Fjod Priprava Ustni

Fourierova transformacija enodimenzionalne valovne funkcije je

\[ \Psi(x, t) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int\limits_{-\infty}^{\infty} \phi(k, t) e^{-\mathrm{i} k x} \, \mathrm{d} k \]

kjer je \( k \) valovni vektor. Za \( \hbar = 1 \) velja \( k = p \). Upoštevajoč novo spremenljivko definiramo novo funkcijo

\[ \phi(p, t) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int\limits_{-\infty}^{\infty} \Psi(x, t) e^{ \mathrm{i} p x}\, \mathrm{d} x \]

Funkcijo \( \phi(p, t) \) predstavlja prostor gibalnih količin in je Fourierova inverzna transformiranka, ki je zelo podobna krajevni valovni funkciji.

Ponovimo, kaj velja za Diracovo delta funkcijo. Definirana je kot

\[ \delta(x) = \begin{cases} 0; &x \ne 0 \\ \infty; &x = 0 \end{cases} \]

kjer je singularnost pri točki \( 0 \) taka, da velja

\[ \int\limits_{-\infty}^{\infty} \delta(x) \, \mathrm{d} x = 1 \]

Zaradi lastnosti Diracove delta funkcije posplošeno velja

\[ \int\limits_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta(x - x_0) \, \mathrm{d} x = f(x_0) \]

Če za valovno funkcijo vzamemo \( \Psi(x, t) = \delta(x - x_0) \), potem prostor gibalnih količin postane

To enačbo sedaj vstavimo v krajevno funkcijo, pri kateri integriramo po \( p \) ter dobimo

\[ \Psi(x, t) = \delta(x - x_0) = \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{ \mathrm{i} p (x - x_0)} \, \mathrm{d} p \]

medtem ko za valovno funkcijo kraja velja

\[ \phi(p, t) = \delta(p - p_0) = \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{- \mathrm{i} x (p - p_0) } \, \mathrm{d} x \]

Povzeto, prirejeno in prevedeno po: (??, 2018)

Po (??, ????) je multidimenzionalna delta funkcija definirana kot

\[ \int\limits_{}^{} \, \mathrm{d} ^3 x f(\vec{x}) \delta^3 (\vec{x} - \vec{y}) = \iiint\limits_{}^{} f(x, y, z) \delta(x_1 - y_1) \delta(x_2 - y_2) \delta(x_3 - y_3) \,\mathrm{d} x_1 \mathrm{d}x_2 \mathrm{d}x_3 = f(\vec{y}) \]

Cilj, ki ga želimo doseči je to, da so vrednosti invariantne na sisteme (I know, shocker).

Iz nerelativističnega faznega prostora za en delec

\[ \frac{\mathrm{d} ^3 p_i}{\left( 2\pi \right)^3} \]

bomo stopili v relativistični prostor

\[ \frac{\mathrm{d}^4 p_i}{\left( 2\pi \right) ^4} \delta \left( p_i ^2 - m ^2 \right) \Theta(p_i ^0) \]

kjer je \( p_i ^2 = \left(p_i^0\right) ^2 - \left| \vec{p} \right| ^2\) ter \( \Theta(p_i^0) \) stopničasta funkcija.

Pri energijah naredimo isti prehod iz nerelativističnega režima \( E_i ^2 = \frac{p_i ^2}{2m} \) v relativističen režim

\[ E_i ^2 = \vec{p}_i \, ^2 + m_i ^2 \]

kjer velja \( p_i ^2 - m_i ^2 = 0 \) ter da je \( p_i^0 = E_i \).

Če vstop v relativistični prostor razpišemo

\[ \frac{\mathrm{d} p_i^0}{2 \pi} \frac{\mathrm{d} ^3 p_i}{\left( 2 \pi \right)^3} \delta \left( \left( p_i^0 \right) ^2 - E_i ^2 \right) \Theta(p_i^0) \]

in zahtevamo, da mora biti energija pozitivna \( p_i^0 = + E_i \), po integriranju po \( p_i^0 \) dobimo

\[ \frac{\mathrm{d} ^3 p}{\left( 2 \pi \right) ^3} \frac{1}{2 E_i} \]

Dobljen rezultat je Lorentz invarianten.

Ker je to FJOD in ne kvantna teorija polja, se v dokaz tega nisem preveč spuščal, vendar je tukaj dokaz, da je rezultat Lorentzovo invarianten.

Za \( n \) delcev tako fazni prostor zapišemo kot

\[ \mathrm{d} LIPS = \prod_{i = 1}^n \left[ \frac{V}{\left( 2\pi \right)^3} \frac{\mathrm{d} ^3 p_i}{\left( 2E_i \right)} \right] \]

V praksi rečemo, da imamo ravni val \( N_i e^{\mathrm{i} px } \), kjer dodamo normalizaciji dodatne faktorje

\[ N_i = \frac{1}{\sqrt{V_{n} 2 E_i}} \]

Če razširimo sipanje \( 2 \to 2 \), dobimo

\[ \frac{\mathrm{d} N_f}{V \Delta t} = \frac{1}{4 E_1 E_2 V_n ^2} \left| T_{fi } \right| ^2 \underbrace{\left( 2 \pi \right)^4 \delta^4 \left( p_1 + p_2 - p_3 - p_4 \right) \frac{\mathrm{d} ^3 p_3}{\left( 2E_3 \right) \left( 2\pi \right) ^3} \frac{\mathrm{d} ^3 p_4}{\left( 2E_4 \right) \left( 2\pi \right) ^3}}_{LIPS} \]

kar je Lorentz invariantno.

