11. predavanje iz Elektromagnetnega polja

Magnetizacija je odvisna od zunanjega magnetnega polja

\[ \vec{M} = \vec{M} \left( \vec{H} \right) . \]

Tej enačbi pravimo konstitutivna relacija, kjer je \( \vec{H} \) poljubna funkcija. Odvisnost smo zapisali s \( \vec{H} \), saj je magnetizacija povezana s snovjo. V izotropni homogeni snovi in za šibka polja velja

\begin{equation} \label{eq:1} \vec{M} = \chi_M \vec{H} + o \left( H ^2 \right), \end{equation}

kjer je \( \chi_M \) magnetna susceptibilnost.

Uvedemo tudi magnetno permeabilnosti \( \mu \), ki je definirana kot

\[ \chi_M = \mu- 1. \]

Potem preko linearne konstitutivno relacije \ref{eq:1} velja

\[ \vec{H} = \frac{\vec{B}}{\mu_0} - \chi_M \vec{H} = \frac{\vec{B}}{\mu_0} - (\mu - 1) \vec{H}, \]

iz česar sledi

\[ \vec{B} = \mu \mu_0 \vec{H}, \quad \vec{M} = \left( 1 - \frac{1}{\mu} \right) \frac{\vec{B}}{\mu_0}. \]

Poudarjamo, da to velja samo za linearno konstitutivno relacijo.

Zanima nas, kaj je vektorsko polje magnetizacije \( \vec{M} \)?

Obravnavamo Maxwellovo relacijo

\[ \nabla \times \vec{B} = \mu_0 \vec{\jmath} + \nabla \times \vec{M}. \]

Preko te enačbe zapišemo enačbo za magnetni potencial \( \vec{A} \), ki jo rešimo in rešitev primerjamo z \( \vec{A} \) magnetnega dipola. Iz tega sledi, da je magnetizacija \( \vec{M} \) je (volumska) gostota magnetnega dipolnega momenta.

Glede na magnetne lastnosti ločimo tri skupine:

• feromagnetiki imajo permanentno magnetizacijo, ki je neodvisna od zunanjega magnetnega polja. Praviloma je močno odvisna od temperature (Curiejeva temperatura)
• diamagnetiki imajo magnetizacijo samo ob prisotnosti zunanjega magnetnega polja. Magnetizacija kaže v obratno smer kot zunanje polje. Iz tega sledi, da \( \chi_M < 0 \). Superprevodnik je idealni diamagnet. Drugače reda \( 10^{-5} \).
• paramagnetiki imajo magnetizacijo samo ob prisotnosti zunanjega polja in kaže v smeri polja - efektivno ga ojačuje.

Kontinuitetna enačba (ohrani obliko)

\[ \frac{\partial w}{\partial t} + \nabla \cdot \vec{P} + \vec{\jmath}\cdot \vec{E} = 0, \]

(definiraj, kaj so posamezni členi)

kjer pa zdaj

\[ w = \int\limits_0^{\vec{D}} \vec{E} \left( \vec{D} \right) \, \mathrm{d} \vec{D} + \int\limits_0^B \vec{H} \left( \vec{B} \right) \, \mathrm{d} \vec{B} \]

gostota energije.

\[ \vec{\mathcal{P}} = \vec{E} \times \vec{H} \]

pa je posplošen Poyntingov vektor.

Zanima nas, kolikšna je razlika energije elektromagnetnega polja, če damo v del prostora snov, za katero velja \( \epsilon = 1 \) in \( \mu = 1 \).

Energija električnega polja je

\begin{align*} W - W_0 &= \int\limits_V^{} \left( \int\limits_0^D \vec{E} \left( \vec{D} \right) \, \mathrm{d} \vec{D} \right) \, \mathrm{d} ^3 \vec{r} - \int\limits_V^{} \left( \int\limits_0^{D_0} \vec{E}_0 \left( \vec{D}_0 \right) \, \mathrm{d} \vec{D}_0 \right) \, \mathrm{d} ^3 \vec{r} \\ &= \frac{1}{2} \int\limits_V^{} \vec{E} \cdot \vec{D} \, \mathrm{d} ^3 \vec{r} - \frac{1}{2} \int\limits_V^{} \vec{E} _0 \cdot \vec{D}_0 \, \mathrm{d} ^3 \vec{r} \end{align*}

Pri računanju notranjih integralov smo upoštevali linearno konstitutivno zvezo. Prvi integral je polje, ko prostor vsebuje snov, drugi integral pa je energija praznega prostora. Razliko energij prepišemo v

\[ W - W_0 = \frac{1}{2} \int\limits_V^{} \left( \vec{E} \cdot \vec{D}_0 - \vec{E}_0 \cdot \vec{D} \right) \, \mathrm{d} ^3 \vec{r} + \frac{1}{2} \int\limits_{}^{} \left( \vec{E} + \vec{E}_0 \right) \left( \vec{D} - \vec{D}_0 \right) \, \mathrm{d} ^3 \vec{r} \]

Predpostavimo, da se zunanji izvori ne spremenijo \( \rho = \rho_0 \) in velja

\[ \nabla \cdot \left( \vec{D} - \vec{D}_0 \right) = 0. \]

Vsoto jakosti električnih polj \( \vec{E} + \vec{E}_0 \) zapišemo s potencialom \( \phi \).

