14. predavanje iz Elektromagnetnega polja
Table of Contents
1. Naslov
Na prejšnjem predavanju smo dobili transformirane količine v sistemu, ki se premika s svetlobno hitrostjo. Transformirane komponente električnega polja so
\begin{align*} E_x &= E_{x'} ' \\ E_y &= \gamma \left( E_{y'}' + v B_{z'} ' \right) \\ E_z &= \gamma \left( E_{z'}' - v B_{y'} ' \right), \end{align*}kjer je sistem s črtico premikajoči se sistem. Transformirane komponente magnetnega polja pa so
\begin{align*} B_x &= B_{x'}' \\ B_y &= \gamma \left( B_{y'}' - \frac{v}{c ^2} E_{z'}' \right) \\ B_z &= \gamma \left( B_{z'}' + \frac{v}{c ^2} E_{y'}' \right) \\ \end{align*}Sledeče ima dve posledici.
Prva posledica je, da je skalarni produkt invarianten - koti med poljema \( \mathbf{E} \) in \( \mathbf{B} \) se ohranjajo.
\begin{align*} \mathbf{E} \cdot \mathbf{B} &= E_x B_x + E_y B_y + E_z B_z \\ \mathbf{E}' \cdot \mathbf{B} '&= E_{x'}' B_{x'}' + \gamma ^2 \left( 1 - \frac{v ^2}{c ^2} \right) E_{y'}' + B_{y'}' + \gamma \left( 1 - \frac{v ^2}{c ^2} \right) E_{z'}' B_{z'}' . \end{align*}Druga posledica je to, da ima v praznem prostoru rešitev Maxwellove enačbe enako obliko - obliko ravnega vala - veliko polj pa sta odvisni od sistema.
\[ E ^2 - c ^2 B ^2 = E' ^2 + c ^2 B ' ^2. \]
Poteka pretakanje iz enega polja v drugo in ni več ločeno na magnetno in električno polje.
1.1. Prostor Minkovskega
Ideja je, da se teorijo relativnosti formulira s štirivektorji, ki pri posebni teoriji relativnosti (PTR) sledijo metriki Minkovskega. Pri splošni teoriji relativnosti pa je metrika odvisna od porazdelitve mase.
Štirivektor dogodka je
\[ x_{\mu} = (x, y, z, ct). \]
Indeks \( \mu \) spodaj zavzema vrednosti \( 1 - 4 \) in označuje kovariantni vektor.
Štirivektor dogodka z indeksom zgoraj
\[ x^{\mu} = (x, y, z, - ct), \]
označuje kontravariantni vektor.
Lorentzova transformacija ohranja skalarni produkt
\[ x_{\mu} x^{\mu} = x' _{\mu} x'^{\mu}. \]
Zanima nas, kako bi elektromagnetno polje zapisali s četverci.
1.2. Štirivektor gostote toka
1.2.1. Gostota naboja in Lorentzova transformacija
Naboj mora biti invarianten na Lorentzovo transformacijo, saj bi drugače s prehajanjem med sistem pridobivali ali izgubljali naboj.
Torej velja
\[ e = \int\limits_V^{} \rho \, \mathrm{d} ^3 \mathbf{r} = \int\limits_{V'}^{} \rho' \mathrm{d} ^3 \mathbf{r}'. \]
Gostota naboja \( \rho \) se nahaja v sistemu \( S \), medtem ko je \( \rho' \) v sistemu \( S' \). Ob upoštevanju, da velja
\[ \mathrm{d} ^3 \mathbf{r} = \mathrm{d} x \mathrm{d} y \mathrm{d} z = \mathrm{d} ^3 \mathbf{r} ' = \mathrm{d} x' \mathrm{d} y' \mathrm{d} z' = \gamma \mathrm{d} x \mathrm{d} y \mathrm{d} z, \]
enakost postane
\[ e = \int\limits_V^{} \rho \mathrm{d} x \mathrm{d} y \mathrm{d} z = \int\limits_{V'}^{} \rho' \gamma \mathrm{d} x \mathrm{d} y \mathrm{d} z. \]
Sledi
\[ \rho' = \frac{\rho}{\gamma}. \]
Zaključimo lahko, da je \( \frac{\rho}{\gamma} \) invariantna količina na Lorentzovo transformacijo.
