13. vaje iz Elektromagnetnega polja
Table of Contents
1. Valovni vodnik iz dveh vzporednih plošč
V valovnem vodniku je širjenje ravnega elektromagnetnega vala v določeni smeri, ki jo določimo s prevodnimi mejami. Vodniki so prazni, včasih pa so lahko napolnjeni z dielektrikom.
V primeru praznega vodnika se Mawxwellove enačbe glasijo
\begin{align} \nabla \cdot \vec{E} &= 0 \label{eq:max1} \\ \nabla \times \vec{E} &= - \mu_0 \frac{\partial \vec{H}}{\partial t} \label{eq:max2}\\ \nabla \cdot \vec{H} &= 0 \label{eq:max3} \\ \nabla \times \vec{H} &= \epsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \label{eq:max4} \end{align}Z rotarizacijo enačbe \ref{eq:max1} dobimo valovni enačbi za električni tok in jakost magnetnega polja
\begin{align*} \nabla ^2 \vec{E} - \frac{1}{c_0 ^2} \frac{\partial ^2 \vec{E}}{\partial t ^2} &= 0 \\ \nabla ^2 \vec{H} - \frac{1}{c_0 ^2} \frac{\partial ^2 \vec{H}}{\partial t ^2} &= 0 \end{align*}V ravnem vodniku je smer širjenja v eni smer (v našem primeru v smeri \( z \)). Gostota naboja \( \vec{\rho} \) je pravokotna na smer širjenja neodvisno od koordinatnega sistem (kartezični, cilindrični).
Ravni val v smeri \( z \) zapišemo z
\[ \vec{E} \left( \vec{r}, t \right) = \vec{E} \left( \vec{\rho} \right) \exp \left\{ \mathrm{i} (kx - \omega t) \right\}. \]
Laplaceov operator v cilindričnih koordinatah je
\[ \nabla ^2 = \frac{\partial ^2 }{\partial z ^2} + \nabla_{\phi} ^2 = - k ^2 + \nabla_{\phi} ^2, \]
kjer smo upoštevali drugi odvod po \( z \) ravnega vala. Vrednost drugega odvod po času \( t \) ravnega vala je \( - \omega ^2 \). Dobljene vrednosti vstavimo v valovno enačbo za električno polje
\[ \left[ \nabla_{\phi} ^2 + \left( \frac{\omega ^2}{c_0 ^2} - k ^2 \right) \right] \vec{E} \left( \vec{\rho} \right) = \left[ \nabla_{\phi} ^2 + \kappa ^2 \right] \vec{E} = 0. \]
Uvedli smo \( \kappa ^2 = \frac{\omega ^2}{c_0 ^2} - k ^2 \). Enačbi se reče amplitudna enačba.
Amplitudno enačbo dobimo analogno tudi za magnetno polje
\[ \left( \nabla_{\phi} ^2 + \kappa ^2 \right) \vec{H} = 0. \]
Vsak vektor \( \vec{E} \) in \( \vec{H} \) imata v našem problem 3 komponente, kar pomeni, da imamo 6 enačb.
1.1. Točka a)
Dokazujemo, da je dovolj izračunati \( E_z \) in \( H_z \), ostale komponente se izrazijo z njima. Za dokaz bomo uporabili enačbe \ref{eq:max2} in \ref{eq:max4}. Rezultata, ki nam bosta prav prišla sta tudi prva odvoda po času \( t \) in koordinati \( z \) ravnega vala.
\[ \frac{\partial }{\partial z} \vec{E}(\vec{r}, t) = \mathrm{i} k \quad \text{ in } \quad \frac{\partial }{\partial t} = - \mathrm{i} \omega. \]
Izračunajmo sedaj rotor električnega polja:
\[ \begin{bmatrix} \frac{\partial }{\partial x} \\ \frac{\partial }{\partial y} \\ \frac{\partial }{\partial z} \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} E_{x} \\ E_{y} \\ E_{z} \end{bmatrix} = - \mu_0 \frac{\partial }{\partial t} \begin{bmatrix} H_{x} \\ H_{y} \\ H_{z} \end{bmatrix}. \]
Dobimo
\[ \begin{bmatrix} \frac{\partial E_{z}}{\partial y} - \mathrm{i} k E_y \\ \mathrm{i} k E_x - \frac{\partial E_{z}}{\partial x} \\ \frac{\partial E_{y}}{\partial x} - \frac{\partial E_{x}}{\partial y} \end{bmatrix} = \mathrm{i} \mu_0 \omega \begin{bmatrix} H_{x} \\ H_{y} \\ H_{z} \end{bmatrix}. \]
Analogno dobimo tudi z magnetnim poljem, vendar različno predznačeno
\[ \begin{bmatrix} \frac{\partial H_{z}}{\partial y} - \mathrm{i} k H_y \\ \mathrm{i} k H_x - \frac{\partial H_{z}}{\partial x} \\ \frac{\partial H_{y}}{\partial x} - \frac{\partial H_{x}}{\partial y} \end{bmatrix} = - \mathrm{i} \epsilon_0 \omega \begin{bmatrix} E_{x} \\ E_{y} \\ E_{z} \end{bmatrix}. \]
