2026/03/24
Dinamiko sistema opisuje enačba
\[ \dot{\mathbf{x}} = A(t) \mathbf{x} + \mathbf{c}(t) + \Gamma \mathbf{w}(t), \]
kjer je \( \mathbf{w} \) vektor dinamičnega šuma. Za tako dinamiko lahko uporabimo Kalmanov filter za kovariančno matriko
\[ \mathbf{P} = AP + PA^T + \Gamma Q \Gamma^T - PH^TR^{-1} HP. \]
Zadnji člen ostri kovariančno matriko, \( H \) je okenska matrika, \( \mathbf{R} \) pa je kovariančna matrika meritev. V večini primerov bomo uporabljali samo
\[ \mathbf{P} = AP + PA^T + \Gamma Q \Gamma^T. \]
Kroglice z maso \( m \) spuščamo skozi dvojna svetlobna vrata. V prečni smeri med padanjem kroglic delujejo naključne sile \( F(t) \), za katere velja \( \left\langle F(t) \right\rangle = 0 \). Imamo dvoja svetlobna vrata enakih dimenzij. Vsaka vrata imajo polmer \( R \) in medsebojna razdalja je \( h \). Iz višine \( h \) nad prvimi svetlobnimi vrati spuščamo kroglice mase \( m \).
Skozi prva vrata pade \( \frac{2}{3} \) vseh kroglic. Kolikšen delež kroglic pade skozi druga vrata? Nedoločenost lege in hitrosti ob času \( t = 0 \) oziroma na izhodišču je \( \sigma_x (t = 0) = 0 \) in \( \sigma_v(t = 0) = 0. \)
Sile bomo opisali kot dinamični šum. Čas ob prehodu skozi prva vrata bomo označili s \( t_1 \), skozi druga vrata pa s \( t_2 \).
Trajektorije v prečni smeri ne moremo izračunati, saj na kroglice delujejo samo naključne sile.
S padanjem kroglice se bo širina Gaussove porazdelitve širila zaradi naključnih sil. Začetna Gaussova porazdelitev je zaradi nedoločenosti lege \( \sigma_x (t = 0) = 0 \) kar \( \delta \) funkcija.
Zanima na torej verjetnost
\[ P \left( - R < x(t_2) < R \right) = P \left( x(t_2) < R \right) - P \left( x(t_2) < -R \right). \]
Središče Gaussovih porazdelitev se ne bo premikalo. Premikalo bi se v primeru, če bi \( \left\langle F(t) \right\rangle = F_0 \). Če bi to držalo, bi naključne sile opisali kot \( F(t) = F_0 + f(t) \), kjer je \( \left\langle f(t) \right\rangle = 0\).
Verjetnost bomo zapisali s kumulativnimi funkcijami
\[ P \left( - R < x(t_2) < R \right) = F \left( \frac{R - 0}{\sigma_x (t_2)} \right) - F\left( \frac{- R + 0}{\sigma_x (t_2)} \right). \]
Upoštevamo lastnost kumulativnih funkcij \( F(-u) = 1- F(u) \). Verjetnost je tako
\[ P \left( - R < x(t_2) < R \right) = 2 F \left( \frac{R}{\sigma_x (t_2)} \right) - 1. \]
Poiščimo dinamiko našega sistema, izhajali pa bomo iz drugega Newtonovega zakona.
\[ \sum\limits_i^{} F_i = ma_x = m \ddot{x} = F(t). \]
Pospeške potem označimo kot
\[ \ddot{x} = \frac{F(t)}{m} = a(t) = w(t). \]
Pospešek v prečni smeri bo torej dinamični šum. Ker Kalmanov filter deluje samo za LDE 1. reda, moramo preiti na vektorsko sliko, kjer sta spremenljivki in enačbi \( \dot{x} = v \) in \( \dot{v} = \ddot{x} = w \). V vektorskem zapisu
\[ \mathbf{x} = \begin{bmatrix} \dot{x} \\ \dot{v} \end{bmatrix}. \]
Dinamiko lahko sedaj zapišemo kot
\[ \begin{bmatrix} \dot{x} \\ \dot{v} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ v \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ w \end{bmatrix}. \]
Kovariančna matrika bo imela obliko
\[ P = \begin{bmatrix} \sigma_{x} ^{2} & \sigma_{xv} \\ \sigma_{vx} & \sigma_{v} ^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} p_{11} & p_{12} \\ p_{21} & p_{22} \end{bmatrix}. \]
Mi pa iščemo z novo oznako \( \sigma_x (t) = \sqrt{p_{11}} \).
