Obravnavajmo enodimenzionalni primer delca, ki se premika s hitrostjo \( \dot{x} \). Na delec vplivajo naključne sile, ki jih bomo označili z \( F_x (t) \) in predstavljajo šum. Na delec prav tako vpliva Stokesov izrek upora.

Dinamiko delca bomo opisali z drugim Newtonovim zakonom, ki je v splošnem

\[ \sum\limits_{}^{} F_i = m \ddot{x}. \]

Za naš konkretni primer na delec deluje vsota sil Stokesa in naključnih sil

\[ \ddot{x} = - \frac{6 \pi R \eta}{m} \dot{x} + \frac{F_x}{m} (t). \]

Za dinamični šum velja

\[ \left\langle \frac{F_x(t)}{m}, \frac{F_x(t')}{m} \right\rangle = \delta(t - t')\cdot Q. \]

Imamo dve spremenljivki, ki ju vektorsko zapišemo \( \mathbf{x} = [x, v] \). Za dani spremenljivki torej velja dinamika

\[\begin{align*} \dot{x} &= v \\ \dot{v} &= - \frac{1}{\tau} v+ \frac{F_x (t)}{m}. \end{align*} \]

Označili smo \( \frac{1}{\tau} = \frac{6\pi R \eta}{m} \).

Gibanje v matrični obliki je tako

\[ \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t} \begin{bmatrix} x \\ v \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & -\frac{1}{\tau} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ v \end{bmatrix} + \frac{F_x (t)}{m} \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}. \]

Dobili smo torej sistem, ki ima dinamiko oblike

\[ \dot{\mathbf{x}} = A \mathbf{x} + \Gamma w, \]

kjer je \( w = F_x \).

Ob času \( t = 0 \) je meritev leg v senzorju prekinjena. Kovariančna matrika ima vrednost \( P(0) = P_0 \), izhodišče koordinatnega sistema \( M \) pa je postavljeno tako, da \( \bar{x} = 0 \) in \( \bar{v} = 0 \).

Kovariančna matrika ima v odvisnosti od časa obliko

\[ P(t) = \begin{bmatrix} \left\langle x ^2 \right\rangle (t) & \left\langle xv \right\rangle \\ \left\langle xv \right\rangle & \left\langle v ^2 \right\rangle (t) \end{bmatrix} \]

Za \( t > 0 \) pa je naš sistem

\[ \dot{P} = A P + PA^T + \Gamma Q \Gamma^T \cancel{- PH^T R^{-1} H P}, \]

kjer smo rekli \( R \to \infty \).

Matrika \( A \) je simetrična, torej bo zanjo veljalo \( A = A^T \) in posledično \( PA^T = \left( AP \right)^T \). Sistem torej zapišemo

\[\begin{align*} \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t} P &= \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & -\frac{1}{\tau} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \left\langle x ^2 \right\rangle & \left\langle xv \right\rangle \\ \left\langle xv \right\rangle & \left\langle v ^2 \right\rangle \end{bmatrix} +\begin{bmatrix} \left\langle x ^2 \right\rangle & \left\langle xv \right\rangle \\ \left\langle xv \right\rangle & \left\langle v ^2 \right\rangle \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & -\frac{1}{\tau} \end{bmatrix} \\ & \quad + \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} [0 \quad 1] Q \\ \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t} \begin{bmatrix} \left\langle x ^2 \right\rangle & \left\langle xv \right\rangle \\ \left\langle xv \right\rangle & \left\langle v ^2 \right\rangle \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \left\langle xv \right\rangle & \left\langle v ^2 \right\rangle \\ -\frac{1}{\tau}\left\langle xv \right\rangle & - \frac{1}{\tau} \left\langle v ^2 \right\rangle \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \left\langle xv \right\rangle & - \frac{1}{\tau} \left\langle xv \right\rangle \\ \left\langle v ^2 \right\rangle & - \frac{1}{\tau} \left\langle v ^2 \right\rangle \end{bmatrix} \\ & \quad + \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & Q \end{bmatrix} \end{align*} \]

Dobimo torej sistem enačb

\[\begin{align*} \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t} \left\langle x ^2 \right\rangle &= 2 \left\langle x v \right\rangle \\ \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\left\langle xv \right\rangle &= \left\langle v ^2 \right\rangle - \frac{1}{\tau} \left\langle xv \right\rangle \\ \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t} \left\langle v ^2 \right\rangle &= - \frac{2}{\tau} \left\langle v ^2 \right\rangle + Q. \end{align*} \]

Poglejmo si stacionarne rešitve v termodinamskem ravnovesju za \( \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\left\langle v ^2 \right\rangle = 0 \).