Spomnimo se zapisa za diferencial sipalnega preseka

\[ \mathrm{d} \sigma = \frac{1}{j_i n_t} \frac{\mathrm{d} N_f}{V \Delta t} \]

Člene pred matričnim elementom razširjenega sipanja skupaj z \( j_i n_t \) združimo v

kjer je \( \left| \vec{v} \right| \) relativna medsebojna hitrost.

Količina

\[ \left| \vec{p}_s \right| = \frac{s_{12}}{2 \sqrt{s}} \]

je Lorentz invariantna.

Tako tudi sledi zapis diferenciala sipalnega preseka

\[ \mathrm{d} \sigma = \frac{1}{2S_{12}} \left| T_{fi} \right| ^2 \mathrm{d} LIPS \]

Matrični element \( \left| T_{fi} \right| \) je odvisen od Lorentz invariantnih kombinacij kinematike.

Mandelstamove spremenljivke (ang. Mandelstam variables) so Lorentz invariantne količine, ki vsebujejo informacije o energiji, gibalni količini ter kotih pri sipalnem procesu. Mandelstam je leta 1958 uvedel 3 take spremenljivke:

• s-channel type, kjer je

  \[ s = \left( p_1 + p_2 \right) ^2 = \left( p_3 + p_4 \right) ^2 \]

  Spremenljivka \( s \) je zelo odvisna od mase.

  Feynmannov graf s-channel je sledeč

  

  V levem stičišču črt nastane nov virtualen delec. Črtasta črta predstavlja vmesno virtualno stanje in na koncu pri desne stičišču virtualen delec razpade.

• t-channel type, kjer je

  \[ t = \left( p_3 - p_1 \right) ^2 = \left( p_4 - p_2 \right) ^2 = q ^2 \]

  Za t-channel type je največja verjetnosti pri majhnih kotih.

  

• u-channel type, kjer je

  \[ u = \left( p_1 - p_4 \right) ^2 = \left( p_2 - p_3 \right) ^2 \]

  u-channel tipu se reče tudi crossed t-channel, saj produkti, kakor se vidi na Feynmanovem diagramu zamenjajo mesta.

  

Za Mandelstamove spremenljivke velja enakost

\[ s + t + u = \sum\limits_i^{} m_i ^2 \]

Vir slik in informacij: (??, 2025)

Matrični element \( \left| T_{fi} \right| ^2 \) pri prehodu na več delcev postane vsota

\[ \sum\limits_{}^{} \left| T_{fi} \right| ^2 \]

kjer seštevamo po možnih ohranjenih kvantnih številih (kot so spini, barve, ipd.). Če opazujemo razpad \( 2 \to 2 \), je lahko vsota npr:

\[ \left| S_1 = \frac{1}{2}; S_2 = \frac{1}{2}; S_3 = -\frac{1}{2}; S_4 = - \frac{1}{2} \right| ^2 + \left| S_1 = - \frac{1}{2}; S_2 = \frac{1}{2}; S_3 = \frac{1}{2}; S_4 = - \frac{1}{2} \right| ^2 + \ldots \]

kjer so \( S_i; \ i = 1, 2, 3, 4\) spini.

Ponavadi seštevamo po vseh možnih končnih stanjih in izpovprečimo začetna stanja.

Prost delec ali jedro s spinom lahko predstavimo preko

\[ \left| \vec{p}, s, s_3 \right\rangle \text{ ali } \left| \vec{p}, j, j_3 \right\rangle \]

ali pa z uvedbo sučnosti (ang. helicity),

\[ \left| \vec{p}, s, \lambda \right\rangle \]

kjer je sučnost projekcija spina na smer gibanja

\[ \lambda = \frac{\vec{s} \cdot \vec{p}}{\left| \vec{p} \right|} \]

Uvedemo sučnost, ker ni vedno dobre tretje osi za projekcijo spina oz. vrtilnih količin, hkrati pa je smer gibanja vedno dobra izbira.

K zapisu lahko vključimo tudi tirno vrtilno količino \( l \) in \( l_3 \). Razvoj izgleda kot

\[ \left| \vec{p}, s, s_3 \right\rangle = \sum\limits_{l, l_3}^{}c_{l, l_3} \left| \left| \vec{p} \right|, l, l_3, s, s_3\right\rangle \]

Naš zapis lahko sedaj nadgradimo na dvodelčni sistem \( \left| \vec{p}_1, \lambda_1 \right\rangle \left| \vec{p}_2, \lambda_2 \right\rangle\).

