4. predavanje iz Kvantne mehanike

Ponovitev od zadnjič: Lastne funkcije gibalne količine so ravni valovi, vendar ravni valovi niso normirani, kar posledično pomeni, da ni možno integrirati. Dokazali smo, da zaradi določenih lastnosti, če je funkcija v Fourierovem prostoru integrabilna, potem je tudi valovna funkcija gibalne količine (čeprav ni v \( L ^2 \)).

Pri Bornovi interpretaciji smo definirali verjetnost za detekcijo delca kot

\[ \frac{\mathrm{d} P}{\mathrm{d} x} = \left| \psi(x) \right| ^2 \]

V \( p \)-reprezentaciji pa lahko analogno zapišemo

\[ \frac{\mathrm{d} P}{\mathrm{d} p} = \left| \tilde{\psi}(p) \right| ^2 \]

Če obravnavamo podoben primer kot na vajah, kjer imamo potencial na končnem intervalu, energije razdelimo na zvezni del in diskretni del spektra

\[ E = \begin{cases} E = \frac{\left( \pm \right) ^2}{2m}; & E > 0 \\ E_n; & E < 0 \end{cases} \]

Valovni vektor zapišemo potem kot linearno kombinacijo

\[ \psi(x) = \sum\limits_n^{} c_n \left| \psi_n \right\rangle + \int\limits_{}^{} \tilde{\psi}_p \left| p \right\rangle \, \mathrm{d} p \]

kjer za posamezno komponento velja podobna zveza

\begin{align*} \left\langle n \middle| \psi \right\rangle &= c_n \\ \left\langle p \middle| \psi \right\rangle &= \left| \tilde{\psi} \right| \end{align*}

pomanjkljivo

Nadaljujemo s kompletnim sistemom komutirajočih operatorjev (točka št. 15). Imejmo dva operatorja \( A, B \), ki komutirata

\[ \left[ A, B \right] = 0 \]

Če sistem ni degeneriran, kar zapišemo z

\[ A \left| a \right\rangle = a \left| a \right\rangle \]

kjer je \( a \) lastna vrednost. Potem bo lastno stanje

\[ BA \left| a \right\rangle = A B \left| a \right\rangle = a B \left| a \right\rangle \]

sorazmerno z lastnim vektorjem \( \left| a \right\rangle \).

V primeru, da je sistem degeneriran, kjer sta lastna vektorja \( \left| a_1 \right\rangle , \left| a_2 \right\rangle\), potem bo lastno stanje z operatorjem \( B \) linearna kombinacija degeneriranih vektorjev

\[ \left| b_{1, 2} \right\rangle = c_1 \left| a_1 \right\rangle + c_2 \left| a_2 \right\rangle \]

Enako velja tudi, če imamo več kot samo dva operatorjev, ki med seboj komutirajo

\[ [A, B] = [A, C] = [B, C] = 0 \]

Aksiomi (postulati) kvantne mehanike (točka 16) Obravnavamo Kobenhavensko interpretacijo.

1. Klasični in kvantni sistem:

   Kvantni sistem je določen s kvantnim stanjem \( \left| \psi \right\rangle \) iz Hilbertovega prostora.

   Svet je razdeljen na dva dela: kvantnega in klasičnega. Na nas je, da določimo (pri eksperimentih), da določimo mejo med tema dvema deloma.

2. Aksiom #2

   Vsaki merljivi količini ustreza hermitski operator.

   Kot primer navedemo \( A = A ^{\dagger} \).

3. Aksiom #3

   Pričakovana vrednost

   \[ \left\langle A \right\rangle = \left\langle \psi \middle| A \middle| \psi \right\rangle \]

4. Aksiom #4

   Časovni razvoj \( \left| \psi(t) \right\rangle \) je podan z unitarnim razvojem

   \[ \left| \psi(t) \right\rangle = U(t) \left| \psi(0) \right\rangle, \]

   pri čemer je generator Hamiltonov operator

   \[ U = \exp \left\{ -\frac{\mathrm{i} H t}{\hbar} \right\} = 1 - \frac{\mathrm{i} H t}{\hbar} + \ldots \]

   Časovni razvoj valovne funkcije je

   \[ \left| \psi(t + \mathrm{d} t) \right\rangle = \left| \psi(t) \right\rangle - \frac{\mathrm{i} H \mathrm{d}t}{\hbar} \left| \psi(t) \right\rangle + \ldots \]

   Z deljenjem z \( \mathrm{d} t \) in premikom prvega koeficienta na drugo stran, dobimo odvod

   \[ \frac{\mathrm{d} \left| \psi(t) \right\rangle }{\mathrm{d} t} = - \frac{\mathrm{i} H t}{\hbar} \left| \psi \right\rangle \]

   Dobimo Schrödingerjevo enačbo

   \[ \mathrm{i} \hbar \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t} \left| \psi \right\rangle = H \left| \psi \right\rangle \]

   kar pomeni, da je Schrödingerjeva enačba samo časovni razvoj tega vektorja.

