6. vaje iz Kvantne mehanike

Imajemo delec z maso \( m \) in nabojem \( e \), ki je na vzmeti s koeficientom \( k \). Delec niha vodoravno s tlemi. Prav tako imamo električno polje \( \vec{E} \), ki kaže vzporedno z vzmetjo.

Preko gibalne enačbe

\[ e E - kx = m \ddot{x} \]

in začetnih pogojev

\[ x(0) = 0, \quad \dot{x}(0) = 0 \]

Po integraciji je gibanje v odvisnosti od časa enako

\[ x(t) = x_0 \cos \left( \omega t + \delta \right) + x_1 = x_1 \left( 1 - \cos \omega t \right), \]

kjer smo upoštevali \( \delta = \pi \) in \( x_1 = \frac{F_e}{k} = \frac{eE}{k} \)

Imamo kvantnomehanski delec v harmonskem oscilatorju. Ob času \( t = 0 \) je električno polje izključeno, za \( t > 0 \) pa je električno polje vključeno.

Ob času \( t = 0 \) je Schrödingerjeva enačba

\begin{equation} \label{eq:2} -\frac{\hbar ^2}{2m} \frac{\partial ^2 \psi}{\partial x ^2} + V \psi = \mathrm{i} \hbar \frac{\partial \psi}{\partial t}, \quad V(x) = k x ^2 \end{equation}

Pri klasičnem modelu smo imeli začetni pogoju \( x(0) = 0 \), ki pa se ne prenese na enak način v kvantno mehaniko. Namesto tega bomo uporabili začetno stanje valovne funkcije, ki je v splošnem napisana kot

\begin{equation} \label{eq:1} \psi(x, 0) = \frac{1}{\sqrt[4]{2 \pi \sigma ^2}} \exp \left\{ \frac{x ^2}{4 \sigma ^2} \right\} \end{equation}

Kvantnomehanski ekvivalent bo to, da rečemo, da sta pričakovani vrednosti kraja in časa enaki \( \left\langle x \right\rangle = \left\langle p \right\rangle = 0 \). Hkrati pa tudi določimo, da sta nedoločenosti majhni \( \delta x \) in \( \delta p \). Za Gaussov paket velja, da je minimizirana nedoločenost \( \delta x \delta p = \frac{\hbar}{2} \), kjer \( \delta x = \sigma \) in \( \delta p = \frac{\hbar}{2 \sigma} \). Želimo tudi, da je energija minimizirana, kar je osnovno stanje harmonskega oscilatorja \( E = \frac{\hbar \omega}{2} \).

Preko minimizirane energije lahko določimo \( \sigma \) in začetno stanje \ref{eq:1} je enako

\[ \psi(x, 0) = \frac{1}{ \sqrt[4]{\pi x_0}} \exp \left\{ - \frac{x ^2}{2 x_0 ^2} \right\} \]

Upoštevali smo teorijo harmonskega oscilatorja.

Na začetno stanje \( \left| \psi, 0 \right\rangle = \left| 0 \right\rangle\) ima anihilacijski operator sledeč učinek

\begin{equation} \label{eq:3} a \left| \psi, 0 \right\rangle = a \left| 0 \right\rangle = 0 \end{equation}

Če imamo valovno funkcijo razvito po lastnih stanjih

\[ \left| \psi \right\rangle = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} c_n \left| n \right\rangle, \]

bo anihilacijski operator učinkoval na sledeči način

\[ a \left| \psi \right\rangle = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} \sqrt{n} c_n \left| n - 1 \right\rangle \]

Če se nahajamo v osnovnem stanju, so \( c_n = 0 \) za \( n \ge 1 \) in \( c_0 \ne 0 \).

Ob času \( t > 0 \) se naš Hamiltonian posodobi iz \ref{eq:2} z električnim poljev \( \vec{E} \) v

\[ \tilde{H} = \frac{p ^2}{2m} + \frac{1}{2} k x ^2 - e E x, \]

ki ga posodobimo do popolnega kvadrata

\[ \tilde{H} = \frac{p ^2}{2m} + \frac{k}{2} \left( x - x_1 \right) ^2 - x_1 ^2 \frac{k}{2} = \frac{p ^2}{2m} + \tilde{V} (x), \]

kjer smo upoštevali \( x _1 = \frac{e E}{k} \) iz klasičnega razdelka. Novi potencial \( \tilde{V}(x) \) je premaknjen za \( - \frac{1}{2} k x_1 ^2 \) proti negativni neskončnosti navzdol ter za \( x_1 \) v desno.

