14. vaje iz Elektromagnetnega polja
Table of Contents
1. Dodatek k valovnemu vodnik iz dveh vzporednih plošč
1.1. Točka d)
Imamo valovni vodnik s stranicama osnovne ploskve širine \( a \) in višine \( b \). Največkrat se izbere \( b = 2a \).
Koordinatni sistem postavimo v ravnino osnovne ploskve.
V TM načinu je valovna enačba
\[ \left( \nabla_{\perp } ^2 + \kappa ^2 \right) E_z(x, y) =0, \]
kjer je \( \nabla_{\perp } = \frac{\partial ^2 }{\partial x ^2} + \frac{\partial ^2 }{\partial y ^2} \). Velja \( H_z = 0 \). Nalogo rešujemo s separacijo spremenljivk \( E(x, y) = X(x) Y(y) \).
Nastavek vstavimo v enačbo in dobimo
\[ \frac{X''}{X} + \frac{Y''}{Y} + \kappa ^2 = 0 \, \forall x, y. \]
Dve ODE, ki ju dobimo sta
\[ X '' + \kappa_x ^2 X = 0 \quad \text{ in } \quad Y'' + \kappa_y ^2 Y = 0, \]
kjer velja \( \kappa_x ^2 + \kappa_y ^2 = \kappa ^2 \).
Robni pogoj na robu območja je
\[ \left. E_{\parallel} \right|_{\partial} = \left. E_z \right|_{\partial} = 0. \]
Robni pogoj pri \( x, y = 0 \) dobimo sinusno odvisnost \( \sin (\kappa_i i) \), kjer \( i = x, y \). Robni pogoj pri \( x, y = a \) pa dobimo vrednosti \( \kappa_i = \frac{n \pi}{j} \) za \( n = 1, 2, \ldots \) in \( j = a, b \).
Po definiciji velja
\[ \kappa ^2 = \frac{\omega ^2}{c_{0 } ^2} - k ^2. \]
Disperzijska relacija je tako
\[ \omega = c_0 \sqrt{k ^2 + \left( \frac{n \pi}{a} \right) ^2 + \left( \frac{n \pi}{b} \right) ^2} \]
V TE načinu rešujemo enačbo
\[ \left( \nabla_{\perp } ^2 + \kappa ^2 \right) H_z (x, y) = 0, \]
za katerega velja \( E_z = 0 \). Uporabimo enak nastavek \( H(x, y) = X(x) Y(y) \). Robni pogoj na robu je
\[ \left. H_{\perp } \right|_{\partial} = 0. \]
Rešitvi posamezne enačbe bosta do konstante natančno
\[ X \sim \cos (\kappa_x x) \quad \text{ in } \quad Y \sim \cos (\kappa_y y), \]
kjer je \( \kappa_x = \frac{n \pi}{a} \) ter \( \kappa_y = \frac{m \pi}{b} \). Tako \( m \) in \( n \) zasedata vrednosti \( 1, 2, \ldots \), vendar eden od njiju lahko zaseda vrednost \( 0 \), vendar ne oba hkrati. To pride iz posledice tega, da nam robni pogoj poda odvod po \( z \) in \( \cos (0) \ne 1 \).
2. Valjast valovni vodnik
2.1. Točka a)
2.1.1. TM način
Za TM način še zmeraj velja \( H_z = 0 \). Rešujemo valovno enačbo
\[ \left( \nabla_{\perp } ^2 + \kappa ^2 \right) E_z (r, \phi) = 0, \]
kjer je \( \nabla_{\perp } ^2 \) v cilindričnih koordinatah, torej
\[ \nabla_{\perp} ^2 = \frac{1}{r} \frac{\partial }{\partial r} \left( r \frac{\partial }{\partial r} \right) + \frac{1}{r ^2} \frac{\partial ^2 }{\partial \phi ^2}. \]
Ponovno uporabimo separacijo spremenljivk \( E_z (r, \phi) = R(r) \Phi (\phi) \). ODE sta podobni kot pri Laplaceovi enačbi v cilindričnih koordinatah na začetku semestra.