Dvodelčni sistem bi radi zapisali v CMS, torej da velja \( \left| \vec{p} \right| = \left| \vec{p}_1 \right| = \left| \vec{p}_2 \right| \), kar ponovno razvijemo po vrtilnih količinah

\[ \left| \left| \vec{p} \right|, \theta, \phi, \lambda_1, \lambda_2 \right\rangle= \sum\limits_{J, J_3}^{} \sqrt{\frac{2J + 1}{4 \pi}} D_{J_3, \lambda}^J \left( \phi, \theta, - \phi \right) \left| \sqrt{s}, \left| \vec{p}, J, J_3, \lambda_1, \lambda_2 \right| \right\rangle \]

\( D_{J_3\lambda}^J \) so matrike dimenzij \( 2j + 1 \), ki sem jih reče tudi Wigner D-matrix. Vrednosti so tabelirane. Poleg tega je \( \lambda = \lambda_1 - \lambda_2 \) je vsota spinov po osi.

\[ D_{J_3 J_3'}^J \left( \phi, \theta, - \phi \right) = e^{- \mathrm{i} \phi \left( J_3 ' - J_3 \right)} d_{J_3 J_3'}^J (\theta) \]

kjer so \( d_{J_3 J_3'}^J \) ponovno tabelirane in se jim reče Wigner’s (small) d-matrix. Za \( \lambda = 0 \), iz česar sledi \( J_3' = 0 \), in \( J \in \mathbb{Z} \) je to enako sferičnim harmonikom.

Kaj sploh je sevanje? Poznamo besedo, ampak ali jo znamo tudi razložiti? Elektromagnetno valovanje (ang. electromagnetic radiation) ali sevanje je valovanje elektromagnetnega polja, ki nosi energijo tega polja in se širi v prostoru. Zaradi elektrodinamike velja, da naboj, ki se pospešeno giblje, seva.

Da odgovorimo na vprašanje, kako bo nabit delec seval, moramo pobližje pogledati naboj, ki povzroči sevanje.

Za gostoto naboja \( \rho_e \left( \vec{r} \right) \) je električni potencial podan z integralom

kjer je \( \vec{r} \) oddaljenost od naboja ter \( \vec{r}\, ' \) radij naboja. Ker opazujemo sevanje nabitega delca, pomeni, da bomo oddaljeni od njega. Torej \( \vec{r}\, ' \ll \vec{r} \).

Z \( R = \frac{r'}{r} \) ter \( \epsilon = R ^2 - 2R \cos \theta \), lahko imenovalec

\[ \frac{1}{\left| \vec{r} - \vec{r}\,' \right|} = \frac{1}{r} \frac{1}{\sqrt{1 + \epsilon}} \]

razvijemo v potenčno vrsto \( \sum\limits_{n =0}^{\infty} c_n R^n \), kjer so koeficienti Legendrovi polinomi \( P_L \left( \cos \theta \right) \).

Torej imenovalec zapišemo kot

\[ \frac{1}{r} \frac{1}{\sqrt{1 + \epsilon}} = \frac{1}{r} \sum\limits_{l = 0}^{\infty} \left( \frac{r'}{r} \right)^l P_l \left( \cos \theta \right) \]

kar vstavimo v definicijo potenciala \ref{eq:8}. Posamezne člene zaporedja lahko pointegriramo in pridobimo informacije o tem, kakšne lastnosti imajo posamezni poli. Dobimo, da monopolnemu momentu pada elektično polje z \( \frac{1}{r ^2} \). Dipolnemu momentu pada električno polje z \( \frac{1}{r ^3} \), kvadropolnemu z \( r^{- 4} \), itd.

Naj spomnimo, da magnetno polje ne pozna monopolnega momenta (ni bil (še) odkrit).

Po razpadu \( \alpha \) ali \( \beta \) so nekateri atomi, udeleženi pri razpadu, puščeni v vzbujenem stanju \( X^{\ast} \). Vzbujena stanja preidejo v osnovno stanje \( X \) (ang. ground state) preko razpada \( \gamma \).

\[ ^A_Z X^{\ast} \to ^A_Z X + \gamma \]

Pri atomih so energije \( \gamma \) žarkov ponavadi velikostnega reda \( \mathrm{eV} \) z valovnimi dolžinami velikost \( 10^8 \mathrm{fm} \) oziroma \( 10^2 r_{\text{atom }} \). \( \gamma \) sevanje se pri atomih sprošča pri dipolnih prehodih in razpadna širina \( \Gamma \) je reda velikosti \( 10^9 \frac{1}{s} \).

Pri jedrih atomov pa so energije \( \gamma \) precej večje, tj. \( \mathrm{MeV} \) s pripadajočimi valovnimi dolžinami \( 100 \mathrm{fm} \) ali \( 25 r_{\text{jedra}} \). \( \gamma \) sevanje jedra pa se sprošča tudi pri prehodih višjih redov (multipolnih), ki so posledica gibanja nukleonov v jedru in razpadna širina je tako \( \Gamma \) okoli \( 10^{16} \frac{1}{s} \).

Ločimo dve vrsti prehodov:

1. električni (E) ter
2. magnetni (M)

Električni prehod in posledično sevanje lahko opišemo kot “nihajoč” naboj, ki povzroča oscilacije v zunanjem električnem polju. Hkrati pa velja tudi obratno, torej, da zunanje električno polje povzroča “nihajoč” naboj. Višji multipolni prehodi bodo imeli karakteristike značilne pripadajoče multipolu.