5. Aksiom #5: kvantna meritev

   Stanje valovnega vektorja opišemo z

   \begin{equation} \label{eq:1} \left| \psi \right\rangle = \sum\limits_n^{} c_n \left| a_n \right\rangle \end{equation}

   kjer so \( \left| a_n \right\rangle \) lastni vektorji operatorja \( A \)

   \[ A \left| a_n \right\rangle = a_n \left| a_n \right\rangle \]

   Verjetnost \( P \) za \( n \)-to lastno vrednost je enaka \( \left| c_n \right| ^2 \), kjer je \( c_n \) verjetnostna amplituda.

   Po opravljeni meritvi je sistem v stanju \( \left| a_m \right\rangle \), kjer velja \( c_{n \ne m} = 0 \) in \( c_m = 1 \). Temu dogodku se reče kolaps kvantnega stanja.

   Beseda meritev je zavajujoča. Pred meritvijo je delec v vseh možnih stanjih hkrati kakor nakazuje enačba \ref{eq:1}. Po meritvi pa je delec v točno specifičnem stanju \( a_m \). To je različno od klasične meritve, kjer ima avto pred in po meritvi določeno stanje (hitrost).

Naredili bomo povezavo s klasično mehaniko. Če so komponente časovno neodvisne, potem

\[ H = \frac{p ^2}{2m} + \frac{1}{2} k x ^2 = E = \mathrm{konst} \]

Enačba gibanje je

\[ \ddot{x} + \omega ^2 x = 0, \ \omega ^2 = \frac{k}{m} \]

in rešitev je

\[ x(t) = A \cos \omega t + B \sin \omega t \]

Podobno naredimo tudi v kvantni mehaniki. Začnemo s Hamiltonianom, kjer upoštevamo definicije operatorja \( p \):

\[ H = \frac{p ^2}{2m} + \frac{1}{2} k x ^2 = - \frac{\hbar ^2}{2m} \frac{\mathrm{d} ^2 }{\mathrm{d} x ^2} + \frac{1}{2} k x ^2 \]

Harmonski oscilator želimo zapisati v nivojih energije \( \hbar \omega \), zato uvedemo konstanto \( \xi ^2 = \frac{\hbar}{\omega m}\). Hamiltonian tako zapišemo kot

\[ H = \hbar \omega \left( \frac{1}{2} \frac{x ^2}{\xi ^2} - \frac{1}{2} \xi ^2 \frac{\mathrm{d} ^2 }{\mathrm{d} x ^2} \right) \]

Upoštevamo definicijo razlike kvadratov

\[ a ^2 - b ^2 = (a - b) (a + b) = (a+ b) (a - b) \implies 2 \left( a ^2 - b ^2 \right) = (a + b) (a - b) + (a + b) (a - b). \]

Hamiltonian postane

\[ H = \frac{\hbar \omega}{2} \cdot \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{x}{\xi} + \xi \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \right) \left( \frac{x}{\xi} - \xi \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \right) + \left( \frac{x}{\xi} - \xi \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \right) \left( \frac{x}{\xi} + \xi \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \right) \right] \]

Definiramo operatorja

\begin{align*} a &= \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \frac{x}{\xi} + \xi \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \right) \\ a^{\dagger} &= \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \frac{x}{\xi} - \xi \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \right) \end{align*}

Operatorju \( a \) pravimo anihilacijski, \( a^{\dagger} \) pa kreacijski. S faktorjema torej zapišemo Hamiltonian

\begin{equation} \label{eq:2} H = \frac{\omega \hbar}{2} \left( a a^{\dagger} + a ^{\dagger} a \right) \end{equation}

Komutacija operatorjev \( a \) in \( a^{\dagger} \) nam poda

\[ \left[ a, a^{\dagger} \right] = a a^{\dagger}- a^{\dagger} a = \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} x - x \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \]

Če s komutatorjem vplivamo na valovno funkcijo \( \psi \), je rezultat

\[ \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} x \psi - x \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \psi = \psi + x \frac{\mathrm{d} \psi}{\mathrm{d} x} - x \frac{\mathrm{d} \psi}{\mathrm{d} x} = \psi. \]

Z drugimi besedami

\[ \left[ a, a^{\dagger} \right] = 1 \]

iz česar sledi po definicije komutatorja

\begin{equation} \label{eq:3} a a^{\dagger} - a^{\dagger} a = 1 \implies a a^{\dagger} = 1 + a^{\dagger} a \end{equation}

Harmonski oscilator \ref{eq:2} kvantno torej zapišemo z identiteto \ref{eq:3}

\[ H = \hbar \omega \left( a^{\dagger} a + \frac{1}{2} \right) \]

Uvedemo operator štetja (ang. number operator)

\[ \hat{n} = a^{\dagger} a, \]

ki je hermitski.

