FJOD Vaje Teden 2

Devteron je sestavljen iz protona in nevtrona. Najprej določimo ali gre za (ne)relativistični sistem? V našem primeru gre za nerelativističen.

Hamiltonian je potem

\[ H = \frac{p ^2}{2 \mu} + V \]

kjer je \( \mu \) reducirana masa definirana kot

\[ \frac{1}{\mu} = \frac{1}{m_p} + \frac{1}{m_n} \]

Spomnimo se, da je \( \hat{p} \) operator definiran kot

\[ \hat{p} = \iu \left( \partial_x, \partial_y, \partial_z \right), \ \hat{p} ^2 = - \left( \partial_x ^2 + \partial_y ^2 + \partial_z ^2 \right) \]

V sferičnih koordinatah je naš operator tako

\begin{equation} \label{eq:1} \hat{p} ^2 = - \left( \partial_r \left( r ^2 \partial_r \right) \underbrace{- \frac{1}{r ^2 \sin \theta} \partial_{\theta} \left( \sin \theta \partial_{\theta} \right) + \frac{1}{r ^2 \sin ^2 \theta} \partial_{\phi}}_{(1)} \right) \end{equation}

Če operator deluje na neko valovno funkcijo, potem dobimo

\begin{align*} \Psi &= R_{nl} \left( r \right) Y_{lm } \left( \theta, \phi \right) && \left| n, l, m \right\rangle\\ \hat{p} ^2 \Psi (r, \theta, \phi) &= \left( \frac{1}{r ^2} \partial_r \left( r ^2 \partial_r R \right) + \underbrace{\frac{\hat{l} \left( \hat{l} + 1 \right)}{r ^2} R}_{(1)} \right) Y_{lm} \left( \theta, \phi \right) \end{align*}

(1) rečemo potencialna bariera zaradi vrtilne količine in je ekvivalenten delu pri \ref{eq:1}.

Prav tako

\[ \hat{l} Y_{lm} \left( \theta \right) = \begin{bmatrix} l_{x} \\ l_{y} \\ l_{z} \end{bmatrix} Y_{lm} \left( \theta, \phi \right), \ \hat{l} (\hat{l} + 1) Y_{lm} \left( \theta, \phi \right) = l(l + 1) Y_{lm} \left( \theta, \phi \right) \]

[skica potenciala]

Valovna funkcija je

\[ \left| D \right\rangle \to \Psi_0 = c_1 Y_{0 \underline{0}} \left( \theta, \phi \right) \left| 1,\underline{1} \right\rangle + c_2 \sqrt{\frac{3}{5}} Y_{2 \underline{2}} \left( \theta, \phi \right) \left| 1, \underline{-1} \right\rangle - c_2 \sqrt{\frac{3}{10}} Y_{2 \underline{1}} \left( \theta, \phi \right) \left| 1, \underline{0} \right\rangle + c_2 \sqrt{\frac{1}{10}} Y_{2 \underline{0}} \left( \theta, \phi \right) \left| 1, \underline{1} \right\rangle \]

Fino je preveriti, če se 3. komponenta vrtilne količine ohranja \( \left| D, J_z =1\right\rangle \) - glej podčrtane stvari, katerih vsota mora biti enaka tisti na levi strani

Z normalizacijo dobimo

\begin{align*} c_1 ^2 + c_2 ^2 &= 1 \\ \sin ^2 (\alpha) + \cos (\alpha) &= 1 \\ c_1 &= \sin \alpha\\ c_2 &= \cos \alpha \end{align*}

Prosto fazo damo na \( 0 \).

Manjka nam še radialna odvisnost. Spoiler alert, za izbran \( n = 1 \), bo naša radialna funkcija enaka

\[ R_{nl} (r) \approx \frac{u_l}{r} \]

oz.

\begin{equation} \label{eq:2} \left| D \right\rangle \to \Psi_0 = c_1 Y_{0 \underline{0}} \left( \theta, \phi \right) \left| 1,\underline{1} \right\rangle \frac{u_0 (r)}{r} + c_2 \sqrt{\frac{3}{5}} Y_{2 \underline{2}} \left( \theta, \phi \right) \left| 1, \underline{-1} \right\rangle \frac{u_2(r)}{r} - c_2 \sqrt{\frac{3}{10}} Y_{2 \underline{1}} \left( \theta, \phi \right) \left| 1, \underline{0} \right\rangle \frac{u_2(r)}{r} + c_2 \sqrt{\frac{1}{10}} Y_{2 \underline{0}} \left( \theta, \phi \right) \left| 1, \underline{1} \right\rangle \frac{u_2 (r)}{r} \end{equation}