Pri magnetnem prehod pa imamo “nihanja” magnetnih momentov ali tokov, ki povzročajo oscilacije v zunanjem magnetnem polju in obratno. To povzroča magnetno sevanje.

Na dani skici imamo \( \gamma \) sevanje. V primeru, da bi jedro prešlo v ekscitirano stanje, višje energijsko stanje, bi bil foton absorpiran in bi bile puščice obrnjene ravno obratno. Začetno in končno stanje imata svojo vrtilno količino \( \vec{J} \).

[točen Feynmanov diagram]

[točkovni Feynmanov diagram]

Šibka interakcija je zaradi masivnega delca kot nosilec sila kratkega dosega, zato se jo lahko aproksimira s približkom točkaste interakcije v limiti nizkih energij. S Fermijevo konstanto \( G_F \) definiramo matrični element

\[ V_{fi} = G_F \int\limits_{}^{} \Psi^{\ast}_f \underbrace{\phi^{\ast}_e \phi^{\ast}_{\nu}}_{\phi^{\ast}_W} \Psi_i \, \mathrm{d} ^3\vec{r} = \left\langle \Psi_f \phi_e \phi_{\nu} \middle| H_{int } \middle| \Psi_i \right\rangle \]

kjer sta \( \phi_e \) in \( \phi_{\nu} \) valovni funkciji pripadajočih delcev. Fermijeva konstanta določi moč interakcije oziroma sklopitve.

Kot primer si lahko pogledamo:

• elektromagnetna interakcija ima sklopitev \( \alpha_{EM}= \frac{1}{137} \)
• močna interakcija ima sklopitev \( \alpha_s = 1 \)
• šibka interakcija ima sklopitev \( \alpha_W = \frac{g_W ^2}{4 \pi} = \frac{1}{30} \), kjer je \( g_W \approx 0.65 \)

Preko

\[ \frac{G_F}{\sqrt{2}} = \frac{g_W ^2}{8 m_W ^2} \approx \frac{\alpha_W}{m_W ^2} \approx 1.1666 \cdot 10^{-5} \mathrm{GeV} ^{-2} \]

Omenjen je Breit-Wigner, ne vem zakaj.

Razpadna širina je enaka

\[ \Gamma = \frac{1}{\tau} = \lambda = 2 \pi \left| V_{fi} \right| ^2 \gamma_f (E) \]

kjer smo v prejšnjem poglavju definirali matrični element preko Fermijevega modela. Naš model obravnavamo nerelativistično, torej ima sistem majhno energijo.

Kakor smo prej omenili, elektron in elektronski antinevtrino predstavimo z ravnima valovoma, ki sta normalizirana z volumnom

V enačbi matričnega elementa se ravna valova zmnožita in lahko uvedemo nov valovni vektor, ki predstavlja bozon \( W \):

\[ \phi_e^{\ast} \phi_{\nu}^{\ast} = \frac{1}{V_n} e^{- \mathrm{i} \vec{k} \vec{r}}, \ \vec{k} = \vec{k}_{e} + \vec{k}_{\nu} = \vec{k}_W = \vec{p}_W \]

Predpostavimo energjo elektrona z \( 1 \mathrm{MeV} \) in, ker se nahajamo se v jedru je \( R = \vec{r} = 10 \mathrm{fm} \), je zato produkt v eksponentu majhen, kar pomeni, da ga lahko razvijemo v vrsto. Sam produkt lahko tudi delimo z \( \hbar c_0 = 197 \mathrm{MeV fm} \)

Prvi integral je neodvisen od \( \vec{k} \vec{r} \). Če je različen od \( 0 \), imamo t.i. dovoljene razpade. Če je 1. člen enak \( 0 \) in drugi člen različen od \( 0 \), potem imamo enkrat prepovedan razpad. Za \( n \)-ti člen imamo tako \( n \)-krat prepovedan razpad. Integrali so skoraj konstantni - neodvisni od energije elektrona in nevtrina - bistveni prispevek faznega prostor (\( \rho_F (E_i) \)).

Členi \( \frac{\left( \vec{k} \vec{r} \right)^l}{l!} \) ustrezajo izsevanju para \( e \nu \) z vrtilno količino \( \Gamma = \hbar \sqrt{l (l + 1)} \).

Vrtilna količina jeder se ohranja, torej velja

\[ \hat{\vec{J}}_i = \hat{\vec{J}}_f + \hat{\vec{J}}_{e\nu} \]

kjer gledamo \( \hat{\vec{J}}_{e\nu} \) kot sistem in ne posamezna delca. Z drugimi besedami, bozon \( W^- \) odnese vrtilno količino jedra. Kakor smo že omenili, ima bozon \( W^- \) spin \( S_W = 1 \), kar pomeni, da ima projekcija spina lahko vrednosti \( S^3_W = -1, 0, 1 \).

