6. predavanje iz Elektromagnetnega polja

Zamislimo si električno zanko poljubne oblike \( C \), po kateri teče tok \( I \), ki se nahaja v zunanjem magnetnem polju \( \vec{B} \). Zanko premaknemo za \( \mathrm{d} \vec{r} \). Zanima nas, koliko se je spremenila energija zanke, kar je količini dela, ki smo ga opravili.

Sila na zanko je preko definicije magnetne sile

\[ \vec{F} = \int\limits_C^{} I \, \mathrm{d} \vec{l} \times \vec{B} = I \int\limits_C^{} \hat{t} \times \vec{B} \, \mathrm{d} l, \]

kjer je \( \hat{t} \) enotski vektor na zanki. Delo, ki ga opravimo pri tem premiku, je

\begin{align*} \mathrm{d} A &= - \vec{F} \cdot \mathrm{d} \vec{r} \\ &= - I \int\limits_C^{} \left[ \left( \hat{t} \times \vec{B} \right) \cdot \mathrm{d} \vec{r} \right] \, \mathrm{d} l \\ &= - I \int\limits_C^{} \left( \mathrm{d} \vec{r} \times \hat{t} \right) \cdot \vec{B} \, \mathrm{d} l \end{align*}

\( \left(\mathrm{d} \vec{r} \times \hat{t} \right) \mathrm{d}l = \mathrm{d} S \), kjer je \( \mathrm{d} S \) diferencial površine, ki jo opiše zanka ob premiku.

Torej je delo po integriranju

\[ A = - I \int\limits_S^{} \vec{B} \cdot \mathrm{d} S = - I \phi_m \]

Magnetno energijo želimo zapisati tudi z vektorskim magnetnim potencialnim poljem

\[ A = - I \int\limits_S^{} \left( \nabla \times \vec{A} \right) \, \mathrm{d} \vec{S} = - I \int\limits_{C_2}^{} \vec{A} \cdot \mathrm{d} ^3 \vec{r} + I \int\limits_{C_1}^{} \vec{A} \cdot \mathrm{d} \vec{r}, \]

Zanko smo premaknili za \( \mathrm{d} \vec{r} \). Površina \( S \) je površina plašča valja, ki ga omejujeta zanka \( C_1 \) pred premikom in zanka \( C_2 \), ki je \( C_1 \) premaknjena za \( \mathrm{d} \vec{r} \).

Posplošimo integral z gostoto toka \( \vec{\jmath} \) preko identitete \( I \mathrm{d}\vec{r} = \vec{\jmath} \, \mathrm{d} ^3\vec{r} \)

\[ A = - \int\limits_{(2)}^{} \vec{\jmath} \cdot \vec{A} \, \mathrm{d} ^3 \vec{r} + \int\limits_{(1)}^{} \vec{\jmath} \cdot \vec{A} \, \mathrm{d} ^3 \vec{r}, \]

kjer je (2) zanka po premiku in (1) zanka pred premikom. Torej je energija \( \vec{\jmath} \) v zunanjem magnetnem polju \( \vec{A} \), ki ni odvisen od \( \vec{\jmath} \)

\begin{equation} \label{eq:1} W = - \int\limits_{}^{} \vec{\jmath} \cdot \vec{A} \, \mathrm{d} ^3 \vec{r} \end{equation}

Iz Kirchoffove enačbe vemo, da velja

\[ \vec{A} \left( \vec{r} \right) = \frac{\mu_0}{4 \pi} \int\limits_{}^{} \frac{\vec{\jmath} \left( \vec{r} \, ' \right)}{\left| \vec{r} - \vec{r} \, ' \right|} \, \mathrm{d} ^3 \vec{r} \, '. \]

Potem lahko zapišemo energijo kot

\[ W = \frac{\mu_0}{4 \pi} \int\limits_V^{} \int\limits_{V'}^{} \frac{\vec{\jmath} \left( \vec{r} \right) \vec{\jmath} \left( \vec{r} \, '\right)}{\left| \vec{r} - \vec{r} \, ' \right|} \, \mathrm{d} ^3 \vec{r} \, \mathrm{d} ^3 \vec{r} \, ' \]

Ta enačba nam pove energijo tokov \( \vec{\jmath} \) v magnetnem polju, ki ga ustvarja tok \( \vec{\jmath} \, ' \).

Zanima nas celotna energija polja/potenciala \( \vec{A} \), ki ga ustvari gostota toka \( \vec{\jmath} \). Uvedemo parameter \( \alpha \in [0, 1] \), ki spremeni magnetni vektorski potencial \( \vec{A} \) iz \( 0 \) do \( \vec{A} \). Ker gostota električnega toka \( \vec{\jmath} \) ustvari vektorski magnetni potencial \( \vec{A} \). Pri nekem \( \alpha \) gostota toka \( \hat{\jmath} = \alpha \vec{\jmath} \) ustvari polje \( \hat{A}, \left| \hat{A} \right| \le \left| \vec{A}\right| \). Opazujemo spremembo \( \hat{A} \), če povečamo gostoto toka za \( \mathrm{d} \vec{\jmath} \).

