1. in 2. predavanje iz Kvantne mehanike

Pri klasični mehaniki nas zanima trajektorija delca \( \vec{r}(t) \). Z Newtonovim zakonom lahko izpeljemo pospešek, ki je funkcija časa, kraja in hitrosti. Če poznamo začetne pogoje, lahko določimo \( \vec{r} \) kjerkoli v prihodnosti.

Potreba po kvantni mehaniki se je razvila zaradi Michelsonovega poskusa, ki je pokazal, da je hitrost svetlobe v vakuumu absolutna. Čez 1 mesec bo 100 let, odkar je Heisenberg izdal svoj članek, ki se smatra kot začetek kvantne mehanike. Pred letom 1925 so bila sledeča odkritja, ki so kazala na nekaj več od klasične mehanike

• Planck, Einstein leta 1905 razložita enačbo \( E = \hbar \omega \)

• 1923 de Broglie opazi, da je hitrost elektrona obratno sorazmerna njegovi valovni dolžini

  \[ p = \frac{2 \pi \hbar}{\lambda} = m v \]

  • imamo valovanje pri masnih delcih \( \cos \left( k x - \omega t \right) \) in \( p = \hbar k \)
• energija elektrona je \( E = \frac{p ^2}{2m} \)
• spektri plinov so črtasti

• zanimala jih je stabilnost in sestava atoma - ta vprašanja je omogočala nova tehnologija

  Planetni model (pozitivno jedro - sonce, elektroni - planeti) pogojno razloži spekter vodikovega atom, vendar posplošitev ni bila mogoča. Ta razlaga tudi ne more razložiti spektra vodikovega atoma v električnem polju.

Decembra 1925 Heisenberg objavi svoj članek o kvantni mehaniki. V začetku leta 1926 je Schrödinger objavil svoj članek, kjer uvede Schrödingerjevo enačbo. Želel je izpeljati relativistično invariantno enačbo, česar ni uspel (Dirac, 3 leta kasneje, glej FJOD), hkrati pa je želel, da veljajo prve tri alineje.

Osnovna Schrödingerjeva enačba v eni dimenziji brez potenciala zapišemo kot

\[ \mathrm{i} \hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} = - \frac{\hbar ^2}{2m} \frac{\partial ^2 }{\partial x ^2} \Psi \]

Rešitev enačbe je valovanje \( \Psi = A e^{\mathrm{i} \left( kx - \omega t \right)} \). Ko rešitev vstavimo vanj, dobimo

Opazimo v zadnji vrstici vse tri alineje.

Valovna enačba ne reši problema kvantne mehanike (vstavi \( \Psi \) vanjo). Difuzijska enačba

\[ \frac{\partial T}{\partial t} = D \frac{\partial ^2 }{\partial x ^2} T \]

je rešena s \( T (x, t) = \cos \left( kx - \omega t \right) \). Schrödingerjeva enačba je difuzijska enačba s kompleksno rešitvijo.

Schrödingerjevi enačbi dodamo tudi potencial

Newtonove enačbe so bile sprejete, saj je lahko prepričljivo izpeljal elipse planetov. Schrödinger se je na podoben način lotil Keplerjevega problema s potencialom \( V \left( \vec{r}, t \right) \propto \frac{1}{r} \). Z nekaj mučenja je izpeljal spekter vodika \( E_n \propto \frac{1}{n ^2} \), s še malo več mučenja je rešil tudi problem spektra vodikovega atoma v električnem polju \( E_n \left( \vec{E}, \vec{B} \right) \).

Uporabljali bomo Diracov formalizem, ki ga je izdal v svoji knjigi leta 1930. Drugi pomembnejši za naš formalizem pa je von Neumann s knjigo leta 1932.

1. Nahajamo se v vektorskem prostor, ki je Hilbertov \( L ^2 \). Naj bo funkcija \( \Psi(\vec{r}, t) \in L ^2 \). Obstaja baza \( \left\{ \phi_n \right\} \) za \( n \in \mathbb{N} \). Če bi obstajala baza \( \left\{ \phi_k \right\} \), kjer \( k \in \mathbb{R} \) je to Banachov prostor, kjer je matematika drastično značilna.