Vrtilna količina bozona \( W \) je tako sestavljena iz vsote spinskega dela \( \vec{s}_{e\nu} \) ter obhodnega dela \( \vec{l} \). Spin elektrona je \( \vec{s}_e = \frac{1}{2} \) in spin antinevtrina je enak. To pomeni, da ima spinski del za sistem bozona lahko dve vrednosti, ki imata svoji imeni

\[ \vec{s}_{e\nu} = \begin{cases} 0; & \text{Fermijevi razpadi - singlet} \\ 1; & \text{Gamow-Teller razpadi - triplet} \end{cases} \]

Če se spomnimo trikotniške neenakosti za \( \vec{J}_{e\nu} \), to pomeni, da ima Fermijev razpad lahko vrednost \( \vec{J}_{e\nu} = 1 \) ter Gamow-Teller razpad vrednost \( \vec{J}_{e\nu} = l \pm 1 \).

Splošno lahko fazni prostor \( N \) delcev v končnem stanju zapišemo kot

\[ \int\limits_{}^{} \frac{\mathrm{d} ^3 p_1}{\left( 2 \pi \right) ^3} \cdot \frac{\mathrm{d} ^3 p_2}{\left( 2 \pi \right) ^3} \cdot \ldots \cdot \frac{\mathrm{d} ^3 p_N}{\left( 2 \pi \right) ^3} \delta ^{(3)} \left( \vec{p} - \sum\limits_{i = 1}^N \vec{p}_{i} \right) \]

kjer je \( \vec{p} \) začetna gibalna količina.

V primeru \( \beta \) razpada je število \( N = 3 \). Nerelativističen fazni prostor je tako za naš sistem enak

\[ \mathrm{d} N_f = V_f ^2 \frac{\mathrm{d} ^3 p_e \mathrm{d} ^3 p_{\nu}}{(2\pi) ^6} \]

Točneje določimo, da so dovoljeni izotropni razpadi, kar spremeni naš fazni prostor v

Predpostavimo tudi, da je začetna gibalna energija delca \( \vec{p} \) enaka 0, torej velja

\[ \vec{p}_j = - \vec{p}_e - \vec{p}_{\nu} \]

Upoštevati moramo tudi ohranitev energije, torej

\[ E_i = m_i (Z, A) = E_f = m(Z - 1, A) + E_e + E_{\nu} \]

kjer je vsota energij elektrona in antinevtrina razpoložljiva energija. Prav tako je diferencial začetne energija \( \mathrm{d} E_i \) enak diferencialu končne energije \(\mathrm{d} E_f \). Upoštevamo brezmasnost nevtrina, iz česar dobimo izražavo

\[ p_{\nu} = E - E_e = E_{\nu} \]

in nadalje \( \mathrm{d} p_{\nu} = \mathrm{d} E \). Fazni prostor lahko sedaj izrazimo v odvisnosti tega, s čimer smo se rešili informacij o antinevtrinu, ki ga ne zmerimo. Tako imamo sedaj samo odvisnost od elektrona in njegovih lastnosti. Gostota stanj je tako

\[ \rho_f (E) = \frac{\mathrm{d} N_f}{ \mathrm{d} E} \propto p_e ^2 \mathrm{d} p_e (E - E_e) ^2 \]

Še bolj natančno, imamo merljivo kinematiko za

\[ \frac{\mathrm{d} \rho_f (E)}{\mathrm{d} p_e} \propto p_e ^2 \left( E - E_e \right) ^2 \]

Če nas ne zanima samo odvisnost, ampak točen rezultat, vzamemo še faktorje, ki smo jih izpustili od enačbe \ref{eq:11} dalje in z upoštevanjem Fermijevega zlatega pravila dobimo

\[ \frac{\mathrm{d} \Gamma}{\mathrm{d} p_{e}} = \frac{\mathrm{d} W_{fi}}{\mathrm{d} p_e} = \frac{1}{2 \pi ^3} G_F ^2 \left| M_{fi} \right| ^2 p_e ^2 (E - E_e) ^2 \]

Dobljeni rezultat pogosto pišemo brezdimenzijsko, zato uvedemo sledeče količine:

Fermijevo zlato pravilo se tako preobrazi v

\[ \frac{\mathrm{d} \Gamma}{\mathrm{d} p} = \frac{1}{2 \pi ^3} G_F ^2 \left| M_{fi} \right| ^2 p ^2 \left( W_0 - W \right) ^2 m_e ^5 \]

oziroma

\[ \frac{\mathrm{d} \Gamma }{\mathrm{d} W} \propto \sqrt{W ^2 - 1} W \left( W_0 - W \right) ^2 = N (W) \]

[graf]

Sedaj lahko narišemo graf 9.2, ki je dodan v dodatku. Vendar, če se graf \( p \propto N(p) \) primerja z dejanskimi rezultati (bakra), opazimo, da oblika grafa je pravilna, vendar malo “šepa”. Oblika grafa “šepa” zaradi Coulumbske interakcije med delci in jedrom po razpadu. V kvantno mehanskem smislu Coulumbska interakcija spremeni ravni val elektrona, kar povzroči nove grafe.

[graf]

Da se teorija ujema z eksperimenti, uvedemo Fermi factor \( F(Z, p) \). Sklopitev sedaj ni več samo \( G_F \), ampak je produkt \( G_F \cdot F(Z, p) \). Črka \( Z \) v tem primeru označuje število protonov v hčerinskem jedru.

