3. predavanje iz EMP

Naredimo prehod iz Fourierovega prostora v normalni prostora

\[ G \left( \vec{r} - \vec{r} \, ' \right) = \iiint\limits_{}^{} \frac{e^{\mathrm{i} \vec{k} \left( \vec{r} - \vec{r} \,' \right)}}{\left( 2 \pi \right) ^3} \frac{1}{\epsilon_0 k ^2} \,\mathrm{d } ^3 \vec{k} \]

kjer smo upoštevali izračun predavanj prejšnjega tedna, da je

\[ G(k) = \frac{1}{\epsilon_0 k ^2} \]

Preidemo v sferične koordinate

\[ G \left( \vec{r} - \vec{r} \, ' \right) = \frac{1}{\left( 2\pi \right) ^3} \int\limits_0^{\infty} \int\limits_0^{\pi} \int\limits_{-1}^{1} \, \mathrm{d} \phi \, \mathrm{d} \left( \cos \theta \right) k ^2 \, \mathrm{d} k e^{\mathrm{i} k \left| \vec{r} - \vec{r} \, ' \right| \cos \theta} \frac{1}{\epsilon_0 k ^2} \]

Najlažjo integracijo je narediti po \( \phi \), kjer je rezultat samo \( 2\pi \). Uvedemo novo spremenljivko

\begin{align*} k \left| \vec{r} - \vec{r} \, ' \right| \cos \theta &= x \\ k \left| \vec{r} - \vec{r} \, ' \right| \, \mathrm{d} \left( \cos \theta \right) &= \mathrm{d} x \end{align*}

Integral tako postane lažji za izračun

\[ G \left( \vec{r} - \vec{r} \, ' \right) = \frac{1}{\left( 2 \pi \right) ^2} \int\limits_0^{\infty} \int\limits_{vstavi}^{meje} \frac{\mathrm{d} x \mathrm{d} k e^{\mathrm{i} x}}{k \left| \vec{r} - \vec{r} \, ' \right|} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0 \left| \vec{r} - \vec{r} \, ' \right|} \]

Splošna rešitev Poissonove enačbe

\[ \phi \left( \vec{r} \right) = \int\limits_{}^{} \frac{\rho \left( \vec{r} \right)}{4 \pi \epsilon_0 \left| \vec{r} - \vec{r} \, ' \right|} \, \mathrm{d} ^3 \vec{r}\, ' \]

Za električno polje samo preko relacije za električno polje \( \vec{E} \) in potencial \( \phi \)

\[ E = - \nabla \phi = - \nabla \left( \int\limits_{}^{} \frac{\rho \left( \vec{r} \, ' \right)}{4 \pi \epsilon_0 \left| \vec{r} - \vec{r} \, ' \right|} \, \mathrm{d} ^3 \vec{r} \, ' \right) = \int\limits_{}^{} \frac{\rho \left( \vec{r} \, ' \right)}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\left( \vec{r} - \vec{r} \, ' \right)}{\left| \vec{r} - \vec{r} \, ' \right|} \, \mathrm{d} ^3 \vec{r} \, ' \]

Imamo zunanje električno polje \( \vec{E} \) in zanima nas, koliko elektrostatske energije ima naboj, da je v \( \vec{E} \)? Ne zanima nas, koliko energije smo potrebovali za izdelavo zunanjega električnega polja. Na naboj deluje sila \( \vec{F} = e \vec{E} \). Izračunamo elektrostatsko energijo kot delo, ki potrebno, da naboj postavimo na dano mesto.

Zapišemo delo po definiciji

\[ \mathrm{d} A = - \vec{F} \cdot \mathrm{d} \vec{r} = - e \vec{E} \cdot \mathrm{d} \vec{r} = + e \nabla \phi \cdot \mathrm{d} \vec{r} \]

Uporabimo energijski zakon

\[ A = \int\limits_{(1)}^{(2)} \, \mathrm{d} A = W(2) - W(1) = \int\limits_{(1)}^{(2)} e \nabla \phi \cdot \mathrm{d} \vec{r} = e \phi(2) - e \phi(1) \]

Elektrostatsko energijo preproznamo kot

\[ W = e \phi \]

V primeru da imamo zvezno porazdeljen naboj, bomo gostoto električnega naboja integrirali po prostoru

\begin{equation} \label{eq:1} W = \int\limits_V^{} \rho \left( \vec{r}\, ' \right) \phi \left( \vec{r} \right) \, \mathrm{d} ^3 \vec{r} \, ' \end{equation}

To je energija naboje \( \rho \left( \vec{r} \right) \), v zunanjem električnem polju (potencialu, ki pa ga v principu ustvarjajo drugi naboji, ki so daleč stran).

Zanima nas celotna energija polja, ki ga ustvarijo izbrani naboji. Imamo poljuben volumen, ki ima gostoto električnega naboja \( \rho \left( \vec{r} \right) \). Dana gostota ustvari potencial \( \phi \left( \vec{r} \right) \).