Uporabili bomo enačbo povedano v teoretičnem delu
\[ \dot{P} = AP + PA^T + \Gamma Q \Gamma^T. \]
Vrednosti elementov v matriki \( P \) ne poznamo in to niso začetne vrednosti,
\[ P = \begin{bmatrix} p_{11} & p_{12} \\ p_{21} & p_{22} \end{bmatrix}. \]
Ob času \( t = 0 \) je kovariančna matrika
\[ P(t = 0) = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}. \]
Ni potrebe po računanju členov \( AP \) in \( PA^T \), saj velja, da je matrika simetrična \( \left( AP \right)^T = P^T A^T = PA^T \).
Torej zapišemo
\[ AP = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} p_{11} & p_{12} \\ p_{12} & p_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} p_{12} & p_{22} \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, \]
kjer smo upoštevali simetričnost matrike \( p_{12} = p_{21} \). Nadalje
\[ PA^T = \begin{bmatrix} p_{12} & 0 \\ p_{22} & 0 \end{bmatrix}. \]
Poglejmo si še dinamičen šum, ki je definiran
\[ \Gamma Q \Gamma^T = \left\langle \Gamma \mathbf{w} \left( \Gamma \mathbf{w} \right)^T \right\rangle. \]
Vemo, da spremenljivka \( \dot{x} \) nima dinamičnega šuma in bo element \( q_{11} = 0 \). Poznamo pa dinamičen šum \( q_{22} = Q \), kjer je \( Q \) varianca dinamičnega šuma in je neznana. Hkrati pa so te matrike ponavadi diagonalne, torej
\[ \Gamma Q \Gamma^T = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & Q \end{bmatrix}. \]
Kovariančna matrika je torej
\[ \dot{P} = \begin{bmatrix} 2p_{12} & p_{22} \\ p_{22} & Q \end{bmatrix}. \]
Sedaj lahko iz matričnega sistema preberemo sistem parcialnih enačb
\[\begin{align*} \dot{p}_{11} &= 2p_{12} \\ \dot{p}_{12} &= p_{22} \\ \dot{p}_{22} &= Q. \end{align*} \]Privzamemo \( Q \ne Q(t) \). Postopek rešévanja bo sledeč: rešili bomo spodnjo, potem srednjo in na koncu rezultat vstavili v prvo enačbo.
Integriranje spodnje enačbe nam poda rezultat
\[ p_{22} (t) = Q t + p_{22} (0). \]
Integriramo še srednjo enačbo ob upoštevanju rezultata spodnje enačbe
\[ p_{12} (t) = \frac{1}{2} Q ^2 + p_{22} (0)t + p_{12} (0). \]
Podobno, vstavimo enačbo v zadnjo enačbo in integriramo
\[ p_{11} (t) = \frac{1}{3} Q t ^3 + p_{22} (0) t ^2 + 2 p_{12 } (0) t + p_{11} (0). \]
Upoštevamo iz začetnih pogojev \( p_{22} = p_{12} = p_{11} = 0 \). Ostale nam enačba
\[ p_{11} (t) = \frac{1}{3} Q t ^3. \]
Varianca lege je torej
\[\begin{equation} \label{eq:1} \sigma_x ^2 (t_2) = p_{11} (t_2) = \frac{1}{3} Q t_2 ^3. \end{equation} \]Še zmeraj moramo določiti varianco dinamičnega šuma, kar bomo naredili s pomočjo zadnjega neupoštevanega dejstva \( P \left( - R < x(t_1) < R \right) = \frac{2}{3} \).