Za krajši zapis, saj je zgornji dolga kača, zapišemo posplošeni sferni harmonik

\[ \mathcal{Y}_{JLS}^M = \sum\limits_{m_l, m_s}^{} \left\langle J, M | L, m_l S, m_s \right\rangle Y_{LM} \left( \theta, \phi \right) \left| S, m_s \right\rangle \]

ki nam \ref{eq:2} zapiše krajše kot

\begin{equation} \label{eq:3} \Psi_D = \sin \alpha \frac{u_0(r)}{r} \mathcal{Y}_{101}^1 \left( \theta, \phi \right) + \cos \alpha \frac{u_2 (r)}{r} \mathcal{Y}_{121}^1 \left( \theta, \phi \right) \end{equation}

Prav tako velja za posplošeni harmonik

\[ \int\limits_{}^{} \mathrm{d} \Omega \mathcal{Y}_{JLS}^{M*} \left( \theta, \phi \right) \mathcal{Y}_{J'L'S'}^{M'} \left( \theta, \phi \right) = \delta_{JJ'} \delta_{MM'} \delta_{SS'} \delta_{LL'} \]

V \( u_0 \) in \( u_2 \) imamo valovni vektor \( k \), ki ga -ish dobimo iz energije \( E = \frac{k ^2}{\mu 2} \) (saj je \( E \propto \alpha \)).

Sedaj imamo vprašanje, kako dobimo energijo \( E \)? Hamiltonian.

\begin{align*} H \Psi_D &= E \Psi_D \\ \left[- \frac{1}{2\mu} \frac{\partial sr}{\partial r ^2} \frac{l(l-1)}{2\mu r ^2} + V(r) \right] \sin \alpha u_0 \mathcal{Y}_{101}^1 + \left[ - \frac{1}{2\mu} \frac{\partial ^2}{\partial r ^2} + \frac{l(l - 1)}{2 \mu r ^2} + V(r) \right] \cos \alpha u_2 \mathcal{Y}_{121}^1 &= E \left\{ \sin \alpha u_0 \mathcal{Y}_{101}^1 + \cos \alpha u_2 \mathcal{Y}_{121}^1 \right\} \\ \left[ - \frac{1}{2\mu} \frac{\partial ^2 }{\partial r ^2} + 0 + V(r) \right] \sin \alpha u_0 \mathcal{Y}_{101}^1 + \left[ - \frac{1}{2\mu} \frac{\partial ^2 }{\partial r ^2} + V(r) \right] \cos \alpha u_2 \mathcal{Y}_{121}^1 &= E \Psi_{D} \end{align*}

Dobili smo sklopljeno diferencialno enačbo in želimo jo spraviti na sistem dveh enačb. \( \mathcal{Y} \) so med seboj ortogonalni, in skalarni produkt in BUM magic.

Pomnožim enačbo z \( \int\limits_{}^\mathrm{d} \Omega Y_{101}^1 \left( \theta, \phi \right) \) in tako dobimo

\begin{align*} \left[ - \frac{1}{2\mu} \frac{\partial ^2 }{\partial r ^2} + \underbrace{\int\limits_{}^{} \mathrm{d} \Omega \mathcal{Y}_{101}^1 \left( \theta, \phi \right) V(R) \mathcal{Y}_{101}^1 \left( \theta, \phi \right)}_{\left\langle 11, 01 \left| V \right| 11, 01 \right\rangle} \right] \sin (\alpha) u_0 + \left[ \int\limits_{}^{} \mathrm{d} \Omega \mathcal{Y}_{101}^1 \left( \theta, \phi \right) V(r) \mathcal{Y}_{121}^1 \left( \theta, \phi \right) \right] \cos (\alpha) u_2 &= E \sin (\alpha) u_0 (r) \end{align*}

Medtem ko da dobimo drugo enačbo, pomnožimo z \( \int\limits_{}^\mathrm{d} \Omega \mathcal{Y}_{121}^1 \left( \theta, \phi \right) \) in dobimo sledeč sistem enačb:

\[ \begin{bmatrix} \frac{1}{2\mu} \frac{\partial ^2 }{\partial r ^2} + \left\langle 11, 01 \left| V \right| 11, 01\right\rangle & \left\langle 11, 01 \left| V \right| 11, 21\right\rangle \mathrm{cot } \alpha \\ \left\langle 11, 21 \left| V \right| 11, 01\right\rangle \tan \alpha & - \frac{1}{2 \mu} \frac{\partial ^2 }{\partial r ^2} + \frac{6}{2\mu r ^2} + \left\langle 11, 21 \left| V \right| 11, 21\right\rangle \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_{0} \\ u_{1} \end{bmatrix} = E \begin{bmatrix} u_{0} \\ u_{1} \end{bmatrix} \]