\[ \Phi '' + m ^2 \Phi = 0 \quad \text{ in } \quad R'' + \frac{1}{r} R'+ \left( \kappa ^2 - \frac{m ^2}{r ^2} \right) R =0. \]
Rešitve prve ODE so linearne kombinacije sinusne in kosinusne funkcije, vendar bomo kosinus zapisali kot sinus s fazo. Torej
\[ \Phi \sim \sin \left( m\phi + \phi_m \right). \]
Druga ODE je Besslova diferencialna enačba, katere rešitev je oblike
\[ R(r) = A_m J_m (\kappa r) + B_m Y_m (\kappa r), \]
kjer je \( J_m \) Besslova funkcija, \( Y_m \) pa Neumannova funkcija, ki jih zavržemo, saj divergirajo v \( r = 0 \). Splošna rešitev je tako
\[ E_z (r, \phi) = \sum\limits_{m = 1}^{\infty} A_m J_m (\kappa r) \sin (m \phi + \phi_m) \]
Robni pogoj, ki velja je
\[ E_z (a, \phi) = 0, \]
od koder dobimo
\[ J_m (\kappa a) = 0 \implies \, \kappa_m = \frac{\xi_n^{(m)}}{a}, \]
kjer je \( \xi_n^{(m)} \) n-ta ničla \( m \)-te Besslove funkcije \( J_m \).
Ker velja \( \kappa ^2 = \frac{\omega ^2}{c_0 ^2} - k ^2 \), ima disperzijska relacija obliko
\[ \omega = c_0 \sqrt{k ^2 + \left( \frac{\xi_n^{(m)}}{a} \right) ^2}. \]
Najnižja veja frekvence bo pri \( \xi_0^{(1)} \). Širina pasu bo
\[ \Delta \omega = \frac{c_0}{a} \left( \epsilon_{11} - \epsilon_{01} \right). \]
2.1.2. TE način
Za TE način velja \( E_z = 0 \) in splošna rešitev je
\[ H_z (r, \phi) = \sum\limits_{m = 1}^{\infty} A_m J_m (\kappa r) \sin (m \phi + \phi_m) \]
z robnm pogojem \( \left. H_{\perp} \right|_{\partial} = 0 \) na robu domene. Z drugimi besedami robni pogoj je
\[ \frac{\partial H_{z}}{\partial r} (a, \phi) = 0 \implies \, J_m' (\kappa a) = 0, \]
kjer vrednosti \( \kappa \) zasedajo
\[ \kappa_m = \frac{\xi_n ' ^{(m)} }{ a}, \]
kjer je \( \xi_n' ^{(m)} \) \( n \)-ta ničla odvoda \( m \)-te Besslove funkcije.
Najnižja veja je pri \( J_1 ' \), katera ničla je pri \( \epsilon_1 ' ^{(1)} = 1.84 \), druga najnižja veja pa je pri \( \xi_1 ' ^{(2)} = 3.05 \).
Širina pasu je
\[ \Delta \omega = \frac{c_0}{a} \left( \xi_1' ^{(2)} - \xi_1 ' ^{(1)} \right) \]
in disperzijska relacija
\[ \omega (k) = c_0 \sqrt{k ^2 + \left( \frac{\xi_n' ^{(m)}}{a} \right) ^2} \]
3. Valovni vodnik s presekom dela kroga.
Imamo valovni vodnik četrtine valja z radijem \( r = a \) ter \( \phi \in \left[ 0, \frac{\pi}{2} \right] \).
V TM načinu je splošna rešitev
\[ E_z (r, \phi) = \sum\limits_{m = 1}^{\infty} A_m J_m (\kappa r) \sin \left( m \phi + \phi_m \right). \]
Imamo tri robne pogoje:
- robni pogoj na obodu je \( J_m = \left( \kappa a \right) = 0 \), iz česar določimo vrednosti, ki jih zaseda \( \kappa = \frac{\xi_n^{(m)}}{a} \).