Pomagali si bomo z dejstvom, da
\[ P \left( \sigma_1 (t_1) < x (t_1) < \sigma_x (t_1) \right) = 68 \%. \]
Ko primerjamo parametre, razberemo \( \sigma_x (t_1) = R \).
Pri prehodu skozi prva svetlobna vrata torej velja enačba
\[ \sigma_x ^2 (t_1) \cdot R ^2 = \frac{1}{3} Q ^3 t_1 ^3 \implies Q = \frac{3 R ^2}{t_1 ^3}. \]
Vstavimo vrednost \( Q \) v enačbo \(\ref{eq:1}\) in dobimo, da je varianca lege torej
\[ \sigma_x ^2 (t_2) = R ^2 \left( \frac{t_2}{t_1} \right) ^3 \]
Sedaj izračunajmo še časa \( t_1 \) in \( t_2 \)
\[\begin{align*} h &= \frac{1}{2} g t_1 ^2 2h &= \frac{1}{2} g t_2 ^2, \end{align*} \]kar dobimo
\[ t_1 = \sqrt{\frac{2 h}{g}} \quad \text{ in } \quad t_2 = \sqrt{\frac{4h}{g}}. \]
Variance lege ob času \( t_2 \) je potem
\[ \sigma_x ^2 (t_2) = R ^2 \cdot *^{\frac{1}{2}} \implies \sigma_x (t_2) = R \cdot 8^{\frac{1}{4}}. \]
Vrnimo se nazaj k verjetnosti
\[ P \left( - R < x(t_2) < R \right) = 2 F \left( \frac{R}{\sigma_x (t_2)} \right) - 1 = 2 F \left( 8^{- \frac{1}{4}} \right) -1 = 2 F \left( 0.595 \right) = 45\%. \]
Vrednost \( F(0.595) \) smo prebrali iz tabele.
Note
Po prehodu skozi prva svetlobna vrata lahko opravimo meritev \( z_1 \) in opravimo izostreno oceno \( \hat{x} \). Na vratih torej uporabimo diskreten Kalmanov filter. Dobljene rezultate lahko potem propagiramo preko zveznega Kalmanovega filtra do drugih vrat.
Imamo globok jašek napolnjen z vodo. Po sredini jaška spuščamo kroglice z maso \( m \).
Kroglico spustimo v vodo. Po dolgem času je varianca hitrosti enaka \( \frac{1}{4} \) začetne variance hitrosti.
a) Zapiši Kalmanov filter za vektor \( \mathbf{x} = [y, v]^T \) b) Poišči varianco hitrosti ob času \( \tilde{t} \), kjer je \( \beta \tilde{t} = 1 \). \( \beta \) je definiran s silo upora
\[ \mathbf{F}_u = - m \beta \mathbf{v}. \]
Upoštevaj tudi vpliv naključnih sil (aka dinamičen šum).
Uskladimo za začetek koordinatni sistem. Naj bo os \( y \) usmerjena navzdol v pozitivni smeri, vzporedno z jaškom. Kroglice spuščamo iz koordinate \( y = 0 \).
Podobno kot v prejšnji nalogi zapišemo 2. Newtonov zakon
\[ \sum\limits_i^{} F_i = m a_y = m \ddot{y}. \]
Na kroglico deluje sila teže v vzporedni smeri \( \mathbf{F} = m \mathbf{g} \), v negativni smeri pa še sila vzgona \( \mathbf{F}_{vzg} \) in sila upora \( \mathbf{F}_u \). V poljubni navpični smeri deluje pa še dinamičen šum \( F(t) \).