Imamo sklopljene enačbe in lahko zapišemo
\[ H_x = \frac{1}{\mathrm{i} \mu_0 \omega} \left( \frac{\partial E}{\partial y} - \mathrm{i} k E_y \right) \]
Dano vstavimo v drugo enačbo magnetnega polja
\[ \frac{1}{\mu_0} \frac{k}{\omega} \left( \frac{\partial E_{z}}{\partial y} - \mathrm{i} k E_y \right) - \frac{\partial H_{z}}{\partial x} = - \mathrm{i} \epsilon_0 \omega E_y \]
Izpostavimo iz dane enačbe \( E_y \) in dobimo
\[ E_y = \frac{\frac{\partial H_{z}}{\partial x} - \frac{1}{\mu_0} \frac{k}{\omega} \frac{\partial E_{z}}{\partial y} }{\mathrm{i \epsilon_0 \omega \left( 1 - c_0 ^2 \frac{k ^2}{\omega ^2} \right)}} \]
Po množenju števca in imenovalca z \( \frac{\omega ^2}{c_0 ^2} \) in nekaj krajšanja dobimo rezultat
\begin{equation} \label{eq:1} E_y = \frac{\mathrm{i}}{k ^2 - \frac{\omega ^2}{c_0 ^2}} \left( \mu \omega_0 \frac{\partial H_{z}}{\partial x} - k \frac{\partial E_{z}}{\partial y} \right) \end{equation}Analogno lahko tudi \( E_x \) izrazimo
\[ E_x = \frac{\mathrm{i}}{k ^2 - \frac{\omega ^2}{c_0 ^2}} \left( - \omega \mu_0 \frac{\partial H_{z}}{\partial y} - k \frac{\partial E_{z}}{\partial x} \right). \]
Enačbi za \( x \) in \( y \) komponento magnetnega polja pa sta
\[ H_x = \frac{\mathrm{i}}{k ^2 - \frac{\omega ^2}{c_0 ^2}} \left( \omega \epsilon_0 \frac{\partial E_{z}}{\partial y} - k \frac{\partial H_{z}}{\partial x} \right) \quad \text{ in } \quad H_x = \frac{\mathrm{i}}{k ^2 - \frac{\omega ^2}{c_0 ^2}} \left( - \omega \epsilon_0 \frac{\frac{\partial E_{z}}{\partial x} }{\partial y} - k \frac{\frac{\partial H_{z}}{\partial x} }{\partial x} \right) \]
Robni pogoji, ki jih potrebujemo sledijo iz enačb \ref{eq:max2} in \ref{eq:max3}. Kot že večkrat se poslužimo kvadrata ali pravokotnika na meji domene, ki jo tesno objemata.
\[ \left. E_{\parallel} \right|_{\partial } = 0 \quad \text{ in } \quad \left. H_{\perp} \right_{\partial } = 0 \]
Za lažje reševanje si izberemo, da je \( E_z \ne 0 \) in \( H_z = 0 \) ali obratno. V prvem primeru je \( H \) pravokoten na smer širjenja in pravimo, da imamo transverzalni magnetni način valovanja (TM). V drugem primeru je električno polje pravokotno na smer širjenja in imamo transverzalni električni način valovanja.
Vedno mora biti vsaj eden izmed \( z \) komponent električnega ali magnetnega polja mora biti različen od nič.
1.2. Točka b)
V navodili naloge piše, da imamo transverzalni magnetni način valovanja, iz česar sledi, da \( E_z \ne 0 \) in ga želimo izračunati.
V dveh enačbah za \( E_{x, y} \) in \( H_{x, y} \) se pojavita kombinacija tega, da imamo \( H_z \), katera vrednost je \( 0 \) in odvod po \( y \) električnega polja \( E_z \), ki je tudi ničeln. Iz enačbe \ref{eq:1} torej sledi \( E_y = 0 \) in analogno \( H_x = 0 \).
Neničelne komponente so \( E_{z, x} \) in \( H_y \).
Rešujemo enačbo
\[ \left( \frac{\partial ^2 }{\partial z ^2} + \kappa ^2 \right) E_z = 0 \]
z robnimi pogoji
\[ \left. E_z \right|_{x = 0} = \left. E_z \right|_{x = a} = 0. \]
Splošna rešitve amplitudne enačbe je
\[ E_z (x) = A \sin (\kappa x) + B \cos (\kappa x) \]
in iz robni pogojev sledi \( B = 0 \) ter
\[ \kappa_n = \frac{n \pi}{a}, \, n = 1,2,3, \ldots. \]
\( n \ne 0 \), saj bi sicer imeli rešitev - konstanto, vendar ne bi bila ciklična, kar pa mora biti.
Rešitev za en \( n \) je
\[ E_z (x) = E_{z_0} \sin (\kappa_n x), \]
splošna rešitev pa je linearna kombinacija.