\[ \left\langle v ^2 \right\rangle _{\infty} = \frac{Q \tau}{2}. \]

Preko ekviparticijskega izreka jo lahko povežemo s temperaturo \( T \) tekočine.

\[ \frac{1}{2} m \left\langle v ^2 \right\rangle _{\infty} = \left\langle W_t \right\rangle = \frac{k T}{2} \]

Nadomestimo izraz disperzije hitrosti in dobimo vrednost dinamičnega šuma

\[ \left\langle v ^2 \right\rangle _{\infty} = \frac{k T}{m} = \frac{Q \tau}{2} \implies Q = \frac{2k T}{m \tau}. \]

Lega delca in njegova hitrost sta korelirani, kakor vidimo iz druge enačbe našega sistem. V stacionarnem primeru upoštevamo vrednost \( \left\langle v ^2 \right\rangle \)

\[ 0 = \left\langle v ^2 \right\rangle _{\infty} - \frac{1}{\tau} \left\langle xv \right\rangle_{\infty} \implies \frac{Q \tau}{2} = \frac{1}{\tau} \left\langle xv \right\rangle_{\infty}. \]

Potem dobimo

\[ \left\langle xv \right\rangle _{\infty} = \frac{Q \tau ^2}{2} = \frac{2k T}{m \tau} \implies \left\langle xv \right\rangle_{\infty} = \frac{k T \tau}{m}. \]

Disperzija lege nima stacionarne rešitve zaradi

\[ \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t} \left\langle x ^2 \right\rangle = 2 \left\langle xv \right\rangle_{\infty} \ne 0. \]

Zato bomo enačbo integrirali.

\[\begin{align*} \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t} \left\langle x ^2 \right\rangle &= 2 \left\langle x v \right\rangle_{\infty} && \left/ \int\limits_0^t \, \mathrm{d} t \right. \\ \left\langle x ^2 (t) \right\rangle - \left\langle x ^2 (0) \right\rangle &= \frac{2 k T \tau}{ m} t. \end{align*} \]

Označimo \( \frac{k T \tau}{m} = D \) in dobimo difuzijsko enačbo

\[ \left\langle x ^2 \right\rangle = \left\langle x ^2 (0) \right\rangle + 2 D t. \]

Če ob nekem trenutku prenehamo z meritvami lege delcev, se njihova negotovost začne povečevati tako, da disperzija lege raste linearno s časom.

V treh dimenzijah je potem rešitev

\[ \left\langle r ^2 \right\rangle = \left\langle r ^2 (0) \right\rangle + 6 D t. \]

Sedaj pa začnemo meriti lego delca. Okno je potem \( H = [1 0 ] \). Meritev bo imela obliko \( z = H \mathbf{x} + r \).

Sedaj imamo prej neupoštevan člen \( P H^T R^{-1} H P \), kar je

\[ P H^T R^{-1} HP = \begin{bmatrix} \left\langle x ^2 \right\rangle & \left\langle xv \right\rangle \\ \left\langle xv \right\rangle & \left\langle v ^2 \right\rangle \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \frac{1}{R} [1 0] \begin{bmatrix} \left\langle x ^2 \right\rangle & \left\langle xv \right\rangle \\ \left\langle xv \right\rangle & \left\langle v ^2 \right\rangle \end{bmatrix} \]

Matrike se med seboj zmnožijo v

\[\begin{align*} P H^T R^{-1} HP &= - \frac{1}{R} \begin{bmatrix} \left\langle x ^2 \right\rangle \\ \left\langle xv \right\rangle \end{bmatrix} \left[\left\langle x ^2 \right\rangle \quad \left\langle xv \right\rangle\right] \\ &= - \frac{1}{R} \begin{bmatrix} \left\langle x ^2 \right\rangle & \left\langle x ^2 \right\rangle \left\langle xv \right\rangle\\ \left\langle xv \right\rangle \left\langle x ^2 \right\rangle & \left\langle xv \right\rangle ^2 \end{bmatrix} \end{align*} \]

Potem imamo sistem enačb

\[ \dot{P} = \begin{bmatrix} 2 \left\langle xv \right\rangle - \frac{1}{R} \left\langle x ^2 \right\rangle ^2 & \left\langle v ^2 \right\rangle - \frac{1}{\tau} \left\langle xv \right\rangle - \frac{1}{R} \left\langle x ^2 \right\rangle \left\langle xv \right\rangle \\ \left\langle v ^2 \right\rangle - \frac{1}{\tau} \left\langle xv \right\rangle - \frac{1}{R} \left\langle x ^2 \right\rangle \left\langle xv \right\rangle & - \frac{2}{\tau} \left\langle v ^2 \right\rangle - \frac{1}{R} \left\langle xv \right\rangle ^2 + Q \end{bmatrix} \]

