2026/03/12
Allegedly smo se zmenili, da bomo izpuščali vektorski znak, torej \( \mathbf{x} = x \).
Prejšnji teden smo za sistem \( S \) s spremenljivko \( x(t) \), meritev \( z = H x + r \) in ocenami \( x = \bar{x} + m \) spoznali, da je kovariančna matrika izostrene ocene enaka
\[\begin{equation} \label{eq:2} P = \left\langle \hat{p} \hat{p}^{T} \right\rangle = A M A^T + B RB^T \end{equation} \]z vezjo \( A + BH = I \).
Za ostrenje bomo uporabili Lagrangeev multiplikator z vezjo
\[ \tilde{P} = A M A^T + BRB ^T - \lambda \left( A + BH - I \right). \]
V resnici bomo odvajali \( \mathrm{tr} P \), zato je pogoj
\[ \frac{\partial \tilde{P}}{\partial A} = 0 \]
v resnici
\[ \frac{\partial \mathrm{tr} \tilde{P}}{\partial A} = 0. \]
Dobimo 3 pogoje
\[\begin{align*} \frac{\partial \mathrm{tr} \tilde{P}}{\partial A} &= 0 = 2 Am - \lambda ^T \\ \frac{\partial \mathrm{tr} \tilde{P}}{\partial B} &= 0 = 2B R - \left( H \lambda \right)^T \\ \frac{\partial \mathrm{tr} \tilde{P}}{\partial \lambda} &= 0 = \left( A + BH - I \right)^T . \end{align*} \]Iz prvega pogoja lahko ob upoštevanju lastnosti transponiranja matrike izrazimo
\[ A^T = M^{-1} \frac{\lambda}{2}. \]
Na podoben način iz drugega pogoja izrazimo
\[ B^T = R^{-1} H \frac{\lambda}{2}. \]
Transponirane vrednosti vstavimo v tretji pogoj
\[ A^T + H^T B^T = M^{-1} \frac{\lambda}{2} + H^T R^{-1} H \frac{\lambda}{2} = \frac{\lambda}{2} \left( M^{-1} + H^T R^{-1} H \right) = I. \]
Posledično lahko izrazimo
\[\begin{equation} \label{eq:3} \frac{\lambda}{2} = \left( M^{-1} + H^T R^{-1} H \right)^{-1}. \end{equation} \]Izražene vrednosti lahko vstavimo v enačbo \(\ref{eq:2}\)
\[\begin{align*} P &= \frac{\lambda^T}{2} M^{-1} M M^{-1} \frac{\lambda}{2} + \frac{\lambda}{2} H^T R^{-1} R R^{-1} H \frac{\lambda}{2} \\ &= \frac{\lambda^T}{2} \left( M^{-1} + H^T R^{-1} H \right) \frac{\lambda}{2} = \frac{\lambda}{2}. \end{align*} \]V oklepaju v zadnji vrstici prepoznamo \(\ref{eq:3}\) in ga nadomestimo z \( \left( \frac{\lambda}{2} \right)^{-1} \).
Torej je \(\ref{eq:3}\) enako \( P \) in posledično dobimo
\[\begin{equation} \label{eq:5} P^{-1} = M^{-1} + H^T R^{-1} H, \end{equation} \]kar je vektorski analog
\[ \frac{1}{\hat{\sigma}_x ^2} + \frac{1}{\bar{\sigma}_x ^2} + \frac{1}{\sigma ^2}. \]
Po nekaj čaranja, lahko izrazimo tudi
\[ P = M - M H^T \left( R + H M H^T \right)^{-1} HM \]
Izostrena ocena je po definiciji
\[ \hat{x} = A \bar{x} + B z = \frac{\lambda^T}{2} M^{-1} \bar{x} + \left( H \frac{\lambda}{2} \right)^T R^{-1} z. \]
Izraza ne spremenimo, če ga razširimo z \( H^T R^{-1} H \bar{x} - H^T R^{-1} H \bar{x} \) in dobimo
\[\begin{align*} \hat{x} &= \frac{\lambda^T}{2} M^{-1} \bar{x} + \left( H \frac{\lambda}{2} \right)^T R^{-1} z + H^T R^{-1} H \bar{x} - H^T R^{-1} H \bar{x} \\ &= \frac{\lambda^T}{2} \left[ \left( M^{-1} + H^T R^{-1} H \right) \bar{x} + H^T R^{-1} \left( z - H\mathbf{x} \right) \right] \end{align*} \]Od prej vemo \( P = \frac{\lambda^T}{2} \), hkrati pa je tudi prvi oklepaj prav tako ravno \( \left( \frac{\lambda^T}{2} \right)^{-1} \) in po množenju je izostrena ocena
\[ \hat{x} = \bar{x} + P H^T R^{-1} \left( z - H \bar{x} \right), \]
kjer so \( \bar{x} \) napoved, \( PH^T R^{-1} \) utež in \( (z - H \bar{x}) \) inovacija.