Posodobimo Hamiltonian

\begin{equation} \label{eq:4} H = \hbar \omega \left( \hat{n} + \frac{1}{2} \right) \end{equation}

Lastna vrednost operatorja štetja je enaka

\[ \hat{n} \left| \phi_{\lambda} \right\rangle = \lambda \left| \phi_{\lambda} \right\rangle \]

(Točka 1) Lastna vrednost \( \lambda \ge 0 \), saj če množimo zgornjo enačbo s \( \left\langle \phi_{\lambda} \right| \), dobimo

\begin{align*} \left\langle \phi_{\lambda} \middle| \hat{n} \middle| \phi_{\lambda} \right\rangle &= \left\langle \phi_{\lambda} \middle| a^{\dagger} a \middle| \phi_{\lambda} \right\rangle \\ &= \left\langle a \phi_{\lambda} \middle| a \phi_{\lambda} \right\rangle && \ge 0 \\ &= \lambda \left\langle \phi_{\lambda} \middle| \phi_{\lambda} \right\rangle \implies \lambda \ge 0 \end{align*}

saj \( \left\langle \phi_{\lambda} \middle| \phi_{\lambda} \right\rangle \ge 0\). Grafično lahko to vidimo tako, da so vsa stanja parabole harminskega oscilatorja večja od \( 0 \).

(Točka 2) Ali je lahko lastna vrednost \( \lambda = 0 \)? Potem velja

\[ a ^{\dagger} a \left| \phi_0 \right\rangle = a \left| \phi_0 \right\rangle = \left( \frac{x}{\xi} + \xi \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \right) \phi_0 (x) = 0 \]

Iz česar sledi, da je lastna vrednost enaka \( 0 \), če je

\[ \phi_0 (x) = \frac{1}{\sqrt{\sqrt{\pi} \xi} } \exp \left\{ - \frac{1}{2} \frac{x ^2}{\xi ^2} \right\} \]

(Točka 3) Komutacija operatorja štetja in kreacijskega operatorja nam poda enakost

\[ \left[ \hat{n}, a^{\dagger} \right] = \left[ a ^{\dagger} a, a ^{\dagger} \right] = a^{\dagger} \underbrace{\left[ a, a^{\dagger} \right]}_{=1} + \underbrace{\left[ a^{\dagger} \right]}_{=0} a = a ^{\dagger} = \hat{n} a^{\dagger} - a^{\dagger} n = \]

\( \phi_{\lambda} \) je rešitev z lastno vrednostjo \( \lambda \)

\[ \hat{n} \left| \phi_{\lambda} \right\rangle = \lambda \left| \phi_{\lambda} \right\rangle \]

Prejle izračunani operator pa nampoda

\[ \hat{n} a^{\dagger} \left| \phi_{\lambda} \right\rangle = \left( a^{\dagger} \hat{n} + a^{\dagger} \right) \left| \phi_{\lambda} \right\rangle = \left( \lambda + 1 \right) \left| \phi_{\lambda} \right\rangle = \left( \lambda + 1 \right) c_{\lambda} \left| \phi_{\lambda + 1} \right\rangle \]

Zato se \( a^{\dagger} \) reče kreacijski, saj nam ustvari nov \( \lambda \).

\[ \left| c_{\lambda} \right| \left\langle \phi_{\lambda + 1} \middle| \phi_{\lambda + 1} \right\rangle = \left\langle a ^{\dagger} \phi_{\lambda} \middle| a^{\dagger} \phi_{\lambda} \right\rangle = \left\langle \phi_{\lambda} \middle| a a ^{\dagger} \middle| \phi_{\lambda} \right\rangle = \left\langle \phi_{\lambda} \middle| a^{\dagger} a \middle| \phi_{\lambda} \right\rangle + \left\langle \phi_{\lambda} \middle| \phi_{\lambda} \right\rangle = \left( \lambda + 1 \right) \left\langle \phi_{\lambda} \middle| \phi_{\lambda} \right\rangle \]

kjer smo upoštevali \ref{eq:3}.