2. Pri vektorjih imamo tudi avtomatsko skalarni produkt. Za dva vektorja \( \psi, \phi \in L ^2 \). Skalarni produkt zapišemo na več možnih načinov:

   \[ \left( \phi, \psi \right) = \left( \phi \middle| \psi \right) = \left\langle \phi, \psi \right\rangle = \left\langle \phi \middle| \psi \right\rangle = \int\limits_{}^{} \phi^{\ast} \psi \, \mathrm{d} x \]

   Mi bomo uporabljali Diracov zapis skalarnega produkta, ki \( \left\langle \phi \middle| \psi \right\rangle \). Za skalarni produkt velja

   • \( \left\langle \phi \middle| \psi \right\rangle = \left\langle \psi \middle| \phi \right\rangle ^{\ast} \)
   • \( \left\langle \psi \middle| \psi \right\rangle \ge 0 \) in če \( \left\langle \psi \midlle|\psi \right\rangle = 0\), ko \( \psi = 0 \)
   • \( \left| \left\langle \phi \middle| \psi \right\rangle \right| ^2 \ge \left\langle \phi \middle| \phi \right\rangle \left\langle \psi \middle| \psi \right\rangle\)
3. Definiram ket. Za funkcijo ali stanje \( \Psi(x, t) \in L ^2 \) , definiramo stanje ali vektor kot \( \left| \psi \right\rangle \)

4. Linearni operatorji je definiran s tem, da vsoto preslika v vsoto

   \[ \hat{A} \left( \lambda \left| \phi \right\rangle + \mu \left| \psi \right\rangle\right) = \lambda \hat{A} \left| \phi \right\rangle + \mu \hat{A} \left| \psi \right\rangle \]

   Operator je antilinearen, če ga kompleksno konjugira:

   \[ \hat{A} \lambda \left| \psi \right\rangle = \lambda^{\ast} \hat{A} \left| \psi \right\rangle \]

5. Rieszov izrek: Naj bo \( \hat{f} \) linearni funkcional. Obstaja neka funkcija, da delovanje funkcionala \( \hat{f} \) predstavimo kot skalarni produkt

   \[ \hat{f} \left| \psi \right\rangle = \left| f \middle| \psi \right\rangle = \int\limits_{}^{} f^{\ast} (x) \psi(x) \, \mathrm{d} x = z \in \mathbb{C} \]

   kjer je \( z \in \mathcal{C} \) število.

   Uvedemo bra \( \left\langle \psi \right| \). Funkcional zapišemo kot \( \left\langle \phi \right| = \hat{f}\) ali drugače

   \[ \hat{f} \left| \psi \right\rangle = z = \left\langle \phi\middle| \psi \right\rangle \]

   Tukaj velja, da če imamo bra, ki deluje na vektor, je to skalarni produkt

   \[ \left\langle \phi \right| \left| \psi \right\rangle = \left| \phi \middle| \psi \right\rangle \]

6. Razvoj stanja po dani bazi \( \left\{ \phi_n (x) \right\} \). Velja

   \[ \int\limits_{}^{} \phi^{\ast}_m \phi_n \, \mathrm{d} x = \delta_{mn } \]

   Integral je ortonormiran, vendar je lahko proble degeneriran.

   Funkcijo \( \Psi (x) \) razvijemo po bazi

   \[ \Psi (x) = \sum\limits_n^{} c_n \phi_n (x) \]

   Razvoj pomnožimo s \( \phi_m^{\ast} \) in upoštevamo zgornjo enakost

   \[ \int\limits_{}^{} \phi_m ^{\ast} (x) \Psi(x) \, \mathrm{d} x = c_m \]

   To pomeni, da lahko naš razvoj po bazi zapišemo namesto s \( c_n \) kot

   \[ \Psi (x) = \sum\limits_n^{} \int\limits_{}^{} \phi^{\ast}_n (x') \Psi(x') \, \mathrm{d} x' \phi_n (x) \]

   Ker varčujemo z biti, bomo pisali bazo \( \left\{ \left| \phi_n \right\rangle \right\} \) tudi kot \( \left\{ \left| n \right\rangle \right\} \). Razvoj po bazi zapišemo kot

   \[ \left| \psi \right\rangle = \sum\limits_n^{} c_n \left| n \right\rangle \]

   Na vektor delujemo s funkcionalom \( \left| m \right\rangle \) in zapišemo

   \[ \left\langle m \middle| \psi \right\rangle = \sum\limits_n^{} c_n \left\langle m \middle| n \right\rangle = c_m \]

   Poleg tega

   \[ \left| \psi \right\rangle = \sum\limits_n^{} \left\langle n \middle| \\Psi \right\rangle \left| n \right\rangle = \sum\limits_n^{} \left| n \right\rangle \left\langle n \middle| \Psi \left\rangle = \left( \sum\limits_n^{} \left| n \right\rangle \left\langle n \right|\right) \left| \Psi \right\rangle = I \left| \Psi \right\rangle \]

   saj velja

   \[ I = \sum\limits_n^{} \left| n \right\rangle \left| n \right\rangle \iff I = \sum\limits_n^{} \int\limits_{}^{} \phi_n ^{\ast} (x') \Psi(x') \, \mathrm{d} x' \phi_n (x) \]

7. Zapis operatorja v dani bazi \( \left\{ n \right\} \). Imamo poljuben operator \( \hat{A} \) in enakost \( I = \sum\limits_n^{} \left| n \right\rangle \left\langle n \right|\).

