Fjod Vaje Teden05

Razliko energij lahko zapišemo kot

\begin{align*} \Delta E_1 &= \left| E(3d_{3/2}) - E(3d_{5/2}) \right| = 1.35 \mathrm{MeV}\\ \Delta E_2 &= \left| E(4f_{7/2}) - E(4d_{7/2}) \right| = 1.35 \mathrm{MeV}\\ \end{align*}

Gradimo sistem iz dveh delcev - nukleona in preostalega jedra. To pomeni, da bo naša masa reducirana \( \mu \), ki jo bomo označili z \( m \).

Neskončne potencialne jame s harmonskim oscilatorjem lahko rešimo na lažji način numerično.

Pri končni potencialni jami pa je precej lažje.

Zapišemo Hamiltonian kot

\[ H = \frac{p ^2}{2m} + \frac{1}{2} m \mathbf{\omega} ^2 r ^2 \theta(R - r) - \mathbf{V_0} \theta (R - r) - 2\mathbf{\eta} \vec{L} \vec{S} \]

kjer je \( \theta(R - r) \) Heavisideova funkcija. Iščemo vrednosti \( \omega, V_0, \eta \). Upoštevamo pogoj, da je pir \( R = r \) Hamiltonian enak

\[ H = 0 = \frac{1}{2} m \omega ^2 R ^2 - V_0 \]

iz česar lahko izrazimo potencial \( V_0 \). Vrednost \( R = \) je \( R = A^{\frac{1}{3}} r_0 \) in je \( r_0 = 1.2 \mathrm{fm} \)

Hamiltonian je tako

\[ H = \frac{p ^2}{2m} + \frac{1}{2} m \omega ^2 \left( r ^2 - R ^2 \right) \theta(R - r)- 2\eta \vec{L} \vec{S} \]

Enakost med Hamiltonian in energijo je

\[ H \left| n J L S \right\rangle = E \left| n J L S \right\rangle \]

Poglejmo primer za \( \Delta E_1 \)

\begin{align*} \Delta E_1 = H(3d_{3/2}) - H(3d_{5/2}) &=\cancel{\frac{p (3d_{3/2})^2}{2m}} + \frac{1}{2} m \omega (3d_{3/2})^2 \left( r ^2 - \cancel{R ^2} \right) \theta(R - r)- 2\eta (3d_{3/2})\vec{L} \vec{S} - \cancel{\frac{p (3d_{5/2})^2}{2m}} - \frac{1}{2} m \omega (3d_{5/2})^2 \left( r ^2 - \cancel{ R ^2} \right) \theta(R - r)+ 2\eta (3d_{5/2})\vec{L} \vec{S} \\ &= \cancel{\frac{1}{2} m \omega ^2 r ^2 \theta(R - r)} - 2 \eta \vec{L} \vec{S} - \cancel{\frac{1}{2} m \omega ^2 r ^2 \theta (R - r) }+ 2 \eta \vec{L} \vec{S} \end{align*}

Ker je glavno kvantno število \( n \) je v teh primerih isto, kar pomeni, da je gibalna količina ista and thus se pokrajša, Potencial pa je za oba delca isti.

Za \( \omega \) velja enačba:

\begin{align*} H \left| n J L S \right\rangle &= \omega (2n + L + \frac{3}{2}) \left| n J L S \right\rangle \\ H \left| 3, \frac{3}{2}, 2, - \frac{1}{2} \right\rangle &= \omega (6 + 2 + \frac{3}{2}) \\ H \left| 3, \frac{5}{2}, 2, - \frac{1}{2} \right\rangle &= \omega (6 + 2 \frac{3}{2}) \end{align*}

in zato se harmonska oscilatorja z istimi kvantnimi števili tudi pokrajšata.

Tako nam ostane samo \( \vec{L} \vec{S} \) ċlen, kjer velja za njun produkt

\[ \vec{L} \vec{S} = \frac{\vec{J} ^2 - \vec{S} ^2 - \vec{L} ^2}{2} \]

kjer je posamezen vektor količine izražen s kvantnim številom kot

\begin{equation} \label{eq:1} \vec{J} ^2 = \hbar ^2 j (j + 1) \end{equation}

Iz tega potem sledi

\[ H \left| n J L S \right\rangle = E \left| n J L s \right\rangle = - \eta \left( J ^2 - L ^2 - S ^2 \right) \left| n J L S \right\rangle \]

ob upoštevanju \( E = - 2\eta \vec{L} \vec{S} \).