Iz tega sledi

\[ \left| \phi_{\lambda + 1} \right\rangle = \frac{a^{\dagger}}{\sqrt{\lambda + 1}} \left| \phi_{\lambda} \right\rangle, \ \lambda = 0,1, 2,\ldots \]

\( n \)-to stanje bomo tako dobili s pomočjo rekurzivne zveze kot

\[ \left| n \right\rangle = \left| \phi_n \right\rangle = \frac{a^{\dagger}}{\sqrt{n}} \left| \phi_{n - 1} \right\rangle = \frac{a ^{\dagger} a^{\dagger}}{\sqrt{n (n - 1)}} \left| \phi_{n - 2} \right\rangle = \ldots = \frac{\left( a^{\dagger} \right) ^n}{\sqrt{n!}} \left| \phi_0 \right\rangle = \frac{\left( a^{\dagger} \right) ^n}{\sqrt{n!}} \left| 0 \right\rangle \]

kjer velja

\[ \left\langle \phi_n \middle| \phi_n \right\rangle = \left\langle \phi_0 \middle| \phi_0 \right\rangle = 1 \]

(Točka 4) Komutacija operatorja štetja in anihilacijskega operatorja je sledeča

\[ \left[ \hat{n}, a \right] = \left[ a^{\dagger} a, a \right] = a ^{\dagger} \underbrace{\left[ a, a \right]}_{=0} + \underbrace{\left[ a^{\dagger}, a \right]}_{= -1} = - a \]

Torej, če je \( n \) rešitev lastne vrednosti \( n \), potem

\[ \hat{n} \left| n \right\rangle = n \left| n \right\rangle \]

Analogno kreacijskemu ugotovimo, zakaj se operatorju reče anihilacijski

\[ \hat{n} a \left| n \right\rangle = \left( a \hat{n} - a \right) \left| n \right\rangle = (n - 1) a \left| n \right\rangle = (n - 1) \tilde{c}_n \left| n - 1 \right\rangle \]

Imamo tudi podobno zvezo kakor prej, saj iz

\[ \left| \phi_n \right\rangle = \frac{a}{\sqrt{n + 1}} \left| \phi_{n + 1} \right\rangle \implies \left| \phi_0 \right\rangle = \frac{a ^n}{\sqrt{(n + 1)!}} \left| \phi_n \right\rangle \]

__

Upoštevajoč \ref{eq:4} in Schrödingerjeve enačbe

\[ H \left| n \right\rangle = E_n \left| n \right\rangle \]

dobimo lastna energijska stanja

\[ E_n = \hbar \omega \left( n + \frac{1}{2} \right), \ n \in \mathbb{N}_0 \]

Ali obstajajo še kakšne druge lastne vrednosti? Dokaz s protislovje. Naj bo lastna vrednost enaka \( \lambda = 7.2 \). Tako lastno vrednost lahko zapišemo kot vsoto celega dela in decimalne številke \( \lambda = n + \nu \), kjer je \( \nu \in (0, 1) \). Predpostavili smo, da je lastna vrednost, torej je rešitev

\[ \hat{n} \left| \phi_{\lambda} \right\rangle = \lambda \left| \phi_{\lambda} \right\rangle \]

Z \( n \)-kratno aplikacijo anihilacijskega operatorja po prejšnji izpeljavi

\begin{align*} \hat{n} a\left| \phi_{\lambda} \right\rangle &= ( \lambda - 1 ) a \left| \phi_{ \lambda} \right\rangle \\ &\vdots \\ \hat{n} a ^n \left| \phi_{\lambda} \right\rangle &= \left( \lambda - n \right) a ^n \left| \phi_{\lambda} \right\rangle \end{align*}

Če na dobljen rezultat, še enkrat apliciramo anihilacijski operator

\[ \hat{n} a^{n + 1} \left| \phi_{\lambda} \right\rangle = \left( \lambda - n - 1 \right) a^{n + 1} \left| \phi_{\lambda} \right\rangle \]

kar pa ni več možno, da je lastna vrednost negativna. Za \( \lambda = 7.2 \) je tako \( \lambda = -0.8 < 0 \), kar pa po točki 1 ni možno.

Zanima nas ali je potem spekter degeneriran? Označimo \( \left| \phi_n \right\rangle = \left| n \right\rangle \). Ali obstaja potem še neko drugo stanje \( \left| \tilde{\phi}_n \right\rangle \), ki je prav tako rešitev tega stanja? Zato stanje potem tudi velja

\[ \frac{a^n}{\sqrt{n+ 1}} \left| \tilde{\phi}_n \right\rangle = \left| \tilde{\phi}_0 \right\rangle \overset{?}{=} \left| \phi_0 \right\rangle \]