Podobno kot v pri skalarni izpeljavi, imamo čas vzorčenja \( T \). Nahajamo se v \( n T \) vzorčenju in zanima nas vzorčenje \( n + 1 \).
V sistemu \( S \) imamo
\[ x _{n + 1} = \phi_n x_n + c_n + \Gamma_n w_n, \]
kjer je zadnji člen dinamični šum.
V merilnem sistemu \( M \) imamo izostreno oceno \( \hat{x}_n \) in bo ocena za naslednje vzorčenje
\[ \bar{x}_{n + 1} = \phi_n \hat{x}_n + c_n. \]
Kovariančna matrika za naslednje vzorčenje \( M_{n + 1} \) bo po definiciji
\[ M_{n + 1} = \left\langle \left( \bar{x}_{n + 1} - x_{n + 1} \right) \left( \bar{x}_{n + 1} - x_{n + 1} \right)^T \right\rangle. \]
Vstavimo vrednosti posameznih spremenljivk in dodatno razpišemo
\[\begin{align*} M_{n + 1} &= \left\langle \left( \phi_n \left( \hat{x}_n - x_n \right) + \Gamma_n w_n \right) \left( \phi_n \left( \hat{x}_n - x_n \right) + \Gamma_n w_n \right)^T \right\rangle \\ &= \left\langle \phi_n \left( \hat{x}_n - x_n \right) \left( \hat{x}_n - x_n \right)^T \phi_n^T \right\rangle + \Phi \left\langle w_n w_n^T \right\rangle \Gamma_n^T + \cancel{\left\langle \ldots \right\rangle} \end{align*} \]V prvem členu prepoznamo matriko \( P_n \) in drugi člen pa označimo \( \left\langle w_n w_n^T \right\rangle = Q_n \).
\[ M_{n + 1} = \phi_n P_n \phi_n^T + \Gamma_n Q_n \Gamma_n^T. \]
Kalmanov filter za diskretno vektorsko spremenljivko bo torej
\[ P_{n + 1} = M_{n + 1} - M_{n + 1} H^T \left( H M_{n + 1} ^T + R_{n + 1} \right)^{-1} H M_{n + 1}, \]
kjer smo upoštevali relacijo \(\ref{eq:5}\).
Pojdimo sedaj v zvezno sliko \( \lim_{T \to 0} \). Za meritvi \( n \) in \( n + 1 \) imamo potem
\[ \frac{\hat{x}_{n + 1} - \hat{x}_n }{T} = \dot{\hat{x}} (t) = \frac{\bar{x}_{n + 1} - P_{n + 1} H^T R_{n + 1}^{-1} \left( z_{n + 1} - H \bar{x}_{n + 1} \right) - \hat{x}_n}{T} \]
Upoštevamo prej izpeljane relacije in zapišemo
\[\begin{align*} \dot{\hat{x}} (t) &= \frac{\phi_{n + 1} \hat{x}_n - \hat{x}_n + c_n + P_{n + 1} H^T R_{n + 1}^{-1} \left( z_{n + 1} - H \bar{x}_{n + 1} \right)}{T} \\ &= \frac{\phi_{n + 1} - 1}{T} \hat{x}_n + \frac{c_n}{T} + P(t) H^T R(t) ^{-1} \left( z(t) - H \hat{x}(t) \right) \end{align*} \]Kateri člen je ekvivalent \( \sigma T \) iz analogne slike?