V termodinamskem ravnovesju \( \dot{P} = 0 \) iščemo stacionarne rešitve za naslednje tri sisteme enačb

\[\begin{align*} 2 \left\langle xv \right\rangle - \frac{1}{R} \left\langle x ^2 \right\rangle ^2 &= 0\\ \left\langle v ^2 \right\rangle - \frac{1}{\tau} \left\langle xv \right\rangle - \frac{1}{R} \left\langle x ^2 \right\rangle \left\langle xv \right\rangle &= 0 \\ -\frac{2}{\tau} \left\langle v ^2 \right\rangle - \frac{1}{R} \left\langle xv \right\rangle ^2 + Q &= 0 \end{align*} \]

Iz prve enačbe dobimo enakost \( \left\langle xv \right\rangle = \frac{1}{2 R} \left\langle x ^2 \right\rangle ^2\), ki jo nesemo v tretjo enačbo

\[\begin{align*} \left\langle v ^2 \right\rangle &= \frac{Q \tau}{2} - \frac{\tau}{2 R} \left\langle xv \right\rangle ^2 \\ &= \frac{Q \tau}{2} - \frac{\tau ^4}{2 R} \cdot \frac{1}{\left( 2R \right) ^2} \frac{\left\langle x ^2 \right\rangle ^4}{\tau ^3} \frac{R}{R} \end{align*} \]

V zadnji vrstici smo razširili in sedaj lahko uvedemo brezdimenzijsko spremenljivko \( Y = \left\langle x ^2 \right\rangle \frac{\tau}{R} \) in imamo torej

\[ \left\langle v ^2 \right\rangle = \frac{Q \tau}{2} - \frac{Y ^4 R}{8 \tau ^3}. \]

Slednje vstavimo v drugo enačbo in dobimo rešitev

\[ Y ^4 + 4 Y ^3 + 4 Y ^2 = \frac{4 Q T ^4}{R}. \]

Leva stran enačbe je \( f(Y) \). Obstaja rešitev, ko ta funkcija seka \( \frac{4 Q T ^4}{R} \).

Recimo, da imamo grobo meritev lege. Potem je \( R \) velik, saj gre proti \( \infty \). Posledično je desna stran enačba majhna in velja \( Y ^4 \ll Y^2 \ll Y = \left\langle x ^2 \right\rangle \frac{\tau}{R} \).

Ostane nam

\[ 4 Y ^4 = \frac{4 Q \tau ^4}{R} \implies Y = \sqrt{\frac{Q}{R}} \tau ^2 = \left\langle x ^2 \right\rangle \frac{\tau}{R}. \]

Nedoločenost lege je torej konstantna

\[ \left\langle x ^2 \right\rangle = \sqrt{Q R} \cdot \tau. \]

Zaključimo, da je kakršnakoli meritev dobrodošla, dokler je \( R < \infty \).

Merimo napetost na kondenzatorju s kapaciteto \( C \), ki se prazni preko upornika \( R \) - enostaven RC člen. Meritev napetosti \( U_C \) označimo z \( Z \).

V sistemu \( S \) si poglejmo dinamiko. V primeru, da nimamo gonilne napetosti \( U_g \), bo veljalo

\[ \sum\limits_i^{} U_i = U_C + U_R = 0. \]

Napetost na kondenzatorju je po definiciji \( U_C = \frac{e}{C} \). Po zgornji enačbi torej velja

\[ \frac{e}{C} = - U_R. \]

Enačbo sedaj odvajajmo po času

\[\begin{equation} \label{eq:1} \frac{\dot{e}}{C} = - \dot{U}_R. \end{equation} \]

Po času odvajamo tudi prvotno enačbo

\[ \dot{U}_C + \dot{U}_R = 0 \implies \dot{U}_C = - \dot{U}_R. \]

V enačbo \(\ref{eq:1}\) vstavimo zgornjo enakosti in upoštevamo definicijo električnega toka \( I = \frac{\mathrm{d} e}{\mathrm{d} t} \)

\[ - \frac{I}{C} = \dot{U}_C. \]

Napetost v uporniku je podana preko Ohmovega zakona \( U_R = - IR \). Zgornjo enačbo torej lahko zapišemo

\[ \dot{U}_C = - \frac{1}{I RC} U_R = \frac{1}{\tau} U_R = - \frac{1}{\tau} U_C \]

Dinamika sistema za \( U_C \) v sistemu \( S \) je

\[ \dot{U}_C + \frac{1}{\tau} U_C = 0. \]

Sistem ima lahko seveda tudi naključen šum, torej ima dinamika novo komponento

\[\begin{equation} \label{eq:2} \dot{U}_C = - \frac{1}{\tau} U_C + w(t), \end{equation} \]

za katerega velja

\[ \left\langle w(t), w(t') \right\rangle = \delta(t - t') Q. \]

Meritev je oblike \( z = U_C + r \), kjer je \( \left\langle r ^2 \right\rangle = R \).