Tenzorska sila, kjer je \( \left\langle 11, 01 \left| V(\vec{r}) \right| 11, 21\right\rangle \ne 0 \) in iz tega dobimo tenzorski potencial, ki izvira iz izmenjave 1. piona

\[ V(\vec{r}) \propto \left( 1 - \frac{g}{2} + \frac{g}{2} \vec{S}_1 \vec{S}_2 + \gamma \left( \frac{3 \vec{S}_1 \cdot \vec{r} \vec{S}_2 \cdot \vec{r}}{r ^2} - \vec{S}_1 \vec{S}_2 \right) \right) \]

To je fizika 60. let (dani potencial je predstavljen leta 1955).

Današnji čas je ANL 18 (ang. argon national laboratory) z 18 parametri - naš potencial ima 2 (\( g, \gamma \)). Za več glej spletno učilnico.

Za \( k = \sqrt{2 \mu E} \) (navkljub temu da smo rekli, da ne velja) je

\begin{align*} u_0(r) &= N_0 e^{- kr} \\ u_2(r) &= N_2 \left( 1 + \frac{3}{kr } + \frac{3}{k ^2 r ^2} \right) e^{- kr} \end{align*}

kar velja za velike \( r \).

Glej prvo nalogo pri Kvantni mehaniki. Gledamo sipanje delcev: v 1D jami, vsak delec prihaja iz svoje strani in gledamo, kaj se zgodi, ko se srečata v jami - lahko letita drug mimo drugega ali pa se vežeta v sistem. Lahko pa na to gledamo tudi kot, da je en delec z danim potencialom in drug delec interagira z njim ter obratno. [skica jame]

Valovna funkcija pri sipanju je

\[ \Phi(x) = e^{\iu k_{CM} x_{CM}} \Phi(x) \implies \Phi(x) \]

saj sta delca približno enako težka, kar pomeni, da je težišče (CM) približno na 0 in je eksponentna funkcija nezanimiva.

Schrödingerjeva enačba

\[ \Psi(x) = \begin{cases} A_n \left( \begin{cases} \cos kx; n \text{ lih} \\ \sin kx; n \text{ sod} \end{cases} \right); \ \left| x \right| < a, II \\ B_n e^{- \kappa \left| x \right|}; \ \left| x \right| > a, I, III \end{cases} \]

in \( \Psi(x) \in C ^2 \).

Pri \( A_n \) odpade \( \sin kx \) zaradi parnost.

Velja, da je

\begin{align}\label{ali:1} \Psi(a^+) &= \Psi(a^-) \\ A_n \cos k_n a &= B_n e^{ -\kappa_n a} \\ \implies B_n &= e^{\kappa_n a} \cos k_n a \end{align}

Odvod po \( x \) valovne funkcije je

\[ \partial_x \Psi(x) = \begin{cases} -A_n k_n \sin k_n x; \left| x \right| < a\\ -A_n \kappa_n \cos k_n a e^{\gamma_n \left( a - \left| x \right| \right)}; \left| x \right| > a \end{cases} \]

kjer smo v drugi vrstici upoštevali enakost za \( B_n \) iz zgornje enakosti \ref{ali:1}.

Velja, da sta odvoda funkcij enaka za

\begin{align}\label{ali:2} \partial_x \Psi \left( a^+ \right) &= \partial_x \Psi \left( a^- \right) \\ k_n \sin k_n a = \kappa_n \cos k_n a \end{align}

Hamiltonian je

\begin{align}\label{ali:3} H &= - \frac{1}{2m} \partial_x ^2 + V \\ E_n &= - \frac{\kappa_n ^2}{2m} = \frac{k_n ^2}{2m} - V_0 \\ \kappa_n ^2 &= 2 m V_0 - k_n ^2 \end{align}

Ko združimo \ref{ali:2} in \ref{ali:3} dobimo

\begin{align*} \tan k_n \alpha &= \frac{\kappa_n a}{k_n a} \\ &= \sqrt{\frac{\left( \kappa_n a \right) ^2}{\left( k_n a \right) ^2}} \\ &= \sqrt{\frac{2m V_0 - k_n ^2}{k_n ^2}} \\ &= \sqrt{\frac{2m V_0}{k_n ^2} - 1} \ge 0 \\ \frac{2m V_0}{k_n ^2} - 1 & \ge 0 \\ \frac{2m V_0}{k_n ^2} &\ge 1 \\ k_n \le \sqrt{2mV_{0}} \end{align*}