Definiramo novo spremenljivko \( \tilde{x} = x - x_1 \) in izrazimo s tem Hamiltonian. Velja \( \tilde{p} (\tilde{x}) = p(x) \).

\[ \tilde{H} = \frac{\hbar ^2}{2m} \frac{\mathrm{d} ^2 }{\mathrm{d} \tilde{x} ^2} + \frac{k}{2} \tilde{x} ^2 - x_1 ^2 \frac{k}{2} \]

Anihilacijski operator za \( x \) je iz sekcija za teorijo enak

\[ a = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \frac{x}{x_0} + \mathrm{i} \frac{p}{p_0} \right). \]

Anihilacijski operator za \( \tilde{x} \) pa je podobno

\[ \tilde{a} = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \frac{\tilde{x}}{x_0} + \mathrm{i} \frac{\tilde{p}}{p_0} \right) \]

Anihilacijski operator \( \tilde{a} \) lahko povežemo s starim anihilacijskim operatorjem \( a \) preko upoštevanja definicije \( \tilde{x} = x - x_1 \)

\[ \tilde{a} = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \frac{x - x_1}{x_0} + \mathrm{i} \frac{p}{p_0} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \frac{x}{x_0} + \mathrm{i} \frac{p}{p_0} \right) - \frac{1}{\sqrt{2}} \frac{x_1}{x_0} = a - \frac{x_1}{\sqrt{2}x_0} \]

Upoštevamo enačbo \ref{eq:3} in izrazimo \( a \) z \( \tilde{a} \), iz česar sledi

\begin{align*} a \left| \psi, 0 \right\rangle &= 0 \\ \left( \tilde{a} + \frac{x_1}{\sqrt{2} x_0} \right) \left| \psi, 0 \right\rangle &= 0 \\ \tilde{a} \left| \psi, 0 \right\rangle &= - \frac{x_1}{\sqrt{2} x_0} \left| \psi, 0 \right\rangle \end{align*}

Koherentno stanje harmonskega oscilatorja je lastno stanje anihilacijskega operatorja

\[ a \left| \psi \right\rangle = z \left| \psi \right\rangle, \ z \in \mathbb{C} \]

V nadaljevanju ne bomo več pisali \( \tilde{a} \). V izraz za koherentno stanje vstavimo funkcijo razvito po lastnih stanjih

\[ a \sum\limits_n^{} c_n \left| n \right\rangle = z \sum\limits_n^{} c_n \left| n \right\rangle \]

Upoštevamo učinek anihilacijskega operatorja

\[ \sum\limits_{n = 1}^{\infty} c_n \sqrt{n} \left| n - 1 \right\rangle = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} z c_n \left| n \right\rangle. \]

To confuse the enemy even more, uvedemo novo spremenljivko \( \tilde{n} = n - 1 \)

\[ \sum\limits_{\tilde{n} = 0}^{\infty} c_{\tilde{n} + 1} \sqrt{\tilde{n} + 1} \left| n \right\rangle = \sum\limits_{\tilde{n} = 0}^{\infty}z c_{\tilde{n}} \left| \tilde{n} \right\rangle. \]

Confuse the enemy even more, saj \( \tilde{n} \to n \), in imamo

\[ \sum\limits_{n = 0}^{\infty} c_{n + 1} \sqrt{n + 1} \left| n \right\rangle = \sum\limits_{n = 0}^{} z c_n \left| n \right\rangle. \]

iz česar dobimo rekurzivno zvezo za poljuben \( n \)

\[ c_{n + 1} \sqrt{n + 1} = z c_n \implies c_{n + 1} = \frac{z}{\sqrt{n + 1}} c_n \]

Za poljuben \( c_0 \) lahko uganemo, da je zveza, ki podaja z poljuben \( n \)-ti koeficient

\[ c_n = \frac{z^n}{\sqrt{n!}} c_0 \]

Koeficient \( c_0 \) sedaj igra vlogo parametra. Razvoj po lastnih stanjih torej zapišemo kot

\[ \left| \psi \right\rangle = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} \frac{z^n}{\sqrt{n!}} c_0 \left| n \right\rangle \]

Parameter bomo določili preko normalizacije

\[ \left\langle \psi \middle| \psi \right\rangle = \left( \sum\limits_{n = 0}^{\infty} \frac{\left( z^n \right)^{\ast}}{\sqrt{n!}} c_0^{\ast} \left\langle n \right| \right) \left( \sum\limits_{n' = 0}^{\infty} \frac{z^{n'}}{\sqrt{n '!}} c_0 \left| n' \right\rangle \right) \]

Velja zveza \( \left\langle n \middle| n' \right\rangle = \delta_{n n'} \) iz česar sledi

\[ \left\langle \psi \middle| \psi \right\rangle = 1 = \sum\limits_{n n'}^{} \frac{\left( z^n \right)^{\ast} z^{n'}}{\sqrt{n!}\sqrt{n'!}} \left| c_0 \right|^2 \left\langle n \middle| n' \right\rangle = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} \frac{\left| z \right|^{2n}}{n!} \left| c_0 \right| ^2 \]

