaussovega izreka

ki velja v vsaki točki.

Poissonova enačba je osnovna enačba elektrostatike, ki določa elektrostatski potencial. Upoštevamo definicijo potenciala

in jo upoštevamo v \ref{eq:7}, da dobimo Poissonovo enačbo

Imamo tudi poseben primer, ko je \( \rho = 0 \), potem imamo Laplaceovo enačbo

\[ \nabla ^2 \phi \left( \vec{r} \right) = 0 \]

ki pa mora zadostiti robnim pogojem.