FJOD Vaje Teden06

1. Peti sklop nalog

1.1. 2. naloga

\( ^{81} Br \) je eden od razpadnih produktov jedrske fisije; kot tak se tipično proizvede v vzbujenem stanju. V osnovno stanje se sprošča preko

\( M2 \) razpada z \( E = 260 \mathrm{keV} \) (iz drugega v prvo vzbujeno stanje)
\( M1 \), \( E2 \) razpada z \( E = 276 \mathrm{keV} \) (iz prvega vzbujenega v osnovno stanje)

Določi mogoča \( J^P \) za osnovno in prvi dve vzbujeni stanji \( ^{81}Br \). Pomagaj si z lupinskim modelom in hierarhijo stanj v Sliki 3.

\( ^{81}_{33}Br _{48} \)

Imamo samo model atoma, ki je nastal preko modeliranja. Kar pomeni, da ni samo tako stanje:

\begin{align*} 2p_{1/2} & \\ 1f_{5/2} & \quad 1 \\ &- \\ 2p_{3/2} & \quad 4; \ \sum\limits_{}^{} 32 \end{align*}

Za prehod iz \( N = 2 \) v \( N = 1 \), kar je prehod \( M2 \), velja

\[ L_{\gamma} = 2; \ P_{\gamma} = \left( -1 \right)^{2-1} = -1 \]

Pri prehodu iz \( N = 1 \) do \( N = 0 \), kar je prehod \( M1, \ E2 \), velja

\[ L_{\gamma} = 1, 2; \ P_{\gamma} (M1) = \left( -1 \right)^{1 - 1} = 1, P_{\gamma} (E2) = (-1) ^2 = 1 \]

Če je elektron v \( 2p_{1/2} \), potem je \( J_0 = \frac{1}{2}^- \). Iz tega potem sledi, da je v prvem vzbujenem stanju \( N = 1 \)

\[ \vec{J}_1 = \vec{J}_0 + \vec{L}_{\Gamma} = \begin{cases} \frac{3}{2}; \ L_{\gamma} = 1 \\ \frac{5}{2}; \ L_{\gamma} = 2 \end{cases} \] in parnost je v obeh primerih \( P = -1 \).

Medtem ko drugo vzbujeno stanje \( N = 2 \), pa je

\[ \vec{J}_2 = \vec{J}_1 + \vec{L}_{\gamma} = \begin{cases} \frac{7}{2}, \ L_{\gamma} = 2 \\ \frac{9}{2}, \ L_{\gamma} = 2 \end{cases} \]

Parnost je v obeh primerih \( P = +1 \).

Ni nujno, da se lupine v našem modelu polnijo po vrstnem redu - takrat smo na robu uporabe lupinskega modela.

Imamo dva možna scenarija

	scenarij 1	scenarij 2	LM 1	LM 2
\(J_{2}^{P}\)	\(7/2 ^{+} \)	\( 9/ 2^{+ }\)	\(1f_{1/2}\)	\(2p_{3/2}\)
\(J_{1}^{P}\)	\(3/2 ^{-} \)	\( 5/ 2^{- }\)	\(2p_{3/2}\)	\(1f_{5/2}\)
\(J_{0}^{P}\)	\(1/2 ^{-} \)	\( 1/ 2^{- }\)	\(2p_{1/2}\)	\(2p_{1/2}\)

Modela se ne ujemata s scenarijema - scenarij 2, naj bi bil kul, not sure why. Lupinska modela ne bosta končala \( 2p_{1/2} \).

Poglejmo si, kaj pa, če je

\[ J_0 = \frac{3}{2} \]

Iz tega sledi

\[ J_1 = \left\{ 1/2, 3/2, 5/2 \right\} = \begin{cases} \vec{J}_1 = \vec{3/2} + \vec{1} \\ J_1 = \left\{ 1/2, 3/2, 5/2 \right\} \\ \vec{J}_1 = \vec{3/2} + \vec{2} \\ J_1 = \left\{ 1/2, 3/2, 5/2, 7/2 \right\} \end{cases} \]

Kandidati so presek \( J_1 \) iz \( \vec{1} \) in \( \vec{2} \), kar odraža leva stran enakosti in vse imajo negativno parnost, kar smo gledali prej. Presek gledamo, ker mora hkrati biti možen prehod v osnovno stanje \( 3/2 \) iz \( M1, E2 \) in za \( M1 \) je \( L_{\gamma} = 1 \) in

\[ 7/2 - 1 \ne 3/2 \]

In pa

\[ \vec{J}_2 = \vec{J}_1 + \vec{L}_{\gamma} = \begin{cases} \vec{1/2} + \vec{2} \\ \vec{3/2} + \vec{2} \\ \vec{5/2} + \vec{2}\end{cases} = \begin{cases} J_2 = \left\{ 3/2, 5/2 \right\} \\ J_2 = \left\{ 1/2, 3/2, 5/2, 7/2 \right\} \\ J_2 = \left\{ 1/2, 3/2, 5/2, 7/2, 9/2 \right\}\end{cases} \]

Iz česar sledi

\[ J_2 = \left\{ 1/2, 3/2, 5/2, 7/2, 9/2 \right\} \]

Tukaj ne gledamo preseka in pa vse imajo pozitivno parnost, kakor smo gledali prej.

