FJOD vaje teden 4

Luminoznost, ki označuje količino potencialnih dogodkov, označeno z \( L \) je definirana kot

\[ L = \Phi_i n_t \delta_x \]

kjer je \( \Phi_i \) fluks vpadnih \( \alpha \) žarkov, \( n_t \) številska gostota tarče, in \( \delta_x \) debelina tarče.

Za gostoto \( \rho \), Avogadrovo število \( N_A \) ter molsko maso \( M \) se izraz preoblikuje v

\[ L = \Phi_i \frac{\rho N_A}{M} d = 6 \cdot 10^{31} \frac{1}{\mathrm{s} \mathrm{cm} ^2} \]

Število dogodkov izračunamo preko

\begin{equation} \label{eq:1} N = \int\limits_0^{\tau} \frac{\mathrm{d} N}{\mathrm{dt}} \, \mathrm{dt} \end{equation}

kjer ob upoštevanju \ref{eq:2} še

\begin{equation} \label{eq:2} \frac{\mathrm{d} N}{\mathrm{d} t} = L \cdot \sigma \end{equation}

kjer je \( \sigma \) sipalni presek, da zadanem detektor. Definirana je kot

\begin{equation} \label{eq:3} \sigma = \underbrace{\frac{\mathrm{d} \sigma}{\mathrm{d} \Omega}}_{\text{Rutherford}} \Delta \Omega \end{equation}

Vrednost \( \Delta \Omega \) je definirana kot

\[ \Delta \Omega = \frac{\Delta S}{S} = \frac{1 \mathrm{cm} ^2}{4 \pi \mathrm{cm} ^2} = 10^{-5} \mathrm{rad} ^2 \]

Definiramo \( \mathrm{std} = \mathrm{rad} ^2 \).

To pomeni, da postane \ref{eq:3}

\[ \frac{\mathrm{d} \sigma}{\mathrm{d} \Omega} = \left( \frac{Z_1 Z_{\alpha} e ^2 m_e}{8 \pi \epsilon_0 p ^2} \right) ^2 \cdot \frac{\left| F(q ^2) \right| ^2}{\sin ^4 \frac{\theta}{2}} = 2 \cdot 10^{ -26} \frac{\mathrm{cm} ^2}{\mathrm{std}} \]

Nimamo pojma, kaj je \( F \) in rečemo, da je \( F = 1 \).

Upoštevamo, to da obravnavamo primer Rutherforda, kar pomeni, da imamo potencial \( \frac{1}{r} \).

Upoštevamo še prispevke

\[ \frac{\mathrm{d} \sigma}{\mathrm{d} \Omega} = \left| T \right| ^2 \mathrm{d} lips \]

kjer je \( T \) sipalna amplituda in se seštevajo \( T = T_1 + T_2 \).

Iz enačbe \ref{eq:3} tako dobimo

\[ \sigma = 2 \cdot 10^{-31} \mathrm{cm} ^2 \]

Kar pomeni, da ima \ref{eq:1} vrednost

\[ N = L \sigma T = 12 \mathrm{Hz} \cdot 1s = 12 \]

\begin{align*} R &= \frac{\int\limits_0^{\tau} \frac{\mathrm{d} N_{He}}{\mathrm{d} t} \, \mathrm{dt}}{\int\limits_0^{\tau} \frac{\mathrm{d} N_{Li}}{\mathrm{d} t}\, \mathrm{dt}} \\ &= \frac{\frac{\mathrm{d} N_{He}}{\mathrm{d} t} \tau}{\frac{\mathrm{d} N_{Li}}{\mathrm{d} t} \tau} \\ &= \frac{\cancel{L} \sigma_{He}}{ \cancel{L} \sigma_{Li}} && \text{tarči sta isti} \\ &= \frac{\frac{\mathrm{d} \sigma_{He}}{\mathrm{d} \Omega} \cancel{\Delta \Omega}}{\frac{\mathrm{d} \sigma_{Li}}{\mathrm{d} \Omega} \cancel{\Delta \Omega}} \\ &= \frac{\left( \frac{Z_1 e ^2 m_1}{8 \pi \epsilon_0} p_1 ^2 \right) ^2 \frac{1}{\sin ^4 \frac{\theta}{2}} \left| F_1 \left( q ^2 \right) \right| ^2}{\left( \frac{Z_2 e ^2 m_2}{8 \pi \epsilon_0} p_1 ^2 \right) ^2 \frac{1}{\sin ^4 \frac{\theta}{2}} \left| F_2 \left( q ^2 \right) \right| ^2} && \frac{\left| F_1 ^2 \right| ^2}{\left| F_2 ^2 \right| ^2} = 1 \\ &= \frac{Z_1 ^2 m_1 ^2}{p_1 ^4} \cdot \frac{p_2 ^4}{Z_2 ^2 m_2 ^2} \end{align*}

EMC - European Muon Collaboration Effect.