S poznavanjem vrednosti, ki jih lahko \( \kappa \) zasede, ter relacijo od prej dobimo
\[ \kappa ^2 = \left( \frac{n \pi}{a} \right) ^2 = \frac{\omega ^2}{c_0 ^2} - k ^2. \]
Posledično lahko izrazimo disperzijsko relacijo, kjer pa ima vsaka vrednost \( n \) svojo vejo
\[ \omega = c_0 \sqrt{\left( \frac{n\pi}{a} \right)^2 + k ^2}, \]
ki je podobna tisti iz plazme.
Intervalu \( [0, \frac{c_0 \pi}{a}] \) se reče frekvenčna reža, kar je območje \( \omega \), v katerem širjenje valovanja ni mogoče.
Če si izberemo frekvenco \( \omega \) na npr. intervalu \( \left( 3c_0 \frac{\pi}{a}, 4c_0 \frac{\pi}{a} \right) \), bo naše valovanje sestavljeno iz kombinacije treh različnih valovanj, kar pa ni dobro za našo definiranost polj. Posledično intervalu \( \left[ c_0 \frac{\pi}{a}, 2c_0 \frac{\pi}{a} \right) \) pravimo uporabni pas, saj imamo samo en valovni vektor \( k \) za dano frekvenco \( \omega \).
Širini intervali
\[ \Delta \omega = 2 c_0 \frac{\pi}{a} - c_0 \frac{\pi}{a} = c_0 \frac{\pi}{a} \]
pravimo pasovna širina.
1.3. Točka c)
Zanima nas impedanca valovnega vodnika, ki je definirana kot
\[ Z = \frac{E_{\perp }}{H_{\parallel}}. \]
Za naš primer to pomeni
\[ Z = \frac{E_x}{H_y} = \frac{- \omega \mu_0 \frac{\partial H_{z}}{\partial y} - k \frac{\partial E_{z}}{\partial x} }{- \omega \epsilon_0 \frac{\partial E_{z}}{\partial x} - k \frac{\partial H_{z}}{\partial y} } = \frac{k}{\omega \epsilon_0} \]
\( k \) lahko nadomestimo z \( \omega \) preko disperzijske relacije
\[ k = \sqrt{\frac{\omega ^2}{c_0 ^2} - \left( \frac{n \pi}{a} \right) ^2} \]
in dobimo impedančno odvisnost od frekvence
\[ Z (\omega) = \frac{1}{\omega \epsilon_0} \sqrt{\frac{\omega ^2}{c_0 ^2} - \left( \frac{n \pi}{a} \right) ^2} = \frac{1}{c_0 \epsilon_0} \sqrt{1 - \left( \frac{c_0 n \pi}{a \omega} \right) ^2 } = Z_0 \sqrt{1 - \frac{\omega_n ^2}{\omega ^2} }. \]
\( Z_0 \) je impedanca vakuuma, ki jo izračunamo preko
\[ Z_0 = \frac{1}{c_0 \epsilon_0} = \sqrt{\epsilon_0 \mu_0 \frac{1}{\epsilon_0 ^2}} = \sqrt{\frac{\mu_0}{\epsilon_0}} = 376 \Omega. \]
V korenu prepoznamo, da so to vrednosti, ki jih lahko zasedajo naše frekvence valovanja
\[ \omega_n = \frac{c_0 n \pi}{a}. \]
Za uporabni pas, kjer \( n = 1 \) velja
\[ Z(\omega) = Z_0 \sqrt{1 - \frac{\omega_1 ^2}{\omega ^2}}. \]
1.4. TE način
V tem primeru velja, da so neničelne vrednosti \( E_y \) in \( H_{z, x} \).
Amplitudna enačba je tako
\[ \left( \frac{\partial ^2 }{\partial x ^2} + \kappa ^2 \right) H_z (x) = 0 \]
s splošno rešitvijo
\[ H_z (x) = A \sin (\kappa x) + B \cos (\kappa x). \]
Hkrati imamo tudi robni pogoj
\[ \left. H_{\perp } \right|_{\partial} = 0 \implies H_x (0) = \frac{\partial H_{z}}{\partial x} (0) = H_x (a) = \frac{\partial H_{z}}{\partial x} (a) = 0 \]
Zgornjima odvodoma pravimo normalni odvod in velja za \( \vec{H} \) v primerih vseh valovnih vodnikov. Dobimo enkaost, da je \( A = 0 \) ter
\[ \sin (\kappa a) = 0 \implies \kappa_n \frac{n \pi}{a}, \, n = 1, 2, 3, \ldots. \]
Ponovno dobimo enako disperzijsko relacijo \( \omega(k) \). Impedanca je v tem primeru definirana kot
\[ Z = \frac{E_{\parallel}}{H_{\perp }} = \frac{E_y}{H_x} = \frac{Z_0}{\sqrt{1 - \frac{\omega_n ^2}{\omega ^2}}} . \]
Graf impedance je prezrcaljen čez premico, ki jo ustvari \( Z_0 \).