Predstavljajmo si, da polje ni samo bilo, ampak smo ga kot glasnost na zvočnikih povečali iz tišine na maksimum. To povečanje potenciala označimo s parametrom \( \alpha \in [0, 1] \). Za poljuben \( \alpha \) zapišemo Poissonovo enačbo, kjer upoštevamo njeno lastnost linearnosti:

\[ \nabla ^2 \left( \alpha \phi \right) = -\frac{\alpha \rho \left( \vec{r} \right)}{\epsilon_0} \]

Sistemu dodamo \( \mathrm{d} \rho = \rho \mathrm{d} \alpha \) naboja. Zanima nas energija, ki je bila potrebna, da smo dodali naboj \( \mathrm{d} \rho \). Naša dejanska situacije je to, da dodajamo naboj v zunanje električno polje in zato uporabimo enačbo \ref{eq:1}

\[ \mathrm{d} W = \int\limits_{}^{} \mathrm{d} \rho \cdot a \phi \left( \vec{r} \right) \, \mathrm{d} ^3 \vec{r} = \int\limits_{}^{} \mathrm{d} \alpha \rho \left( \vec{r} \right) \alpha \phi \left( \vec{r} \right) \, \mathrm{d} ^3 \vec{r} \]

Po izračunu integrala bo celotna energija

\begin{equation} \label{eq:2} W = \int\limits_0^1 \alpha \, \mathrm{d} \alpha \int\limits_{}^{} \rho \left( \vec{r} \right) \phi \left( \vec{r} \right) \, \mathrm{d} \vec{r} \end{equation}

Enačba \ref{eq:2} je elektrostatska energija polja. Gostota električnega naboja \( \rho \left( \vec{r} \right) \) v enačbi \ref{eq:2} ustvarja potencial \( \phi \left( \vec{r} \right) \) znotraj istega integrala. V primerjavi z enačbo \ref{eq:1} je to drugače, saj je gostota električnega naboja \( \rho \left( \vec{r} \right) \) znotraj potenciala \( \phi \left( \vec{r} \right) \), ki ga ustvarjajo drugi naboji.

Zapis energije polja lahko prevedemo tudi n

\[ W = \frac{1}{2} \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \int\limits_{}^{} \int\limits_{}^{} \frac{\rho \left( \vec{r} \right) \rho \left( \vec{r} \, ' \right)}{\left| \vec{r} - \vec{r} \, ' \right|} \, \mathrm{d} ^3 \vec{r} \, \mathrm{d} ^3 \vec{r} \, ' \]

Elektrostatska energijo zapišemo z električnim poljem \( \vec{E} \)

\[ W = \frac{1}{2} \int\limits_{}^{} \rho \left( \vec{r} \right) \phi \left( \vec{r} \right) \, \mathrm{d} ^3 \vec{r} = \frac{1}{2} \int\limits_{}^{} \epsilon_0 \left( \nabla \cdot \vec{E} \right) \phi \left( \vec{r} \right) \, \mathrm{d} ^3 \vec{r} \]

kjer smo upoštevali \( \rho \left( \dot{r} \right) = \epsilon_0 \nabla \cdot \vec{E} \). Hkrati upoštevamo še relacijo \( \vec{E} = - \nabla \cdot \phi \).

Uporabimo identiteto

\[ \nabla \left( f \cdot \vec{g} \right) = \nabla f \cdot \vec{g} + f \nabla \cdot \vec{g} \]

in energija postane

\[ W = \frac{\epsilon_0}{2} \left[ \int\limits_{}^{} \nabla \cdot \left( \phi \vec{E} \right) \, \mathrm{d} ^3 \vec{r} - \int\limits_{}^{} \nabla \phi \cdot \vec{E} \, \mathrm{d} ^3 \vec{r} \right] \]

Volumnski integral lahko pretvorimo v ploskovni integral

\[ W = \frac{\epsilon_0}{2} \int\limits_{\partial V}^{} \left( \phi \vec{E} \right) \, \mathrm{d} \vec{S} + \frac{\epsilon_0}{2} \int\limits_V^{} \vec{E} \cdot \vec{E} \, \mathrm{d} ^3 \vec{r} \]

Upoštevali smo, da je \( - \nabla \phi = \vec{E} \)

Na potencial in električno polje lahko gledamo kot veliko točkastih nabojev. Potencial posameznega naboja je obratno sorazmeren z razdaljo \( \frac{1}{r} \), medtem ko električno polje pa obratno sorazmeren s kvadratom razdalje \( \frac{1}{r ^2} \). Istočasno pa tudi površina raste s kvadratom razdalje \( r ^2 \), kar pomeni, da celoten integral pada kot \( \frac{1}{r} \). V limiti, ko gre \( r \to \infty \), gre prvi integral do \( 0 \).

Energijo lahko v približku zapišemo kot

\[ W = \frac{\epsilon_0}{2} \int\limits_{}^{} E ^2 \, \mathrm{d} ^3 \vec{r} \]

Zanima nas sila na \( \rho \left( \vec{r} \right) \), ki se nahaja v zunanjem električnem polju. Zunanje električno polje je del celotnega električnega polja \( \vec{E} \left( \vec{r} \right) \). Celotno polje \( \vec{E} \) je sestavljeno iz lastnega polja, ki ga ustvari \( \rho \left( \vec{r} \right) \), in zunanjega električnega polja.

Velja

\[ \vec{F} = \int\limits_V^{} \rho \left( \vec{r} \right) \vec{E}_Z \, \mathrm{d} ^3 \vec{r} \]

Volumen je tam, kjer je \( \rho \left( \vec{r} \right) \ne 0 \).