Prepoznamo Taylorjevo vrsto za eskponento funkcijo, kar pomeni, da rešujemo enačbo

\[ \left\langle \psi \middle| \psi \right\rangle = 1 = e^{\left| z \right| ^2} \left| c_0 \right|^2 \implies \ \left| c_0 \right| = e^{- \frac{1}{2} \left| z \right| ^2} \]

Rešitve te enačbe so

\[ c_0 = e^{- \frac{1}{2} \left| z \right| ^2} e^{\mathrm{i} \alpha}, \ \alpha \in \mathbb{R}. \]

Razvoj po lastnih stanjih je

\[ \left| \psi \right\rangle = e^{- \frac{1}{2} \left| z \right| ^2} \sum\limits_{n = 0}^{\infty} \frac{z^2}{\sqrt{n!}} \left| n \right\rangle. \]

To nam tudi omogoča, da enostavno naredimo razvoj po času

\[ \left| \psi, t \right\rangle = e^{- \frac{1}{2} \left| z \right| ^2} \sum\limits_{n = 0}^{\infty} \frac{z^n}{\sqrt{n!}} e^{- \mathrm{i} \frac{E_n}{\hbar}t} \left| n \right\rangle, \]

kjer je energija v harmonskem oscilatorju \( E_n = \left( n + \frac{1}{2} \right)\hbar \omega \). Časovni razvoj se tako posodobi v

\begin{equation} \label{eq:4} \left| \psi, t \right\rangle = e^{- \mathrm{i} \frac{\omega}{2} t} e^{- \frac{1}{2} \left| z e^{- \mathrm{i} \omega t} \right| ^2} \sum\limits_{n = 0}^{\infty} \frac{\left( z e^{-\mathrm{i} \omega t} \right)^n}{\sqrt{n!}} \left| n \right\rangle, \end{equation}

kjer smo dopolnili do popolnega kvadrata v eksponentu. Vidimo, da koherentno stanje \( z \) po časovnem razvoju postane \( ze^{\mathrm{i} \omega t} \).

Dogovorimo se, da je \( z \) koherentno stanje harmonskega oscilatorja, kar pomeni, da bomo nadomestili izraz kot naslednje

\[ a \left| \psi \right\rangle = z \left| \psi \right\rangle \implies a \left| z \right\rangle = z \left| z \right\rangle \]

Koherentna stanja \ref{eq:4} so še zmeraj koherentna tudi po časovnem razvoju in krajše lahko zapišemo

\[ \left| z, t \right\rangle = e^{- \mathrm{i} \frac{\omega}{2} t} \left| z e^{-\mathrm{i} \omega t} \right\rangle \]

Pričakovano vrednost kraja lahko s posodobljenim zapisom koherentnih stanj zapišemo kot

\begin{align*} \left\langle x \right\rangle &= \left\langle z \middle| x \middle| z \right\rangle \\ &= \sqrt{2} x_0 \mathrm{Re} \left( \left\langle a \right\rangle \right) \\ &= \sqrt{2} x_0 \mathrm{Re} \left( \left\langle z \middle| a \middle| z \right\rangle \right) && a \left| z \right\rangle = z \left| z \right\rangle\\ &= \sqrt{2} x_0 \mathrm{Re} \left( \left\langle z \middle| z \middle| z \right\rangle \right) && \text{sredinski } z \text{ je stevilo} \\ &= \sqrt{2} x_0 \mathrm{Re} \left( z \left\langle z \middle| z \right\rangle \right) \\ &= \sqrt{2} x_0 \mathrm{Re} \left( z \right) \end{align*}

Analogno zapišemo tudi

\[ \left\langle p \right\rangle = \sqrt{2} p_0 \mathrm{Im} \left\langle a \right\rangle = \sqrt{2} p_0 \mathrm{Im} \left( z \right). \]

Radi bi zapisali \( \left\langle x ^2 \right\rangle \), vendar za to potrebujemo vmesni račun

\begin{align*} \left\langle z \middle| a^{\dagger n} a^m \middle| z \right\rangle &= \left\langle z \middle| a^{\dagger n} z^m \middle| z \right\rangle \\ &= z^m \left\langle z \middle| a^{\dagger n} \middle| \right\rangle \\ &= z^m \left\langle a^n z \middle| z \right\rangle \\ &= z^m \left( z^n \right)^{\ast} \left\langle z \middle| z \right\rangle \\ &= z^m \left( z^n \right)^{\ast} \end{align*}

Pri računanju

\[ \left\langle z \middle| a a^{\dagger} \middle| z \right\rangle = \left\langle z \middle| 1 + a^{\dagger} a \middle| z \right\rangle = \left\langle z \middle| z \right\rangle + \left\langle z \middle| a^{\dagger} a \middle| z \right\rangle = 1 + z^{\ast} z = 1 + \left| z \right| ^2, \]

smo upoštevali \( a a^{\dagger} - a^{\dagger} a = 1 \).