Z uvedbo \( A(t) = \frac{\phi_{n+ 1} - 1}{T} \) in \( c(t) = \frac{c_n}{T} \) dobimo optimalno shemo za sledenje zvezni spremenljivki
\[ \dot{\hat{x}} (t) = A(t) \hat{x} + c(t) + P H^{T} R^{-1} \left( z - H x \right). \]
Poglejmo si še \( P \) v zvezni sliki. Zapišemo razliko in upoštevamo definicijo Kalmanovega filtra za zvezno spremenljivko
\[ P_{n + 1} - P_n = M_{n + 1} - M_{n + 1} H^T \left( H M_{n + 1} ^T + R_{n + 1} \right)^{-1} H M_{n + 1} - P_n. \]
Upoštevamo še definicijo kovariančne matriko
\[ P_{n + 1} - P_n = \phi_n P_n \phi_n^T + \Gamma_n Q_n \Gamma_n^T - M_{n + 1} H^T \left( H M_{n + 1} ^T + R_{n + 1} \right)^{-1} H M_{n + 1} - P_n. \]
Vemo, da je \( \phi_n = \left( 1 + A \cdot T \right) \) in po deljenju s \( T \) dobimo
\[\begin{align*} \frac{P_{n + 1} - P_n}{T} &= \frac{\left[ P_n + A P_n \cdot T + P_n A^T \cdot T + A P_n A T ^2 \right] - P_n}{T} \\ &\quad- \frac{M_{n + 1} H^T \left( H M_{n + 1} ^T + R_{n + 1} \right)^{-1} H M_{n + 1}}{T} + \frac{\Gamma_n Q_n T_n^T}{T} \end{align*} \]Dobimo
\[ \dot{P} = AP + PA^T + \frac{T_n Q_n T_n^T}{T} - \frac{M_{n + 1} H^T \left( H M_{n + 1} ^T + R_{n + 1} \right)^{-1} H M_{n + 1}}{T} \]
V limiti označimo \( \frac{\Gamma_n}{T} = T(t) \) in \( Q(t) = Q_n T \) in potem je
\[ \dot{P} = A P + PA^T + \Gamma Q \Gamma^T - P H^T R^{-1} H P. \]
Pri zadnjem členu je bil sledeč razmislek
\[ \frac{\left( H M_{n + 1}^T + R_{n + 1}\right)^{-1}}{T} = T HM_{n + 1}^T + R_{n + 1} T \]
Kovariančna matrika \( M_{n + 1} \) gre v limiti proti končni matriki \( P(t) \). Posledično bo zmnožek \( HM_{n + 1} ^T T \) ničeln. Drugi člen pa je vektorski ekvivalent limite
\[ \lim_{T \to 0} \left( T R_{n + 1} \right) = T \sigma ^2. \]
Zadnji člen zmanjšuje \( P(t) \) (člen je vedno pozitiven, vendar ima negativen predznak) zaradi dotoka novih meritev. \( R \) pogojuje kovariančno matriko merilnega šuma.
Note
Imejmo dve poljubni matriki \( A, \lambda \). Zmnožimo ju v novo matriko \( B = A \lambda \).
Odvod matrične norme po matriki je nova matrika
\[ C = \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} A} \left( \mathrm{tr} \left( A \lambda \right) \right). \]
Člen \( b_{jk} \) je po definiciji
\[ b_{jk} = \sum\limits_i^{} a_{ji} \lambda_{ik}. \]
Sled matrike \( B \) je potem
\[ \mathrm{tr} B = \sum\limits_j^{} b_{ji} = \sum\limits_j^{} \sum\limits_i^{} a_{ji} \lambda_{ji}. \]
Člen matrike \( C \) je potem
\[ c_{kl} = \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} a_{kl}} \mathrm{tr} \left( A \lambda \right) = \sum\limits_j^{} \sum\limits_i^{} \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} a_{kl}} \left( a_{ji} \lambda_{ji} \right). \]
To se ujema, samo ko bosta indeksa v odvodu in in \( a_{ji} \) enaka. Zapišemo lahko s Kronekerjevo delot ko
\[ c_{kl} = \delta_{kj } \delta_{li} \lambda_{ij} = \lambda_{ck}. \]
Torej
\[ c_{kl} = \lambda_{ck} = \left( \lambda_{kl} \right)^T. \]