1.2.2. Štirivektor gostote toka
V treh dimenzijah je bila gostota toka zapisana kot
\[ \mathbf{j} = \rho \mathbf{v}. \]
Uvede se ga kot
\[ j_{\mu} = \frac{\rho}{\gamma} u_{\mu} = \frac{\rho}{\gamma} (\gamma_v, \gamma_c). \]
Sledi, da sta kovariantni in kontravariantni vektor enaka
\[ j_{\mu} = \left( \mathbf{j}, \rho c \right) \quad \text{ in } \quad j^{\mu} = \left( \mathbf{j}, - c \rho \right). \]
Gostoto toka smo uvedli kot pravi štirivektor, iz česar sledi, da zanj velja Lorentzova transformaija
\begin{align*} j_x ' &= \gamma \left( j_x - \beta c \rho \right) \\ j_y ' &= j_y \\ j_z ' &= j_z\\ c \rho' &= \gamma \left( c \rho - \beta j_x \right) \end{align*}Invarianca ima obliko
\[ j_{\mu} j^{\mu} = \mathbf{j} \cdot \mathbf{j} - c ^2 \rho ^2. \]
Če na invarianco delujemo z \( \frac{\partial }{\partial x^{\mu}} \), iz česar sledijo stvari kot so npr. kontinuitetna enačba
\[ \nabla \cdot \mathbf{j} - \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0. \]
Razcep štirivektorja toka je relativen, odvisen, od gostote naboja in gotota toka je odvisn od sistema.
1.3. Štirivektor elektromagnetnega potenciala
Spomnimo se Riemann-Lorentzovbih enačb za magnetni vektorski potencial \( \mathbf{A} \) in \( \phi \).
\[ \nabla ^2 \phi - \frac{1}{c ^2} \frac{\partial ^2 \phi}{\partial t ^2} = - \frac{\rho}{\epsilon_0} \quad \text{ in } \quad \nabla ^2 \mathbf{A} - \frac{1}{c ^2} \frac{\partial ^2 \mathbf{A}}{\partial t ^2} = - \mu_0 \mathbf{j}. \]
Uvedemo D’Alembertov operator \( \square ^2 = \partial_{\mu} \partial^{\mu} = \left( \nabla, - \frac{\partial }{\partial (ct)} \right) \left( \nabla, \frac{\partial }{\partial (tc)} \right) \). Drugače zapišemo
\[ \square ^2 \phi = - \frac{\rho}{\epsilon_0} \quad \text{ in } \quad \square ^2 \mathbf{A} = - \mu_0 \mathbf{j} \]
Električna gostota naboja in gostota toka tvorita četverca in pričakujemo, da tudi \( \mathbf{A} \) in \( \phi \) tvorita četverec. Štirivektor elektromagnetnega potenciala je
\[ A_{\mu} = \left( \mathbf{A}, \frac{\phi}{c} \right) \quad \text{ in } \quad A^{\mu} = \left( \mathbf{A}, - \frac{\phi}{c} \right). \]
Torej lahko Riemann-Lorentzove enačbe zapišemo v manifestno Lorentzovi invariantni obliki kot
\[ \square ^2 A_{\mu} = - \mu_0 j_{\mu} \quad \text{ oziroma } \quad \square A^{\mu} = - \mu_0 j^{\mu}. \]
Ker uvedemo \( \mathbf{A} \) kot pravi štirivektor, zanj ponovno velja Lorentzova transformacija.
\begin{align*} A_x ' &= \gamma \left( A_x - \beta \frac{\phi}{c} \right) \\ A_y' &= A_y \\ A_z ' &= A_z \\ \frac{\phi '}{c} &= \gamma \left( \frac{\phi}{c} - \beta A_x \right) \end{align*}Invariantna je enaka
\[ A_{\mu} A^{\mu} = A ^2 - \frac{\phi ^2}{c ^2} \]
Razcep \( A_{\mu} \) na \( \mathbf{A} \) in \( \phi \) je ponovno odvisen od sistema. Z drugimi besedami je relativen.