   Operator, ki deluje na vektor, zapišemo kot

   \begin{align*} A \left| \psi \right\rangle &= I A I \left| \psi \right\rangle \\ &= \sum\limits_{m, n}^{} \left| m \right\rangle \left\langle m \right| A \left| n \right\rangle \left| n \middle| \psi \right\rangle \\ &= \sum\limits_{m, n}^{} \left| m \right\rangle A_{mn} \left\langle n \middle| \psi \right\rangle \\ &= \sum\limits_{m, n}^{} \left| m \right\rangle A_{mn} c_n \end{align*}

   Zapišemo \( A \left| \psi \right\rangle = \left| \psi_1 \right\rangle\). Razvoj posameznih funkcij po bazi zapišemo kot

   \[ \left| \psi \right\rangle = \sum\limits_n^{} c_n \left| n \right\rangle \]

   ter

   \[ \left| \psi_1 \right\rangle = \sum\limits_n^{} d_n \left| n \right\rangle \]

   Torej bomo zapisali kot

   \[ A \left| \psi \right\rangle = \sum\limits_m^{} \left( \sum\limits_n^{} A_{mn} c_n \right) \left| m \right\rangle = \left| \psi_1 \right\rangle \]

   Vsota \( \sum\limits_n^{} A_{mn} c_n \) predstavlja člene \( \sum\limits_m^{} d_m \). Vse skupaj lahko zapišemo v matrični obliki

   \[ \begin{pmatrix} d_{1} \\ d_{2} \\ \vdots \\ d_n \\ \vdots \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} & & \\ & \ddots & & \\ & & A_{nn} & \\ &&&& \ddots \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c_{1} \\ c_{2} \\ \vdots \\ c_{n} \\ \vdots \end{pmatrix} \]

   Operator gibalne količine \( A = - \mathrm{i} \hbar \frac{\partial }{\partial x} = \hat{p} \). Baza je

   \[ \phi_n (x) = c_n \sin k_n x \]

   Matrični element neskončne potencialne jame bo

   \[ A_{mn} = \int\limits_{-a}^a \phi_m^{\ast} (x) \hat{p} \phi_n (x) \, \mathrm{d} x = \left\langle m \middle| A \middle| n \right\rangle \]

   Zapišemo razvoj po bazi

   \[ \psi(x) = \sum\limits_n^{} \alpha_n \phi_n (x) \]

8. Operator je hermitski ali simetričen, če velja

   \[ \left| \phi \middle| A \middle| \psi \right\rangle = \int\limits_{}^{} \phi^{\ast} A \psi \, \mathrm{d} x = \left| A \phi \middle| \psi \right\rangle \]

   za vsak vektor \( \phi, \psi \). Možen je tudi zapis \( \left\langle \psi \middle| A \middle| \psi \right\rangle = \left\langle \psi \middle| A \psi \right\rangle\)

   Ima nekaj lepih lastnosti:

   • pričakovana vrednost

     \begin{align*} \left\langle \psi \middle| A \middle| \psi \right\rangle &= \left\langle A \psi \middle| \psi \right\rangle \\ &= \left\langle \psi \middle| A \psi \right\rangle^{\ast} \\ &= \left\langle \psi \middle| A \middle| \psi \right\rangle^{\ast} \end{align*}

     je realna, saj je konjugirana vrednost enaka nekonjugirani.

   • Naj bo \( a \) lastna vrednost. Potem zapišemo

     \[ A \left| a \right\rangle = a \left| a \right\rangle \]

     kjer je \( \left| a \right\rangle \) lastni vektor. Nadalje to pomnožimo s funkcionalom \( \left\langle a \right| \) in dobimo

     \[ \left\langle a \middle| A \middle| a \right\rangle = a \left\langle a \middle| a \right\rangle \in \mathbb{R} \]

     Iz tega sledi, da je lastna vrednost \( a \in \mathbb{R} \) realna.

   • Imamo dve različni lastni vrednosti \( a, b \) in različna lastna vektorja \( \left| a \right\rangle \) ter \( \left| b \right\rangle \). Velja

     \[ A \left| a \right\rangle = a \left| a \right\rangle \quad A \left| b \right\rangle = b \left| b \right\rangle \]

     Prvo enakost pomnožimo z lastnim vektorjem \( \left\langle b \right| \), dobimo

     \begin{align*} \left\langle b \middle| A \middle| a \right\rangle &= a \left\langle b \middle| a \right\rangle \\ &= \left\langle Ab \middle| a \right\rangle \\ &= b \left\langle b \middle| a \right\rangle \\ &= (a - b) \left\langle b \middle| a \right\rangle = 0 \end{align*}

     Imamo dve situaciji: če je \( a \ne b \), potem je skalarni produkt \( \left\langle b \middle| a \right\rangle = 0\). Če pa \( a = b \), potem sta \( \left\{ \left| a \right\rangle, \left| b \right\rangle\right\} \) bazi in sledi \( \left| a_1 \right\rangle, \left| b_1 \right\rangle \)