Razpadna širina je tako

\[ \frac{1}{\tau} = \Gamma = \frac{1}{2 \pi ^3} G_F ^2 \left| M_{fi} \right| ^2 f(z, p_0) m_e ^5 \]

kjer je

\[ f(Z, p_0) = \int\limits_0^{p_0} p ^2 F(Z, p) (W_0 - W) ^2 \, \mathrm{d} p \]

Ob risanju

\[ \left( \frac{N(p)}{p ^2 F(Z, p)} \right)^{\frac{1}{2}} \propto (W_0 - W) \]

izravnamo repe funkcij razpadov v nekaj linearnega. Rezultat je Fermi-Kurie graf (po Franz N. D. Kurie in ne Marie Curie!).

Leta 1956 sta T.D. Lee in C.N. Yang, da operacija parnosti še ni bila preizkušena na razpadu \( \beta \). Ob času sta tudi obstajala dva delca \( \tau \) in \( \theta \), ki sta bila identična v skoraj vsem - spinu, masah in razpadnem času. V čemer sta se razlikovala je bila parnost produktov po razpadu. Lee in Yang sta predpostavila, da sta to isto delca, danes znan kot \( K \) mezon, ki razpade v produkt različnih parnosti, če je operacija parnosti ni invariantna za razpad \( \beta \).

C.S. Wu in njeni sodelavci so za dokaz kršitve parnosti šibke interakcije uporabili \( \beta \) razpada \( ^{60} \mathrm{Co} \). Pri zelo nizki temperaturi (\( T \sim 0.01 K \), da ni termičnih motenj) so uskladili spine \( ^{60} \mathrm{Co } \) s tem, da so uskladili njihove magnetne momente v magnetnem polju. Z obračanjem magnetnega polja so dosegli, da so se tudi spini zasukali v nasprotno smer. Ker se je vzorec elektronskih emisij razlikoval za različno obrnjena magnetna polja.

Kobalt razpade v vzburjeno stanje niklja, ki razpade preko \( \gamma \) razpada in ob tem odda foton. Takrat se je že vedelo, da je elektromagnetna interakcija invariantna na parnost, kar je pomenilo, da so lahko preverili, kako dobro so bili spini poravnani med sabo. Porazdelitev detekcij fotona ima maksimum v smeri osi jedrovega spina. V primeru, če ne bi bilo poravnani spini, bi fotone zaznali v vseh smereh enako verjetno, tako pa jih niso.

Eksperiment je pokazal, da se v nasprotnem magnetnem polju, poveča zaznava \( \beta \) delcev v smeri obratne vrednosti spina jedra.

Spina elektrona in nevtrina kažeta v isto smer, medtem ko imata sučnosti obraten predznak, torej \( \lambda_e = -\frac{1}{2} \) ter \( \lambda_{\nu} = - \frac{1}{2} \).

Vir: Krane: Introductory Nuclear Physics, p. 312 in Wikipedia Wu 1956

Kakor smo že v prejšnjih poglavjih povedali, je sučnost definirana kot projekcija spina na smer gibanja. To posledično pomeni, da ni Lorentz invariantna, saj lahko najdemo nek sistem s tako hitrostjo, ki bo obrnil smer gibanja.

Wu eksperiment je pokazal, da se krši parnost. Če imamo dva elektron z gibalno količino \( \vec{p}_e \) in sučnostjo \( \lambda_e = - \frac{1}{2} \) ter antinevtrino z gibalno količino \( \vec{p}_{\bar{\nu}} \) in sučnostjo \( \lambda_{\nu} = \frac{1}{2} \), bo operator parnosti zamenjal smeri gibalnih količin na \( \vec{p}_e ' = \hat{P} \vec{p}_e = - \vec{p}_e \) in \( \vec{p}_{\nu} ' = \hat{P} \vec{p}_{\nu} = - \vec{p}_{\nu} \). Hkrati pa se zamenjata tudi sučnosti na \( \lambda_e = \frac{1}{2} \), kar je v redu, vendar \( \lambda_{\nu} = - \frac{1}{2} \) pa ni v redu, saj takšno stanje antinevtrina ne obstaja.

Zanima nas, če lahko značilnost sučnosti posplošimo na fermione in antifermione. Z drugimi besedami, ali za vse fermione velja \( \lambda_f = -\frac{1}{2} \) ter za vse antifermione velja \( \lambda_{\bar{f}} = \frac{1}{2} \).

Z eksperimetnom, kjer zajamemo elektron

\[ ^{152}_{63} \mathrm{Eu} + e^- \to ^{152}_{62} \mathrm{Sm}^{\ast} + \nu_e \]

pa se je izmerilo sučnost nevtrina \( \nu_e \). Reakcija poteče preko t-kanala \( W^- \) (glej. Mandelstamove spremenljivke). Meritev je, da ima nevtrino sučnost \( \lambda_{\nu} = -\frac{1}{2} \). Tako pri šibkih interakcijah dobimo, da je nevtrino \( \nu_e \) levo-sučen z \( \lambda_{\nu} = - \frac{1}{2} \) ter antinevtrino desno-sučen z \( \lambda_{\bar{\nu}} = \frac{1}{2} \).