1.3.1. Schwartzschildova invarianta v relativistični dinamiki
Želimo zapisati Lagrangeev člen za nabite delce v zunanjem polju v relativistični obliki. In sicer
\[ - \int\limits_{}^{} \left( \rho \phi + \mathbf{j} \cdot \mathbf{A} \right) \, \mathrm{d} ^3 \mathbf{r} \, \mathrm{d} t = \int\limits_{}^{} A_{\mu} j^{\mu} \, \mathrm{d} ^4 x_{\mu} = \int\limits_{}^{}A^{\mu} j_{\mu} \, \mathrm{d} ^4 x^{\mu}. \]
kjer sta \( \phi \) in \( \mathbf{A} \) zunanja potenciala.
1.4. Kovariantni tenzor elektromagnetnega polja
Zanima nas, kakšen je kovarianten ( = manifestno invarianten na Lorentzovo transformacijo) zapis osnovnih polj \( \mathbf{E} \) in \( \mathbf{B} \), saj so bile transformacije nestandardne.
Pri izpeljavi nam bosta prav prišli identiteti
\[ \mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A} \quad \text{ in } \mathbf{E} = - \nabla \phi - \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} \]
ter, da se zavedamo
\[ A_{\mu} = \left( \mathbf{A}, \frac{\phi}{c} \right) \quad \text{ in } \quad \frac{\partial }{\partial x^{\mu}} = \left( \nabla, \frac{\partial }{\partial (ct)} \right) \]
\begin{align*} E_x &= - c \frac{\partial \frac{\phi}{c} }{\partial x} + c \frac{\partial A_{x}}{\partial (-ct} \\ &= -c \frac{\partial A_{4}}{\partial x^{1}} + c \frac{\partial A_{1}}{\partial x^{4}} \end{align*}Poglejmo še za \( B_x \), ki je po definiciji
\[ B_x = \frac{\partial A_{z}}{\partial y} - \frac{\partial A_{y}}{\partial z}. \]
V jeziku četvercev je \( A_z = A_3, y = x^2, A_y = A_2 \) in \( z = x^3 \).
Sledi torej
\[ B_x = \frac{\partial A_{3}}{\partial x^{2}} - \frac{\partial A_{2}}{\partial x^{3}}. \]
Obe komponenti se izvažata kot “nekakšen štiri dimenzionalni rotor”.
V treh dimenzijah je
\[ \left( \nabla \times \mathbf{c} \right)_i = \epsilon_{ijk} \frac{\partial c_{j}}{\partial x_{k}}. \]
Na osnovi tega razmisleka uvedemo tenzor elektromagnetnega polja
\[ F_{\mu \nu} = \frac{\partial A_{\nu}}{\partial x^{\mu}} - \frac{\partial A_{\mu}}{\partial x^{\nu}} = \partial_{\mu} A_{\nu} - \partial_{\nu} A_{\mu}, \]
ki je antisimetričen.
Zapisali smo že \( B_x = F_{23} \) in \( F_{14} = \frac{- E_x}{c} \)
Obravnavamo ga po komponentah
\[ F_{\mu \nu} = \begin{bmatrix} 0 & B_z & - B_y & - \frac{E_x}{c} \\ -B_z & 0 & B_x & - \frac{E_y}{c} \\ B_y & -B_x & 0 & -\frac{E_z}{c} \\ \frac{E_x}{c} & \frac{E_y}{c} & \frac{E_z}{c} & 0 \end{bmatrix}. \]
Tenzor je antisimetričen in torej velja \( F_{\mu \nu} = - F_{\nu \mu} \). Komponente tenzorja so komponente \( \mathbf{E} \) in \( \mathbf{B} \). Tako smo polji združili v eno količino. V štirih dimenzijah postane eno polje.