Uporabili bomo linearnost Kirchoffove enačb

\[ \nabla ^2 \left( \hat{A} \right) = \nabla ^2 \left( \vec{A} \right) = - \mu_0 \left( \vec{\jmath} \cdot \alpha \right), \]

da je sprememba energije enaka

\begin{align*} \mathrm{d} W &= \int\limits_V^{} - \mathrm{d} \vec{\jmath} \cdot \hat{A} \, \mathrm{d} ^3\vec{r} && \mathrm{d} \vec{\jmath} = \vec{\jmath} \, \mathrm{d} \alpha; \ \hat{A} = \alpha \vec{A} \\ &= \int\limits_V^{} - \mathrm{d} \alpha \alpha \vec{\jmath} \vec{A}\, \mathrm{d} ^3 \vec{r} \\ W &= -\int\limits_0^{1} \alpha \, \mathrm{d} \alpha \int\limits_{}^{} \vec{\jmath} \cdot \vec{A} \, \mathrm{d} ^3 \vec{r} \end{align*}

iz česar sledi energija celotnega magnetnega polja

\[ W = - \frac{1}{2} \vec{\jmath} \vec{A} \, \mathrm{d} ^3 \vec{r} \]

Prejšnji izraz ne upošteva, da je za vzpostavitev toka \( \vec{\jmath} \) potrebna energija - we need some energy, da se elektroni začnejo premikati. V elektrostatiki tega ni bilo, saj nabit delec ima električno polje.

Moč je po definiciji

\[ P = - U \cdot I = - I \int\limits_{C}^{} \vec{E} \cdot \mathrm{d} \vec{r}, \]

kjer je \( C \) zanka, po kateri teče tok \( I \).

Uporabimo indukcijski zakon

\begin{align*} \int\limits_{}^{} \vec{E} \cdot \mathrm{d} \vec{r} &= - \frac{\partial }{\partial t} \int\limits_{}^{} \vec{B} \cdot \mathrm{d} \vec{S} \\ \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \end{align*}

Spreminjanje magnetnega polja skozi čas ustvarja električno polje. To pretvori integral moči v

\[ P = I \frac{\partial }{\partial t} \int\limits_{C}^{} \vec{B} \cdot \mathrm{d} \vec{S} = \frac{\partial W}{\partial t} \]

Preko te enačbo prepoznamo, da velja

\[ W = I \int\limits_{}^{} \vec{B} \cdot \mathrm{d} \vec{S} = I \int\limits_{}^{} \nabla \times \vec{A} \cdot \mathrm{d} \vec{S} = I \int\limits_{}^{} \vec{A} \cdot \mathrm{d} \vec{r} = \int\limits_{}^{} \vec{\jmath} \cdot \vec{A} \, \mathrm{d} ^3 \vec{r} \]

Celotna energija magnetnega toka je

\[ W = - \frac{1}{2} \int\limits_V^{} \vec{\jmath} \cdot \vec{A} \, \mathrm{d} ^3 \vec{r} + \int\limits_V^{} \vec{\jmath} \cdot \vec{A} \, \mathrm{d} ^3 \vec{r} = \frac{1}{2} \int\limits_V^{} \vec{\jmath} \cdot \vec{A} \, \mathrm{d} ^3 \vec{r} \]

Poudarimo, da je napram enačbi \ref{eq:1}, vektorski magnetni potencial \( \vec{A} \) ustvarjen s strani toka \( \vec{\jmath} \), s katerim je skupaj v integralu.

Celotno energijo želimo prepisati v odvisnost od \( \vec{B} \). Uporabili bomo Maxwellovo enačbo

\[ \nabla \times \vec{B} = \mu_0 \vec{\jmath}, \]

ter identiteto

\[ \nabla \cdot \left( \vec{B} \times \vec{A} \right) = \vec{A} \cdot \left( \nabla \times \vec{B} \right) - \vec{B} \cdot \left( \nabla \times \vec{A} \right). \]

Zapišemo prej povedano celotno energijo

\begin{align*} W &= \frac{1}{2} \int\limits_V^{} \vec{\jmath} \cdot \vec{A} \, \mathrm{d} ^3 \vec{r} \\ &= \frac{1}{2 \mu_0} \int\limits_V^{} \left( \nabla \times \vec{B} \right) \cdot \vec{A} \, \mathrm{d} ^3 \vec{r} \\ &= \frac{1}{2\mu_0} \int\limits_V^{} \nabla \left( \vec{B} \times \vec{A} \right) \, \mathrm{d} ^3 \vec{r} + \frac{1}{2 \mu_0} \int\limits_V^{} \vec{B} \cdot \left( \nabla \times \vec{B} \right) \, \mathrm{d} ^3 \vec{r} \\ &= \frac{1}{2\mu_0} \left[ \int\limits_V^{} B ^2 \, \mathrm{d} ^3 \vec{r} + \int\limits_{\partial V}^{} \left( \vec{B} \times \vec{A} \right) \, \mathrm{d} \vec{S} \right] \end{align*}

Rob naše prostornine \( \partial V \) je lahko v neskončnosti. Magnetno polje \( \vec{B} \) (žice) ima odvisnost \( \frac{1}{r} \). Po definiciji ima vektorski potencial odvisnost \( \frac{1}{r ^2} \). Hkrati je tudi površine našega volumna z odvisnost \( r ^2 \). Torej je celoten drugi integral obratnosorazmeren \( r \) in ko \( r \to \infty \) je integral \( 0 \).

Za divje primere, ko je žica neskončna, ima žica tudi neskončno energijo, in integral razumno divergira.

Torej zapišemo celotno energijo magnetnega polja z \( \vec{B} \) kot

\[ W = \frac{1}{2 \mu_0} \int\limits_V^{} B ^2 \, \mathrm{d} ^3 \vec{r} \]