- pri \( \phi = 0 \), ki poda \( E_z (r, \phi = 0) = 0 \), iz česar sledi \( \phi_m = 0 \). To pomeni, da je kotna odvisnost oblike \( \sin (m \phi) \).
Tretji robni pogoj je pri \( \phi = \frac{\pi}{2} \), iz česar sledi \( E_z \left( r, \phi = \frac{\pi}{2} \right) = 0 \). Dobimo enačbo
\[ \sin \left( m \frac{\pi}{2} \right) = 0 \implies m = 2, 4, 6, \ldots. \]
Torej imamo manj vej.
4. TEM način v koaksialnem vodniku.
TEM način je hkrati način, kjer sta TM in TE hkrati. Velja \( E_z , H_z = 0 \). V praznem prostoru je samo to mogoče.
Veljata zvezi
\[ \nabla \times \mathbf{E} = \mathrm{i} \mathbf{k} \times \mathbf{E} \quad \text{ in } \quad \nabla \times \mathbf{H} = \mathrm{i} \mathbf{k} \times \mathbf{H}, \]
kjer so \( \mathbf{E}, \mathbf{H} \) in \( \mathbf{k} \) medseboj ortogonalni vektorji - torej definirajo nek preostor.
Iz Maxwellovih enačbi pa vemo, da velja
\[ \nabla \times \mathbf{E} = - \mu_0 \frac{\partial \mathbf{H}}{\partial t} = \mathrm{i} \omega \mu_0 \mathbf{H} \quad \text{ in } \quad \nabla \times \mathbf{H} = \epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} = - \mathrm{i} \omega \epsilon_0 \mathbf{E}. \]
Ob združitvi zgornjih enakosti s spodnjimi dobimo
\begin{equation} \label{eq:1} \mathbf{H} = \frac{\mathbf{k}}{\omega \mu_0} \times \mathbf{E} \quad \text{ in } \quad \mathbf{E} = - \frac{\mathbf{k}}{\omega \epsilon_0}\times \mathbf{H} \end{equation}Enako je kot v praznem prostoru. Dobljeno enakost za \( \mathbf{H} \) vstavimo v enakost za \( \mathbf{E} \) in dobimo
\begin{align*} \mathbf{E} &= - \frac{\mathbf{k}}{\omega \epsilon_0} \times \left( \frac{\mathbf{k}}{\omega \mu_0} \times \mathbf{E} \right) \\ &= - \frac{1}{\omega ^2 \epsilon_0 \mu_0} \left[ \mathbf{k} \left( \mathbf{k} \cdot \mathbf{E} \right) - k ^2 \mathbf{E} \right] = \frac{k ^2}{\omega ^2 \epsilon_0 \mu_0} \mathbf{E}. \end{align*}Upoštevali smo, da je skalarni produkt pravokotnik vektorjev \( \mathbf{k} \) in \( \mathbf{E} \) ničeln. Prepoznamo tudi \( \frac{1}{\epsilon_0 \mu_0} = \frac{1}{c_0 ^2} \).
Imamo enačbo
\[ \mathbf{E} \left( 1 - \frac{k ^2 c_0 ^2}{\omega ^2} \right) = 0 \implies \omega = c_0 k, \]
kar je disperzijska relacija identična praznemu prostoru.
Dobljeno disperzijsko relacijo vstavimo v valovno enačbo
\[ \left[ \nabla_{\perp } ^2 + \left( \frac{\omega ^2}{c_0 ^2} - k ^2 \right) \right] \mathbf{E} = 0 \]
in dobimo Laplaceovo enačbo
\[ \nabla_{\perp } ^2 \mathbf{E} = 0, \]
kar pomeni, da rešujemo elektrostatični problem.