Ocena napetosti je \( \hat{U}_C \) ima začetno vrednost disperzije

\[ P_0 = \left\langle \left( \hat{U}_C - U_C \right) ^2 \right\rangle . \]

Disperzijo v kasnejšem času opisuje enačba

\[ \dot{P} = 2 A P + Q - \frac{P ^2}{R}. \]

Primerjamo enačbo \(\ref{eq:2}\) s splošno obliko dinamike \( \dot{x} = A x + \Gamma \), iz česar zaključimo, da so posamezni koeficienti \( A = - \frac{1}{\tau} \) in \( \Gamma = 1 \). Vstavimo jih v zgornjo enačbo in dobimo

\[\begin{equation} \label{eq:3} \dot{P} = - \frac{2}{\tau} P + Q - \frac{P ^2}{R} = 0. \end{equation} \]

V limiti \( t \to \infty \) bo veljalo

\[ - \frac{2}{\tau} P - \frac{P ^2}{R} + Q = 0. \]

Želimo najti ničle te kvadratne enačbe, da lahko zapišemo v ničelni(?) obliki

\[ \frac{1}{R} \left( P - P_{1 \infty} \right) \left( P - P_{2 \infty} \right) = 0. \]

Poiščimo sedaj \( P_{1, 2} \). Preoblikujemo kvadratno enačbo

\[ \frac{2 R}{\tau} P + P ^2 - Q R = 0. \]

Rešitvi kvadratne enačbe sta tako

\[ P_{1, 2} = - \frac{R}{\tau} \pm \frac{R}{\tau} \sqrt{1 + \frac{Q R \tau ^2}{R ^2}}. \]

Označimo \( \alpha = \frac{R}{\tau} \sqrt{1 + \frac{Q R \tau ^2}{R ^2}} \) in so ničle \( P_{1, 2} = - \frac{R}{\tau} \pm \alpha \).

Za vsak \( t \) potem lahko diferencialno enačbo \(\ref{eq:3}\) integriramo

\[ \int\limits_{}^{} \frac{\mathrm{d} P}{\frac{1}{R} \left( P + \frac{R}{\tau} - \alpha \right) \left( P + \frac{R}{\tau} + \alpha \right)} = - \int\limits_{}^{} \, \mathrm{d} t. \]

Ulomek razcepimo

\[ \frac{1}{\left( P + \frac{R}{\tau} - \alpha \right) \left( P + \frac{R}{\tau} + \alpha \right)} = \frac{\frac{1}{2 \alpha}}{\left( P + \frac{R}{\tau} - \alpha \right)} - \frac{\frac{1}{2 \alpha}}{\left( P + \frac{R}{\tau} + \alpha \right)} \]

Integral torej zapišemo kot

\[ R \left[ \int\limits_{}^{} \frac{1}{2 \alpha} \frac{\mathrm{d} P}{\left( P + \frac{R}{\tau} - \alpha \right)} - \int\limits_{}^{} \frac{1}{2 \alpha} \frac{\mathrm{d} P}{\left( P + \frac{R}{\tau} + \right)} \right] = - \int\limits_{}^{} \, \mathrm{d} t. \]

Integrala sedaj trivialno integriramo

\[ - \frac{2 \alpha t}{R} = \left. \left[ \ln \left( P + \frac{R}{\tau} - \alpha \right) - \ln \left( P + \frac{R}{\tau} + \alpha \right) \right] \right|_{P_0}^P = \left. \ln \left( \frac{P + \frac{R}{\tau} - \alpha}{P + \frac{R}{\tau} + \alpha} \right) \right|_{P_0} ^P. \]

Preostane nam

\[ \frac{P + \frac{R}{\tau} - \alpha}{P + \frac{R}{\tau} + \alpha} = \frac{P_0 + \frac{R}{\tau} - \alpha}{P_0 + \frac{R}{\tau} + \alpha} \exp \left\{ - 2 \alpha t \frac{1}{R} \right\}. \]

Še zmeraj istemo stacionarno rešitev \( \dot{P} = 0 \). Ob času \( t = 0 \) je \( P(0) = P_0 \) in bo koeficient pred eksponentom približno \( 1 \).