Pion \( \pi^+ \) ima \( J^P = 0^- \) s spinom \( 0 \). Pri šibkem razpadu \( \beta \) razpade preko s-kanala \( W^+ \),

kjer je razpad v mion \( 10^3 \) krat bolj verjetenb kot razpad v pozitron. To je posledice razlike v masi, saj ima pozitron mirovno maso \( m_e = 0.5 \mathrm{MeV} \) ter mion \( m_{\mu} = 100 \mathrm{MeV} \), kar je posledica matričnega elementa pri Fermiju in kvantne mehanike.

Pri šibki interakciji velja leptop flavour universality, kar pomeni, da je šibka interakcija slepa na okus leptonov. To je znano tudi kot lepton flavour violation tests oz. s krativo LFV.

Sučnost se zaradi kršitve parnosti ne ohranja povsem pri šibkih interakcijah. Zato iščemo kvantno število, ki se ogranja pri šibkih interakcija. Uvedemo ročnost (ang. chirality), ki jo označimo z \( \Psi_R \) ter \( \Psi_L \) oziroma v Diracovi bazi \( \left| R \right\rangle \) ter \( \left| L \right\rangle \). Operator parnosti ima sledeč učinek:

\[ \hat{P}: \Psi_R \to \Psi_L \]

Pri šibkih interakcija nastopajo samo levo ročni fermioni \( f_L \) in desno-ročni antifermioni \( \bar{f}_R \). Za brezmasne fermioni, kakor so nevtrini, imata ročno in sučnost enaka stanja:

Medtem ko za masivne fermione pa velja

\[ \left| \lambda \right\rangle = a \left| L \right\rangle + b \left| R \right\rangle \]

To pomeni, da je stanje sučnosti superpozicija ročnosti.

Verjetnost, da je ročnost enaka sučnosti je \( \frac{1}{2} (1 + \beta) \) in verjetnost, da nista enaki, je \( \frac{1}{2} (1 - \beta) \).

Veljata torej enačbi

iz česar sledi

\[ \left| L \right\rangle = \sqrt{\frac{1 + \beta}{2}} \left| \lambda = - \frac{1}{2} \right\rangle + \sqrt{\frac{1 - \beta}{2}} \left| \lambda = \frac{1}{2} \right\rangle \]

Zanima nas pričakovana vrednost sučnosti pri šibkih interakcija. Fermioni pri šibki interakciji \( \beta^- \) razpada nastane v stanje levo-ročnosti \( \left| L \right\rangle \). Torej lahko iz tega izračunamo preferenčno smer

Hadrone sestavljajo kvarki \( q \) in antikvarki \( \bar{q} \). Kvarke skupaj drži močna/barvna sila. Posamezna vezana stanja morajo biti nevtralna glede na barvno silo. Nevtralnost se doseže tako, da se 3 vrste naboje \( R, G, B \) združi v neko kombinacijo skupaj s 3 antinaboji \( C, M, Y \).

Hadroni se delijo na

• barioni, ki imajo obliko \( \left\{ qqq \right\} \), ter
• mezone z obliko \( q \bar{q} \).

Mase kombinacij lahko računamo samo numerično, saj nekega preprostega modela za to ni.

Že leta 1938 so se spraševali, zakaj je proton tako stabilen in zakaj ne more razpasti preko

\[ p^+ \to e^- + \gamma \]

Zakon o ohranitvi leptonskega števila ni bil znan do leta 1953. Predlagali so zakon o ohranitvi barionskega števila. In ker je proton najlažji med barioni ne more razpasti v nič lažjega in je s tem zagarantirana njegova stabilnost. Vir: (Griffiths, David J., 2007)

Za lažjo obravnavo pri močnih in elektromagnetnih interakcijah vpeljemo barionsko kvantno število. Barion ima vrednost \( B = 1 \), njegov antidelec, antibarion, \( B = - 1 \), drugače pa je \( B = 0 \).

Schrödingerjeva enačba

\[ \frac{\partial \Psi}{\partial t} = - \frac{1}{2m} \nabla ^2 \Psi + V \left( \vec{r} \right) \Psi \]

kakor jo poznamo, ima dve težavi: ne deluje za relativistično delce ter za delce, ki imajo spin različen od \( 0 \), saj je to dodatna prostostna stopnja, ki jo moramo vzeti v zakup. Relativistični del težave reši Klein-Gordonova enačba, ki jo bomo izpeljali. Za spin \( s = \frac{1}{2} \) nam služi Diracova enačba in za spin \( s = 1 \) je Procova enačba. Kot zabavno dejstvo, po (Griffiths, David J., 2007) je Schrödinger odkril relativistično enačbo, vendar jo je opustil za nerelativistično, ko ni podala Bohrovih energijskih nivojev za vodik.