Robni problemi so
\[ \left. E_{\parallel} \right|_{\partial} = 0 \quad \text{ in } \quad \nabla_{\parallel }^2 \mathbf{E} = 0. \]
Po Dirichletovem problemu je \( E_{\parallel} = 0 \), razen če imamo prostor, ki ni enostavno povezan - če ima presek valovnega vodnika luknje. V koaksialnem vodniku TEM način obtaja
4.1. Koaksialni vodnik
Imamo koaksialni vodnik z notranjim polmerom \( a \) ter zunanjim polmerom \( b \). V koaksialnem vodniku imamo plazmo, katere dielektričnost je
\[ \epsilon = 1 - \frac{\omega_p ^2}{\omega ^2}. \]
\( \omega_p \) je podana.
Zanima nas disperzijska relacija \( \omega(k) \) tega koaksialnega vodnika ter impedanca \( Z(\omega) = \frac{U}{I} \).
Iz teoretičnega uvoda velja disperzijska relacija \( \omega = ck \). Upoštevamo definicijo \( c = \frac{1}{\sqrt{\epsilon_0 \mu_0 \epsilon}} \), iz česar sledi
\[ \omega = \frac{1}{\sqrt{\epsilon_0 \mu_0 k}} k = \frac{c_0}{\sqrt{\epsilon}} k = \frac{c_0}{\sqrt{1 - \frac{\omega_p ^2}{\omega ^2}}}k \]
Enačbo kvadriramo, saj želimo izraziti \( \omega \)
\[ \omega ^2 \left( 1 -\frac{\omega_p ^2}{\omega ^2} \right) = c_0 ^2 k ^2 , \]
iz česar izrazimo disperzijsko relacijo
\begin{equation} \label{eq:2} \omega = \sqrt{ \omega_p ^2 + c_0 ^2 k ^2}. \end{equation}Dobljena vrednost je identitečna disperzijski relaciji za plazmo brez vodnika.
Pri računanju impedance se bomo morali poslužiti nekaj rezultatov iz naloge 15
\[ I = 2 \pi r H \text{ (Ampere) } \quad \text{ in } \quad U = E r \ln \frac{b}{a} \text{ (Gauss) } \]
Impedanca je po definiciji
\[ Z = \frac{U}{I} = \frac{\ln \frac{b}{a}}{2 \pi} \frac{E}{H} \]
Velikost posameznih komponent določimo iz enačbe \ref{eq:1}, ki ji dodamo dielektrično konstanto \( \epsilon \) plazme.
\[ E = \frac{k}{\omega \epsilon_0 \epsilon} H. \]
Impedanca je torej
\[ Z = \frac{\ln \frac{b}{a}}{2 \pi} \frac{k}{\omega \epsilon_0 \epsilon}. \]
Valovni vektor nadomestimo s tem, da ga izrazimo iz disperzijske relacije \ref{eq:2}
\[ k = \frac{\sqrt{\omega ^2 - \omega_p ^2 }}{c_0}. \]
Hkrati lahko tudi izraz za konstanto dielektričnosti izrazimo
\[ \epsilon \omega ^2 = \omega ^2 - \omega_p ^2. \]
Dobljeno vstavimo v impedanco in dobimo
\[ Z = \frac{\ln \frac{b}{a}}{2 \pi} \frac{1}{\epsilon_0 c_0} \frac{\omega}{\sqrt{\omega ^2 - \omega_p ^2} } . \]
Upoštevamo, da velja
\[ \frac{1}{\epsilon_0} \sqrt{\epsilon_0 \mu_0} = \sqrt{\frac{\mu_0}{\epsilon_0}} = Z_0. \]
ter izrazimo \( \omega \) iz korena. Torej velja
\[ Z = \frac{\ln \frac{b}{a}}{2 \pi} Z_0 \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{\omega_p ^2}{\omega ^2}}}. \]
Bralec lahko vidi, da impedanca divergira za \( \omega = \omega_p \).
