FJOD Vaje Teden01
Table of Contents
Na izpitih in kolokvijih imate lahko vse, razen pomivalnega stroja ne.
1. Prvi sklop nalog
1.1. 1. naloga
V vsakodnevnem življenju v EU se srečujemo s SI enotami, kjer nastopa \( \hbar = 1.546 10^{-34} \mathrm{Js} \) in \( c = 299792457 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \). V fiziki visokih energij pa se tipično uporabljajo t.i. naravne enote, kjer je \( \hbar = 1 = c_0 \). Kako pretvarjamo iz SI v naravne?
Zmnožek \( \hbar \) in \( c \):
\begin{equation} \label{eq:1} \hbar c = 3.16 \cdot 10^{-26} \mathrm{Jm} \end{equation}Spomnimo se definicije za \( 1 \mathrm{J} \), ki zmnožek naboja in napetosti, kar nam da \( 1 J = e_0 \cdot 1 \mathrm{V} = 1.6 \cdot 10^{19} \mathrm{As} \).
Z upoštevanjem definicije za Joule, sedaj zmnožek \ref{eq:1} postane
\[ \hbar c = 1.97 \cdot 10^{ -7} \mathrm{eVm} \]
Elektroni so velikosti femtometrov, ki je \( 10^{-15}m \). Tako dobimo
\begin{align*} \hbar c &= 197 10^6 \mathrm{eV m} \\ \hbar c &= 197 \mathrm{MeVfm} && \text{v jedrski fiziki} \\ \hbar c &= 0.197 \mathrm{GeVfm} && \text{v delčkarski fiziki} \\ h c &= 1240 \mathrm{eVnm} && \text{v fiziki trdne snovi} \end{align*}Izrazi maso elektrona, \( m_e = 9.1 \cdot 10^{-31} \mathrm{kg} \) z naravnimi enotami
Zakaj imajo masa in energija enake enote?
Proton je sestavljen iz treh kvarkov: u, u, d in ima maso \( E = 938 \mathrm{MeV} \). Vendar pa imajo kvarki maso samo \( m_u = 7 \mathrm{MeV } \) ter \( m_d = 10 \mathrm{MeV} \). To pomen, da je preostanek mase protona prispevajo gluoni kot vezi.
Kolikšen je tipičen radij nukleona (npr. protona), \( r_0 = 1.2 \mathrm{fm} \) v naravnih enotah?
Izrazimo femtometer iz \( \hbar c \) in dobimo
\begin{align*} 1 \mathrm{fm} &= \frac{\hbar c}{197 \mathrm{MeV }} = \frac{1}{ 197 \mathrm{MeV}} \\ &= 0.005 \mathrm{MeV } ^{-1} \\ \implies 1 \mathrm{fm} &= 5 \mathrm{GeV}^{-1} \end{align*}Iz tega potem sledi, da je
\[ R = 1.2 \cdot 1 \mathrm{fm} = 6 \mathrm{GeV } ^{-1} \]
Koliko \( \mathrm{GeV } \) traja ena ura?
Če se spomnimo Heisenbergovega principa nedoločenosti velja:
\begin{align*} \delta_p \delta_x &= 1 \\ \delta_E \delta_{\tau} &= 1 \end{align*}\( \delta_p \) ima enote \( \mathrm{GeV } \), medtem ko \( \delta_x \) pa kakor smo videli zgoraj ima \( \mathrm{GeV }^{-1} \). Če opravimo dimenzijsko analizo, se nam izide:
\[ \delta_p \delta_x = 1 \implies \left[ \mathrm{GeV} \right] \cdot \left[ \mathrm{GeV} ^{-1} \right] = 1 \]
| \( e \) | \( 511 \mathrm{keV} \) | \( \pi \) | \( 140 \mathrm{MeV} \) |
| \( \mu \) | \( 105 \mathrm{MeV} \) | \( K \) | \( 500 \mathrm{MeV} \) |
| \( \tau \) | \( 1.75 \mathrm{GeV} \) | \( D \) | \( 1869 \mathrm{MeV} \) |
Vidimo, da so nam \( \mathrm{eV} \) naravni za delce, s katerimi operariramo.
Za naš svet pa so naravne enote \( \mathrm{m}, \ \mathrm{kg} \), itd
1.2. 4. naloga
Kako v kvantni mehaniki seštevamo kvantna števila? Kolikšna je lahko celotna vrtilna količina dveh delcev s spinom \( \frac{1}{2} \), če je maksimalna vrtilna količina \( \ell 2 \)? Razloži primere in argumentiraj.
Vrtilna količina je vsota
\begin{equation} \label{eq:2} \vec{J} = \underbrace{\vec{L}}_{\text{vrtilna}} + \underbrace{\vec{S}_1}_{\text{spin 1}} + \underbrace{\vec{S}_1}_{\text{spin 2} \end{equation}Osnovna ideja je trikotniška neenakost:
\[ \vec{C} = \vec{A} + \vec{B} = \left\{ \ldots \right\}^{\left| A + B \right|}_{\left| A - B \right|} = \sum\limits_{j = \left| A - B \right|}^{\left| A + B \right|} \vec{j} \]
Za \( s_1 = \frac{1}{2} = s_2 \) uporabimo to idejo in dobimo:
\[ \vec{S} = \vec{S}_1 + \vec{S}_2 = \sum\limits_{s = \left| S_1 - S_2 \right|}^{\left| S_1 + S_2 \right|} \vec{s} = \sum\limits_{j = 0}^{1} \]
Drugače povedano:
Imamo delec \( \Psi_1 \) z lastnostjo \( s_1 = \frac{1}{2} \) ter delec \( \Psi_2 \) z lastnostjo \( s_2 = \frac{1}{2} \).