Postopek je sedaj sledeč. Dodamo še eno orbitalo

\begin{align*} 1g_{9/2}^{+} & \\ 2p_{1/2} & \\ 1f_{5/2} & \quad 1 \\ &- \\ 2p_{3/2} & \quad 4; \ \sum\limits_{}^{} 32 \end{align*}

Izbran \( J_0 = 3/2 ^- \)se ujema s spodnjo vrstico. Naslednji člen je \( 1f_{5/2} \), kar pomeni, da iz množice \( J_1 = \left\{ 1/2, 3/5, 5/2 \right\} \) izberemo \( 5/2 \). Potem pa pogledamo kombinacije, ki nam jih da \( J_1 = 5/2 \) za \( J_2 \), ki so \( J_2 = \left\{ 1/2, 3/2, 5/2, 7/2, 9/2 \right\} \). Lahko bi izbrali \( 2p_{1/2} \), ampak se parnost ne ujema, zato izberemo najvišjo orbitalo, kjer se tudi parnost ujema, in to je \( 1g_{9/2} \).

2. Razpad \( \beta \)

Ohranja se energija:

\[ Q = T_e + T_{\nu} \]

Velja Sargentovo pravilo

\[ p = \frac{\left| T_{ji} \right|^2}{60 \pi ^3} Q ^5 \]

Tretja stvar, ki velja

\begin{align*} \vec{J}_i = \vec{J}_f + \vec{J}_{e\nu} \\ \vec{J}_{e\nu} &= \vec{S}_{e\nu} + \vec{L} \\ S_e &= 1/2 \\ S_{\nu} &= 1/2 \\ \vec{S}_{e\nu} &= 1/2 + 1/2 = \underbrace{\vec{0}}_{(1)} + \underbrace{\vec{1}}_{(2)} \end{align*}

kjer je (1) singlet, Fermi razpadi, ter (2) Gamow-Teller razpadi.

Pazi, lahko “kršijo” parnost \( P_{e\nu} = \left( -1 \right)^{L_{e\nu}} \).

Naboj se ohranja.

Leptonsko število se ohranja

\begin{align*} e^-: L_e &= 1 \\ e^+: L_e &= -1 \\ \nu_e: L_{\nu} &= 1 \\ \bar{\nu}_e : L_{\nu} &= -1 \end{align*}

3. Šesti sklop nalog

3.1. 3. naloga

Kateri izmed spodnjih \( \beta \) razpadov so dovoljeni? Klasificiraj razpade. Za tiste, ki niso dovoljeni, razloži zakaj.

\[ ^{115} In \left( 9/2 ^+ \right) \to ^{115} Sn \left( 1/2 ^+ \right) + e + \bar{\nu} \]

Preverimo energijsko bilanco.

\( In \) vtakneš v SEMF, \( Sn \) vtakneš v SEMF in če imate enak odnos do SEMF-a kot jaz, bi na izpitih in na kolokvijih energijska bilanca štimala.

Energijska bilanca štima.

Preverimo parnost - elementa štimata, vendar ne vemo, dokler ne poračunamo.

Začetno stanje je \( i: 9/2 ^+ \), končno stanje je \( f: 1/2^+ \)

\begin{align*} \vec{J}_i &= \vec{J}_f + \vec{J}_{e\nu} \\ \vec{J}_i &= \vec{J}_f + \vec{S}_{e\nu} + \vec{L} \\ \vec{J}_i = \vec{J}_f + \left( \vec{0} + \vec{1} \right) + \vec{L} \end{align*}

Če \( \vec{S}_{e\nu} = \vec{0} \) velja:

\[ \vec{J}_i = \vec{J}_f + \vec{L} \implies \vec{9/2} = \vec{1/2} + \vec{L} \]

Iz česar sledi, da je

\[ \vec{L} = \vec{9/2} + \vec{1/2} = \left\{ \left| 9/2 - 1/2 \right| \ldots \left| 9/2 + 1/2 \right|\right\} = \left\{ 4, 5 \right\} \]

Za \( L = 4 \) je parnost

\[ P_{e\nu} = \left( -1 \right)^4 = 1 \]

kar je kul, za \( L = 5 \), pa je \( P_{e\nu}= -1 \), kar pa ni kul, saj

\[ P_i = P_f \cdot P_{e\nu} \]

ne drži. Če \( S_{e\nu}= 0 \) potem je razpad dovoljen preko \( L = 4 \) in tip razpada je Fermi.

Če \( \vec{S}_{e\nu}= 1 \) velja

\[ L = \left\{ \left| 9/2 - 1/2 - 1 \right| \ldots \left| 9/2 + /1/2 + 1 \right|\right\} = \left\{ 3, 4, 5, 6 \right\} \]

In parnosti so

\[ P = \left\{ -1,+1, -1, +1 \right\} \]

Če je \( S_{e\nu}= 1 \), potem je razpad dovoljen preko \( L = 4, 6 \), tip razpadov pa je Gamow-Teller.

Pri istih vrtilnih količinah, bo prevladoval Fermi, če ima Gamow-Teller več vrtilnih količin, pa prevladuje ta (glej c)) primer.

\[ ^{141} Cs \left( \frac{7}{2}^+ \right) \to ^{141} Ba \left( \frac{3}{2}^- \right) + e + \bar{\nu} \]

Za \( \vec{S}_{e\nu} = 0 \) sledi

\[ \vec{L} = \left\{ \left| \frac{3}{2} - \frac{7}{2} \right| \ldots \left| \frac{3}{2} + \frac{7}{2} \right|\right\} = \left\{ \cancel{2}, 3, \cancel{4}, 5 \right\}; \ P_{e\nu} = \left\{ \cancel{+1}, -1, \cancel{+1}, -1 \right\} \]

in je prehod pri Fermiju prehod pri \( L = 3, 5 \).

Medtem ko pri Gamow-Tellerju je

\[ \vec{L} = \left\{ 1, \cancel{2}, 3, \cancel{4}, 5, \cancel{6} \right\} \]

in je prehod pri \( L = 1, 3, 5 \)