Odločiti se moramo ali bomo uporabljali relativistično fiziko ali ne. In ker je \( v = 0.1 c \) in če jo primerjamo z \( 0.8c \), dobimo da ni veliko razlike

\begin{align*} \gamma &= \frac{1}{\sqrt{1 - v ^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 - 0.01}} = 1 \\ \gamma_2 &= \frac{1}{\sqrt{1 - 0.64}} \approx 2 \end{align*}

in imamo nerelativistično fiziko ter gibalna količina je \( p = mv \)

\begin{align*} R &= \frac{Z_1 ^2 m_1 ^2}{m_1 ^4 v ^4} \cdot \frac{m_2 ^4 v ^4}{Z_2 ^2 m_2 ^2} \\ &= \frac{Z_1 ^2 m_2 ^2}{m_1 ^2 Z_2 ^2} \end{align*}

Določimo mase in masna števila atomov

Pri heliju je

\begin{align*} ^4_2 He^+ \to A_1 &= 4 \\ Z_1 &= 2 \\ ^A_3 Li^+ \to A_2 &= A \\ Z_2 &= 3 \end{align*}

\[ ^A_Z X \]

kjer je \( Z \) število protonov in \( A = Z + N \), kjer je \( N \) nevtroni. Določene lastnosti \( X \) iz \( A \) in \( Z \) ali \( N \).

Pri orbitalah, kjer imamo oznake oblike \( 1 s_{\frac{1}{2}} \) imamo oznako oblike

\[ n L_J \]

kjer

\begin{align*} L &= 0 \implies s \\ L &= 1 \implies p \\ L &= 2 \implies d \\ \end{align*}

Orbitale se polnijo po vrsti.

Če sta tako \( Z \) in \( N \) sodi, imamo soda-soda jedra in to pomeni, da je vrtilna količina \( J^P = O^+ \).

Če je A lih, nesparjen nukleon, bodisi nevtron ali proton določa lastnosti jedra. Vrtilna količina je določena iz zadnje orbitale \( J^P \).

Če sta \( Z \) in \( N \) liha, imamo dve možnosti:

• nesparjen \( p \to j_P L_P \)
• nesparjen nevtron \( n \to j_n L_n \)

Vrtilna količina pa je \( J = \left\{ \left| j_p - j_n \right|, \ldots \left| j_p + j_n \right|\right\} \) in parnost je \( P = \left( -1 \right)^{j_p + j_n} \).

1. Obravnavajmo primer \( ^{11}_6 C \).

   Število protonov je 6, medtem ko nevtronov je 5. Torej gledamo primer, ko \( Z \) sodo in \( A \) liho število

   \[ \begin{bmatrix} 1p_{1/2} & & \\ 1p_{3/2} & \cdot \cdot \cdot \cdot & \cdot \cdot \cdot x \\ 1s_{1/2} & \cdot\cdot & \cdot \cdot \\ & p & n \end{bmatrix} \]

   Kjer \( x \) označuje ne polno obratuje in iz tega

2. Primer \( ^{12}_6 C \)

   \( Z, N \) sta soda, in vzamemo iz teorije, da je \( J^P = 0^+ \).

3. Primer \( ^{13}_6 C \)

   Število nevtronov je liho in bo določal nesparjenost.

   \[ \begin{bmatrix} & \text{ zasedenost orbital } \\ 1p_{1/2} & \circ \mathrm{x} \\ 1 p_{3/2} & \circ \circ \circ \circ \\ 1 s_{1/2} & \circ \circ \\ & \text{ nevtroni} \end{bmatrix} \]

   Nevtron v orbitali \( 1 p_{1/2} \) določa slednje vrednosti:

   \begin{align*} p \text{ orbitala} \implies L &= 1 \\ \text{indeks orbitale } p \implies J &= 1/2 \\ \text{Parnost } P = \left( - 1 \right)^L \implies J^P &= 1/2^{-} \\ J = L + S \implies 1/2 = 1 + S \implies S &= - 1 / 2 \end{align*}

Liho število protonov \( Z = 29 \) in sodo število nevtronov \( N = 28 \). \[ \begin{bmatrix} 2 p_{3/2} & \circ \\ 1 f_{1/2} & 8 \\ 1d_{3/2} & 4 \\ 2s_{1/2} & 2 \\ 1d_{5/2} & 6 \\ 1p_{1/2} & 6 \\ 1p_{3/2} & 4 \\ 1s_{1/2} & 2 \\ & \text{protoni} \end{bmatrix} \]

In valenčni proton določa lastnosti \( J = 3/2 \) ter \( L = 1 \).

Magnetni moment je

\[ \mu = g_J \mu_N \]

kjer je \( g_J \) giromagnetno razmerje jedro.

\begin{align*} J = L + 1/2 &: \mu = \left( g_l \left( J - 1/2 \right) + \frac{g_s}{2} \right) \mu_B \\ J = L - 1/2 &: \mu = \frac{J}{J+ 1}\left( g_l \left( J + 3/2 \right) - \frac{g_s}{2} \right) \mu_B \end{align*}