Drugi integral se tako pretvori

\begin{align*} \frac{1}{2} \int\limits_{}^{} \left( \vec{E} + \vec{E}_0 \right) \left( \vec{D} - \vec{D}_0 \right) \, \mathrm{d} ^3 \vec{r} &= \frac{1}{2} \int\limits_{}^{} \nabla \phi \left( \vec{D} - \vec{D}_0 \right) \, \mathrm{d} ^3 \\ &= - \frac{1}{2} \int\limits_{}^{}\nabla \cdot \left( \phi \left( \vec{D} - \vec{D}_0 \right) \right) \, \mathrm{d} ^3 \vec{r} + \frac{1}{2} \int\limits_{}^{} \underbrace{\nabla \cdot \left( \vec{D} - \vec{D}_0 \right)}_{= 0} \phi \, \mathrm{d} ^3 \vec{r} \end{align*}

Preostal integral po volumnu prevedemo na površinski integral. Za slednji integral sledi, da je predpostavki končne snovi, daleč stran od nje \( \vec{D} = \vec{D}_0 \), iz česar sledi, da je integral ničeln.

Če je prostor izven snovi vakuum, sledi

\[ W - W_0 = \frac{1}{2} \int\limits_V^{} \epsilon_0 \left( \epsilon - 1 \right) \vec{E}_0 \vec{E} \, \mathrm{d} ^3 \vec{r} = -\frac{1}{2} \int\limits_V^{} \vec{P} \cdot \vec{E}_0 \, \mathrm{d} ^3 \vec{r} \]

\( \vec{E}_0 \) predstavlja električno polje brez snovi, medtem ko je \( \vec{P} \) polarizacija v snovi.

Razlika energij magnetnega polja ob linearni konstitutivni relaciji velja

\begin{align*} W - W_0 &= \frac{1}{2} \int\limits_V^{} \vec{H} \cdot \vec{B} \, \mathrm{d} ^3 \vec{r} - \frac{1}{2} \int\limits_V^{} \vec{H}_0 \cdot \vec{B}_0 \, \mathrm{d} ^3 \vec{r} \\ &= \frac{1}{2} \int\limits_V^{} \left( \vec{B} \cdot \vec{H}_0 - \vec{B}_0 \cdot \vec{H} \right) \, \mathrm{d} ^3 \vec{r} + \frac{1}{2} \int\limits_{V}^{} \left( \vec{B} + \vec{B}_0 \right) \left( \vec{H} - \vec{H}_0 \right) \, \mathrm{d} ^3 \vec{r} \end{align*}

Ob predpostavkah, da

• so tokovni izviri nespreminjajoči in
• snov je končna

\[ W - W_0 = \frac{1}{2} \int\limits_V^{} \mu_0 \left( \vec{\mu}- 1 \right) \vec{H} \cdot \vec{H}_0 \, \mathrm{d} ^3 \vec{r} = \frac{1}{2} \int\limits_{}^{} \vec{M} \cdot \vec{B}_0 \, \mathrm{d} ^3 \vec{r} \]

Definirali smo Cauchyjevo kontinuitetno enačbo za gibalno količino in linearni konstitutivni relaciji.

\[ \frac{\partial g_{i}}{\partial t} - \frac{\partial T_{ik}}{\partial x_{k}} + f_i = 0, \]

kjer je zdaj

\[ \vec{g} = \vec{D}\times \vec{B} \]

gostota gibalne količine. Napetostni tenzor \( \underline{T} \) pa je

\[ T_{ik} = E_i D_k - \frac{1}{2} \left( \vec{E} \cdot \vec{D} \right) \delta_{ik} + B_i H_k - \frac{1}{2} \left( \vec{B} \cdot \vec{H} \right) \delta_{ik} \]

Za poljubne konstitutivne relacije ni nujno, da še lahko uvedeš napetostni tenzor. Ni možno napisati oblike

\[ \frac{\partial \vec{g}}{\partial t} = \nabla \cdot \left( \ \_ \ \right) , \]

zato se pogosto uvaja približne zapise napetostnega tenzorja.

[vstavi skico]

V diferencialni obliki velja

\[ \nabla \cdot \vec{B} = 0 \iff \int\limits_{}^{} \nabla \cdot \vec{B} \, \mathrm{d} ^3 \vec{r} = 0 \]

Iz volumnskega integrala velja

\[ 0 = \int\limits_V^{} \nabla \cdot \vec{B} \, \mathrm{d} ^3 \vec{r} = \oint\limits_{\partial V}^{} \vec{B} \cdot \mathrm{d} \vec{S} \]

Izberemo valjast volumen, katerega osnovni ploskvi sta vsaka v svoji snovi. Osnovna ploskev v snovi 1 ima normalo \( \vec{n}_1 \), osnovna ploskev v snovi 2 pa ima normalo \( \vec{n}_2 \). Obe normali kažeta v snov. Predpostavimo majhno višino valja \( \mathrm{d} l \).

\begin{align*} 0 &= \int\limits_{(1)}^{} \vec{B}_1 \cdot \vec{n}_1 \, \mathrm{d} S + \int\limits_{(2)}^{} \vec{B}_2 \cdot \vec{n}_2 \, \mathrm{d} \vec{S} + \int\limits_{\text{plasc}}^{} \vec{B}_{pl} \cdot \vec{n}_{pl} \, \mathrm{d} S && \mathrm{d}l \to 0 \\ &= \int\limits_{(1)}^{} \vec{B}_1 \vec{n}_1 \, \mathrm{d} S + \int\limits_{(2)}^{} \vec{B}_2 \cdot \vec{n}_2 \, \mathrm{d} S \end{align*}

Torej

\[ \vec{B}_1 \cdot \vec{n}_1 + \vec{B}_2 \cdot \vec{n}_2 = 0 \implies B_{1n} - B_{2n} = 0. \]