Drugi Newtonov zakon je za naš specifičen primer
\[ m \ddot{y} = mg - F_{vzg} - m \beta v + F(t). \]
Vsoto sile teže in sile vzgona bomo definirali kot efektivni težnosti pospešek
\[ F_{eff} = F_g - F_{vzg} = mg - F_{vzg} = m g_{eff}. \]
Preostane nam LDE 2. reda
\[ \ddot{y} = g_{eff} - \beta v + \frac{F(t)}{m}. \]
Ponovno želimo zapisati v vektorski obliki, da bomo lahko uporabili Kalmanov filter
\[ \dot{\mathbf{x}} = \begin{bmatrix} \dot{x} \\ \dot{v} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & - \beta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} y \\ v \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ g_{eff} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ w \end{bmatrix}. \].
Matrika \( AP \) je
\[ AP = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & -\beta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} p_{11} & p_{12} \\ p_{21} & p_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} p_{12} & p_{22} \\ -\beta p_{12} & -\beta p_{22} \end{bmatrix}. \]
Transponiramo, da dobimo
\[ PA^T = \begin{bmatrix} p_{12} & - \beta p_{12} \\ p_{22} & - \beta p_{22} \end{bmatrix}. \]
Podobno kakor prej ima matrika dinamičnega šuma obliko
\[ \Gamma Q \Gamma^T = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & Q \end{bmatrix}. \]
Imamo torej matrično enačbo
\[ \mathbf{P} = \begin{bmatrix} 2 p_{12} & p_{22} - \beta p_{12} \\ p_{22} - \beta p_{12} & Q - 2 \beta p_{22} \end{bmatrix}. \]
Iščemo \( \sigma_v ^2 (\tilde{t}) = p_{22} (\tilde{t}) \).
Za razliko od prejšnjega primera tokrat ne rabimo reševati celotnega sistema, ampak rešimo samo
\[ \dot{p}_{22} = Q - 2 \beta p_{22}. \]
V enačbi ne poznamo dinamičnega šuma \( Q \).
Zgornjo nehomogeno LDE lahko rešimo z uvedbo nove spremenljivke
\[ u = Q - 2 \beta p_{22}. \]
Novo spremenljivko odvajamo
\[ \dot{u} = - 2 \beta \dot{p}_{22}. \]
Namesto \( \dot{p}_{22} \) pa vstavimo \( u \) in rešujemo torej
\[ \frac{\dot{u}}{2 \beta} = - u \implies u(t) = C e^{- 2 \beta t} \]
z začetnim pogojem \( u(0) = C \).
Zapišemo
\[ u(t) = u(0) e^{- 2 \beta t}, \]
in upoštevamo definicijo
\[\begin{equation} \label{eq:2} Q - 2 \beta p_{22} (t) = \left( Q - 2 B p_{22} (0) \right) e^{- \beta t}. \end{equation} \]Po dolgem času \( t \to \infty \), dobimo vrednost
\[ Q - 2 \beta p_{22} (\infty) = 0 \implies Q = 2 \beta p_{22} (\infty). \]
Dobljeno vrednosti vstavimo v enačbo \(\ref{eq:2}\)
\[ 2 \beta p_{22} (\infty) - 2 \beta p_{22} (t) = \left( 2 \beta p_{22}(\infty) - 2 \beta p_{22} (0) \right) e^{- 2 \beta t}. \]
Pokrajšamo člene in nam preostane
\[ p_{22} (t) = p_{22}(\infty) - \left( p_{22} (\infty) - p_{22} (0) \right) e^{- 2 \beta t}. \]
Poznamo podatek \( p_{22} (\infty) = \frac{1}{4} p_{22} (0) \) in ga upoštevamo
\[ p_{22} (t) = \frac{1}{4} p_{22} (0) t \frac{3}{4} p_{22} (0) e^{- 2 \beta t} = \frac{p_{22} (0)}{4} \left( 1 + 3 e^{- 2 \beta t} \right). \]
Ob času \( \tilde{t} \) je potem
\[\begin{align*} p_{22} (\tilde{t}) &= \frac{p_{22} (0)}{4} \left( 1 + 3 e^{- 2 \beta \tilde{t}} \right) \\ &= \frac{p_{22} (0)}{4} \left( 1 + 3 e^{-2} \right) = \frac{p_{22} (0)}{3} = 0.35 \cdot p_{22} (0). \end{align*} \]