5. Energijski tok v valovnem vodniku iz dveh vzporednih plošč
Imejmo dve vzporedni ploščí, ki sta na razdalji \( a \) oddaljeni imata med sabi. Plošči sta visoki \( b \).
Zanima nas, kateri od načinov med TEM in TM je bolj energijsko ugoden. Podano imamo magnetno polje \( \mathbf{H}_0 \), ki je vzporeden s ploščama. Energijski tok bomo dobili preko integracije Poyntingovega vektorja \( \int\limits_{}^{} \mathbf{\mathcal{P}} \cdot \mathrm{d} \mathbf{S} \).
Tako električno polje \( \mathbf{E} \) kot magnetno polje \( \mathbf{H} \) imata sinusno odvisnost. Poyntingov vektor
\[ \mathbf{\mathcal{P}} = \mathbf{E} \times \mathbf{H} \propto \sin ^2 (\omega t). \]
Za dolg čas opazovanja bomo torej vzeli povprečje \( \left\langle \sin ^2 (\omega t) \right\rangle = \frac{1}{2} \). Torej si bomo tudi ogledovali \( \left\langle \int\limits_{}^{} \mathbf{\mathcal{P}} \cdot \mathrm{d} \mathbf{S} \right\rangle \).
V TEM načinu, kjer so si \( \mathbf{E} \), \( \mathbf{H} \) in \( \mathrm{d} \mathbf{S} \) pravokotni med seboj, potem velja
\begin{align*} \left\langle \int\limits_{}^{} \mathbf{\mathcal{P}} \cdot \mathrm{d} \mathbf{S} \right\rangle &= \left\langle \int\limits_{}^{} E H \, \mathrm{d} S \right\rangle \\ &= \left\langle \int\limits_{}^{} \frac{k}{ \omega \epsilon_0} H ^2 \, \mathrm{d} S \right\rangle, \end{align*}Upoštevali smo \ref{eq:1}, kjer velja \( E = \frac{k}{\omega \epsilon_0} H \).
Energijski tok v
\[ \left\langle \int\limits_{}^{} \mathbf{\mathcal{P}} \cdot \mathrm{d} \mathbf{S} \right\rangle = \left\langle \frac{k}{\omega \epsilon_0} H ^2 a b \right\rangle = \frac{k}{\omega \epsilon_0} H_0 ^2 a b \frac{1}{2} = \frac{1}{2} Z_0 H ^2 ab. \]
Tukaj smo upoštevali, da velja
\[ \frac{k}{\omega \epsilon_0} = \frac{1}{c_0 \epsilon_0} = Z_0 . \]
Na fotografiji je TM način zgornja del, TEM pa spodnji.
\[ \left( \mathbf{E} \times \mathbf{H} \right) \cdot \mathrm{d} \mathbf{S} = E_x H_y \mathrm{d} S. \]
\( E_x \) in \( H_y \) izračunamo iz 4 enačb za komponente. Rešitev je
\[ \left\langle \int\limits_{}^{} \mathbf{\mathcal{P}} \cdot \mathrm{d} \mathbf{S} \right\rangle = \frac{1}{2} Z_0 H_0 ^2 \sqrt{1 - \frac{\omega_{min} ^2}{\omega ^2} } \cdot \frac{1}{2} ab. \]
Razmerje med TM in TEM načinu je
\[ \frac{\left\langle \int\limits_{}^{} \mathbf{\mathcal{P}} \cdot \mathrm{d} \mathbf{S} \right\rangle_{TM}}{\left\langle \int\limits_{}^{} \mathbf{\mathcal{P}} \cdot \mathrm{d} \mathbf{S} \right\rangle_{TEM}} = \frac{1}{2} \sqrt{1 - \frac{\omega_{min} ^2}{\omega ^2}} \le \frac{1}{2}. \]
Torej je TEM za polovico bolj ugoden od TM, če je možen.