Imamo os za prvi delec: \( \Psi_1 \to \left| S_1, S_1^z \right\rangle \) in os za drugi delec \( \Psi_2 \to \left| S_2, S_2^z \right\rangle \).
Sedaj imamo kartezični produkt
\begin{align*} \Psi &= \Psi_1 \times \Psi_2 = \Psi_S \\ \Psi_S &= \sum\limits_{}^{} \underbrace{\Psi_1}_{\left| S_1, S_1^z \right\rangle } \underbrace{\Psi_2}_{\left| S_2, S_2^z \right\rangle } \left\langle \overbrace{S, S^z}^{S} | \overbrace{S_1, S_1^z}^{S_1}, \overbrace{S_2, S_2^z}^{S_2} \right\rangle \implies \vec{S} &= \vec{S}_1 + \vec{S}_2 == \vec{S} = \vec{S}_1 \times \vec{S}_2 \end{align*}Opomba, da je \( \vec{S} = \vec{S}_1 \times \vec{S}_2 \) produkt Hilbertovih prostor, kar je še zmeraj Hilbertov prostor.
Se pravi je vsota spinov enaka
\begin{align*} \vec{\frac{1}{2}} + \vec{\frac{1}{2}} & \implies \left\{ \vec{0}, \vec{1} \right\} \\ \vec{\frac{1}{2}} + \vec{\frac{1}{2}} &= \vec{0} + \vec{1} && \text{fizikalni zapis} \\ \vec{\frac{1}{2}} + \vec{\frac{1}{2}} &= \vec{0} \oplus \vec{1} && \text{rigorozen zapis} \end{align*}To pomeni, da imamo singlet \( \vec{0} \to \left| 0, 0 \right \rangle \) ter triplet
\begin{align*} \vec{1} \to & \left| 1, 1\right\rangle \\ & \left| 1, 0 \right\rangle \\ & \left| 0, 1 \right\rangle \end{align*}Z uporabo \ref{eq:2} dobimo dva scenarija:
- \( \vec{S} = \vec{0} \) dobimo \( \vec{J} = \vec{L} + \vec{0} = \vec{L} \) iz česar sledi \( Y_{lm} \cdot \left| 0, 0 \right\rangle \)
- za \( \vec{S} = \vec{1} \) dobimo \( \vec{J} = \vec{L} + \vec{1} = \sum\limits_{\left| L - 1 \right|}^{\left| L + 1 \right|} \vec{\jmath} \). Za \( \vec{L} = \vec{0} \) dobimo \( \vec{J} = \vec{1} \), in za \( \vec{L} = 1 \) dobimo \( \vec{J} = \vec{0} \oplus \vec{1} \oplus \vec{2} \)
1.3. 5. naloga
Vzemimo proton in nevtron in iz njiju sestavimo devteronsko spinsko valovno funkcijo. Upoštevaj, da je spin protona \( s^p = \frac{1}{2} \) in spin nevtron \( s^n = 1/2 \) ter da ima devteron parnost \( J^P = 1 ^{+} \)
Zanima nas \( \left| J, M, L, S \right\rangle \). Valovna funkcija bo sestavljena iz radialne funkcije \( R_{nl} \left( kr \right) \left| J, M, L, S \right\rangle \)
Kako do \( J^P = 1^{+} \)? \( \vec{S} = \vec{S}_1 + \vec{S}_2 \)
Za \( \vec{S} = 0 \) sledi, da je \( \vec{J} = \vec{L} \). Če je \( L = 1 \), potem je \( J = 1 \) in iz tega sledi, da je parnost definirana kot \( P = \left( - 1 \right)^L = -1 \). Iz tega sledi, da ne gre s singletom.
Kaj pa s \( \vec{S} = \vec{1} \)?
\[ \vec{J} = \vec{L} + \vec{1} = \begin{cases} \vec{1}; \ L = 0 \to P = \left( -1 \right)^L = +1 \\ \vec{0}, \vec{1}, \vec{2}; \ L = 1 \to P = \left( -1 \right)^L = -1 \\ \vec{1}, \vec{2}, \vec{3}; \ L = 2 \to P = \left( -1 \right)^L = +1 \end{cases} \]
Vidimo, da za \( L = 0 \) in \( L = 2 \) dobimo željeno parnost.
Če je \( L = 0 \), je S-val, če je 1, je P-val in če je 2, je D-val
\[ \left| D \right\rangle = c_1 \left| 1, M, L = 0, S = 1 \right\rangle + c_2 \left| 1, M, L = 2, S = 1 \right\rangle \]
\[ \left| 1, M, L = 0, S = 1 \right\rangle = \sum\limits_{m_s, m_L}^{} \left\langle 1, M | 0, m_L, 1, m_s \right\rangle Y_{L = 0M} \left( \theta, \phi \right) \left| 1, m_s \right\rangle \]
Velja, da je \( m_L = 0 \), saj je projekcija \( m_L \le L \), kar pomeni, da je \( M = m_S + m_L = m_S \).
\[ \left| 1, M, L = 2, S = 1 \right\rangle = \sum\limits_{m_s, m_L}^{} \left\langle 1, M | 2, m_L, 1, m_s \right\rangle Y_{L = 2M} \left( \theta, \phi \right) \left| 1, m_s \right\rangle \]
\( L = 3 \to P = +1 \) in \( L = 4 \to P = +1 \)
\[ J = \vec{4} + \vec{1} = \begin{cases} 3\\ 4\\ 5 \end{cases} \]