Spomnimo se, da imamo pri nerelativistični kvantni mehaniki sledeče operatorje:

Do relativistične enačbe pridemo tako, da vzamemo izraz za energijo

\[ E ^2 = \vec{p} ^2 + m ^2 \]

Nadomestimo količine z njihovimi operatorji, torej \( E \to \hat{E} \) in \( p \to \hat{p} \) ter operatorjem pustimo, da deluje na valovno funkcijo \( \Psi \).

\[ - \frac{\partial ^2 }{\partial t ^2 } \Psi = \nabla ^2 \Psi + m ^2 \Psi \]

Prestavimo vse elemente na eno stran in izpostavimo valovno funkcijo,

\[ \left( \frac{\partial ^2 }{\partial t ^2} - \nabla ^2 + m ^2 \right) \Psi = 0 \]

Če uporabimo Einsteinovo notacijo, lahko diferenciale zapišemo z

\[ \partial_{\mu} = \left( \frac{\partial }{\partial t} , \vec{\nabla} \right) \quad \partial^{\mu} = \left( \frac{\partial }{\partial t} , - \vec{\nabla} \right) \]

Tako lahko kot skalarni produkt teh dveh diferencial, definiramo d’Alembertov operator

\[ \square = \partial_{\mu} \partial^{\mu} = \frac{\partial ^2 }{\partial t ^2} - m ^2 \]

S tem zapisom je torej Klein-Gordonova enačba

\[ \left( \square + m ^2 \right) \Psi = 0 \]

Kakor povedano v poglavju Klein-Gordonova enačbe, z Diracovo enačbo rešujemo problem Schrödingerjeve enačbe z relativističnimi delci, ki imajo spin \( s = \frac{1}{2} \). Pri spopadanju s problemom je Dirac želel doseči 2 stvari: linearnost v času \( \frac{\partial \rho}{\partial t} \), kar Klein-Gordonova ni, ter kovariantna. To, da je enačba kovariantna, pomeni, da mora biti linearna v \( \nabla \). Želimo tudi, da nimamo problema z verjetnostno gostoto, torej \( \rho \ge 0 \) - to je tudi vodilo Diraca, da se je reševanja sploh lotil, saj ni želel imeti negativne verjetnostne gostote!

Kot nastavek vzamemo

\[ \mathrm{i} \frac{\partial \Psi}{\partial t} = \left( - \mathrm{i} \vec{\alpha} \cdot \vec{\nabla} + \beta m \right) \Psi = \hat{H} \Psi \]

Hkrati mora dana enačba rešiti tudi Klein-Gordonovo enačbo iz prejšnjega poglavja.

S kvadriranjem nastavka dobimo sledečo transformacijo

Želimo doseči, da se zadnja vrstica pokrajša v obliko Klein-Gordonove enačbe

\[ - \frac{\partial ^2 \Psi }{\partial t ^2} = - \sum\limits_i^{} \frac{\partial ^2 \Psi}{\partial x_i ^2} + m ^2 \Psi \]

Iz tega sklepamo, da \( \alpha_i \) in \( \beta \) za \( i = 1, 2, 3 \) niso preprosti skalarji.

Da se vmesni vsoti pokrajšata torej velja

Torej sta matriki \( \alpha_i \) in \( \beta \) antikomutatorja. Vidimo, da so \( \alpha_i \) in \( \beta \) matrike in iz zahtev po prostorskih stopnjah je najmanjša dimenzija vsaj 4. Za kvadrirane matrike velja, da so enake identiteti \( \alpha_i ^2 = I \), ter \( \beta ^2 = I \), ponovno zato da ustrezajo koeficientom Klein-Gordonove enačbe pri ustreznih členih.

Ker so naši koeficienti matrike, to pomeni, da je tudi naša valovna funkcija večkomponentni stolpični vektor \( \vec{\Psi} = \left[ \Psi_1 \, \Psi_2 \, \Psi_3 \, \Psi_4 \right]^T \). Vektorska valovna funkcija je bi-spinor

\[ \Psi = \begin{bmatrix} \phi \\ \chi \end{bmatrix} = N \omega e^{- \mathrm{i} p x} \]

kjer je

\[ \omega = \begin{bmatrix} \phi \\ \chi \end{bmatrix} \]

ter sta

Za predstavitev matrik \( \alpha_i \) in \( \beta \) najpogosteje uporabljamo Dirac-Paulijevo predstavitev

\[ \alpha = \begin{pmatrix} 0 & \sigma \\ \sigma & 0 \end{pmatrix} \quad \beta = \begin{pmatrix} I & 0 \\ 0 & I \end{pmatrix} \]

kjer \( I \) predstavlja \( 2 \times 2 \) identiteto matriko, ki jo najpogosteje zapišemo z \( 1 \), ter so \( \sigma \) Paulijeve matrike:

\[ \sigma_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \quad \sigma_2 = \begin{pmatrix} 0 & -\mathrm{i} \\ \mathrm{i} & 0 \end{pmatrix} \quad \sigma_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \]

Izbira teh matrik ni enolična, saj obstaja še mnogo dodatnih rešitev z rotacijami ozirom unitarnimi transformacijami

\[ \alpha' = U \alpha U^{-1} \quad \beta' = U \beta U^{-1} \]

kjer je \( U \) unitarna matrika. V uporabi je tako na primer tudi Weylova baza namesti Dirac-Paulijeve:

\[ \alpha' = \begin{pmatrix} -\sigma & 0 \\ 0 & \sigma \end{pmatrix} \quad \beta ' = \begin{pmatrix} 0 & I \\ I & 0 \end{pmatrix} \]

Rešitev Diracove enačbe nima pričakovanih 2 rešitev - delec, antidelec - ampak jih ima kar 4.