Preostane nam torej

\[ \left( P + \frac{R}{\tau} - \alpha \right) = \left( P + \frac{R}{\tau} + \alpha \right) \exp \left\{ - 2 \alpha \frac{1}{R} \right\}. \]

Izrazimo \( P \)

\[ P \left( 1 - \exp \left\{ 2 \alpha t \frac{1}{R} \right\} \right) = - \frac{R}{\tau} \left[ 1 - \exp \left\{ - 2 \alpha t \frac{1}{R} \right\} \right] + \alpha \left[ 1 + \exp \left\{ - 2 \alpha t \frac{1}{R} \right\} \right]. \]

Torej je

\[ P = - \frac{R}{\tau} + \alpha \left[ \frac{1 + \exp \left\{ - 2 \alpha t \frac{1}{R} \right\}}{1 - \exp \left\{ -2 \alpha t \frac{1}{R} \right\}} \right]. \]

Za \( t \to \infty \) je potem

\[ P = - \frac{R}{\tau} + \alpha \]

in ob upoštevanju definicije \( \alpha \) je potem

\[ P_{\infty} = -\frac{R}{\tau} + \sqrt{\left( \frac{R}{\tau} \right) ^2 + R Q} \]

V primeru majhnega dinamičnega šuma \( Q \) je potem

\[ P_{\infty} = - \frac{R}{\tau} + \frac{R}{\tau} \sqrt{1 + \frac{Q \tau ^2}{R}}, \]

kar lahko razvijemo po Taylorju

\[ P = - \frac{R}{\tau} + \frac{R}{\tau} \left( 1 + \frac{Q \tau ^2}{2 R} \right) = \frac{Q \tau}{\tau}. \]

Ocena je v tem primeru po Kalmanu

\[ \dot{\hat{U}} = - \frac{1}{\tau} \hat{U} + K \left( z - \hat{U} \right) \]

oziroma

\[ \dot{\hat{U}} = - \frac{1}{\tau} \hat{U} + \frac{Q \tau}{2 R} \left( z - \hat{U} \right). \]

Zaradi dinamičnega šuma se ojačevalni faktor optimalnega filtra ustali pri končni vrednosti \( K_{\infty} \).

Dobili smo sedaj novo časovno neodvisno konstanto, ki jo označimo z \( \frac{1}{\tau_{eff}} \)

\[ \dot{\hat{U}} = - \left( + \frac{1}{\tau} + \frac{Q \tau}{2 R} \right) \hat{U} + \frac{Q \tau}{ 2 R} = \frac{1}{\tau_{eff}} \hat{U}_R + \frac{Q \tau}{2 R}. \]

Velja \( \tau_{eff} < \tau \).

V primeru \( Q \to \infty \) pa gre \( \tau_{eff} \to 0 \). To pomeni, da je potem \( P \) stacionaren in napaka je enaka kakor pri meritvi. Če je \( Q = 0 \), potem moramo celoten čas \( \tau \) počakati, da se meritev umiri in je \( P \) konstanten. Za vse vrednosti vmes je toliko manj časa potrebno, da lahko zaupamo meritvi.

Poglejmo si primer termometra v kavi. Alkohol/živo srebro ima neko temperaturo \( T(t) \), ki se razteza. Kava ima temperaturo \( T_z \) in predstavlja zunanjo temperaturo. \( T(t) \) in \( T_z \) nista isti, saj ima termometer stekleno steno površine \( S \) z debelino \( d \), skozi katero gre toplotni tok \( \mathbf{j} \).

Toplotni tok je potem

\[ \mathbf{j} = - \lambda \nabla T \]

Toplotni tok je potem

\[ P = - \lambda \left( \frac{T_z - T}{d - 0} \right) S = - \frac{\lambda S}{d} \left( T_z - T \right). \]

Hkrati je torej ta toplotni tok tudi po definiciji spremembi toplote

\[ P = \frac{\mathrm{d} Q}{\mathrm{d} t} = - mc_P \frac{\mathrm{d} T}{\mathrm{d} t}. \]

Enačimo in dobimo

\[ \dot{T} = \frac{\lambda S}{m c_P d} \left( T_z - T \right). \]

Konstante označimo z \( \Lambda = \frac{\lambda S}{m c_p d} \) in enačba za senzor prvega reda je potem

\[ \frac{1}{\Lambda} \dot{T} + T = T_z. \]

V senzor vstopi \( T_z \) izstopi pa \( T \).