Tako iz razlike energij dobimo

\begin{align*} \Delta E_1 &= \left| E(3d_{3/2}) - E(3d_{5/2}) \right| \\ &= \eta \left| \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{2} \cancel{ - 2 \cdot 3 - \frac{3}{4}} - \left( \frac{5}{2} \cdot \frac{7}{2} \cancel{- 2 \cdot 3 - \frac{3}{4} }\right) \right|= \frac{20}{4}\eta \\ \implies \eta &= 0.27 \mathrm{MeV} \end{align*}

Pred uporabe druge razlike energije naredimo preglednico glavnih števil

n	J	L	S
4	7/2	3	1/2
4	5/2	2	1/2

Sedaj je razlika energij ob upoštevanju \ref{eq:1} in \( \hbar = 1 \):

\begin{align*} \Delta E_2 &= \omega \left( 2 n + L + \frac{3}{2} \right) + \left( -2 \eta \frac{J (J + 1) - L (L + 1) - S(S+1)}{2} \right) \\ &= \omega - \eta \left( \frac{7}{2} \cdot \frac{9}{2} - 3 \cdot 4 - \frac{3}{4} - \left( \frac{5}{2} \cdot \frac{7}{2} - 2 \cdot 3 - \frac{3}{4} \right) \right) \\ &= \omega - \eta \\ \implies \omega &= \Delta E_2 + \eta 6.57 \mathrm{MeV} \end{align*}

Nadalje lahko še potencial izračunamo

\[ V_0 \approx \frac{1}{2} m_p \omega ^2 R ^2 = \frac{1}{2} \cdot 940 \mathrm{MeV} \cdot (6.57 \mathrm{MeV}) ^2 \cdot 49 \mathrm{fm} ^2 = 21 \mathrm{MeV} \]

saj je \( R = 6 \cdot 1.2 \mathrm{fm} \approx 7 \) in \( A^{\frac{1}{3}} \approx 6 \).

Dva tipa \( \gamma \) razpadov:

1. električni tip (označen z El, kjer je l vrtilna količina fotona).

   \[ \Gamma (E \ell) = \frac{8 \pi \left( \ell + 1 \right)}{2 \left( \left( 2\ell + 1 \right)!! \right) ^2} \cdot \left( \frac{3}{l + 3} \right) ^2 E^{2l + 1} \cdot \left\langle \vec{r} \right\rangle ^{2 \ell} \]

   in je \( \Gamma \) razpadna širina.

Dvojna fakulteta je \( 5!! = 5 \cdot 3 \cdot 1 \) in je \( E \) energija v enačbi.

1. magnetni tip Ml

   \[ \Gamma (M \ell) =\frac{8 \pi \left( \ell + 1 \right)}{2 \left( \left( 2\ell + 1 \right)!! \right) ^2} \cdot \left( \frac{3}{l + 3} \right) ^2 E^{2l + 1} \cdot \left\langle \vec{r} \right\rangle ^{2 \ell -2} \underbrace{\left( \frac{1}{m_p} \left( \mu _p - \frac{1}{\ell + 1} \right) \right)}_{10 \mathrm{MeV}} \]

Velja

\begin{align*} \frac{\Gamma(E \ell)}{\Gamma(M \ell)} &\approx 100\\ \frac{\Gamma(E \ell + 1)}{\Gamma(E \ell)} &\approx 10^{ -5} \\ \frac{\Gamma(M \ell + 1)}{\Gamma(M \ell)} & \approx 10^{ - 5} \end{align*}

1. \( \frac{5}{2}^- \to \frac{7}{2}^+ \)

   Zapišimo drugače kot

   \[ X \left( \frac{5}{2}^- \right) \to Y \left( \frac{7}{2}^+ \right) + \gamma \]

   Ker se mora ohranjati vrtilna količina velja

   \[ \vec{J}_x = \vec{J}_y + \vec{L} \]

   kjer sta \( \vec{J}_x, \vec{J}_y \) vrtilni količini \( X, Y \), medtem ko \( \vec{L} \) pa je vrtilna količina fotona \( \gamma \).

   Hkrati pa velja, da je

   \begin{equation} \label{eq:2} \left| J_x - J_l \right| < L < \left| J_x + J_y \right| \end{equation}

kar pomeni, da glede na dane vrtilne količina lahko \( \vec{L} \) zaseda vrednosti

\[ l \in {1, 2, 3, 4, 5, 6} \]

Hkrati se mora pa ohranjati tudi parnost

\[ P \left( \frac{5}{2} ^- \right) = P \left( \frac{7}{2} ^+ \right) \cdot P_{\gamma} \implies P_{\gamma} = -1 \]

Pri električnem tipu zaradi ohranjanjo parnosti ostanejo samo E1, E3, E5. Pri magnetnem tipu pa M2, M4, M6.

Velja, da je

\[ E1 > M1 \]

Iz enakosti, ki velja

\begin{align*} \frac{M2}{M1} & \approx 10^{ -5} \\ \frac{E2}{M2} & \approx 100 \implies \frac{E2}{M1} &= 10^{-3} \end{align*}

Iz česar potem sledi hiearhija razpadov E1 M2 E3 M4 E5 M6.

1. \( 2^+ \to 2^+ \)

   Velja

   \[ \vec{J}_x = \vec{J}_y + \vec{L} \]

   Iz neenakost \ref{eq:2} zavzema \( l \) vrednosti \( l \in \left\{ 0, 1,2 ,3, 4 \right\} \)

   Hkrati za parnost velja, da je \( P_{\gamma} = 1 \)

   Zaradi ohranjanja parnosti obstajajo samo E2 in E4. Pri magnetni pa obstajajo M1 in M3.

   Hiearhija razpadov je

   \[ M1 > E2 > M3 > E4 \]

   Dopolni, zakaj \( E0 \) ne obstaja.