3. predavanje iz Matematične fizike 2

Imamo homogene robne pogoje za poljuben čas \( t \)

\[ u(0, t) = u(l, t) = 0 \]

Rešujemo valovno enačbo

\[ u_{tt } = c ^2 u_{xx } \]

z nastavkom separacije spremenljivk \( u(x, t) = X(x) T(t) \).

\[ \frac{\ddot{T}}{T} = c ^2 \frac{X''}{X} = - \omega_k ^2 = - c ^2 k ^2 \ge 0 \]

Časovni del je oblike

\[ T'' + \omega_k ^2 T = 0 \]

in rešitev je sinusoida

\begin{equation} \label{eq:2} T = \alpha_k \cos (k x) + \beta_k \sin (kx) = c_n \Re e^{- \mathrm{i}\omega_n t}, \ c_n \in \mathbb{C} \end{equation}

Krajevni del pa ima obliko

\[ X(x) = \gamma_k \cos (kx) + \delta_k \sin (kx). \]

Iz robnega pogoja takoj zaključimo \( \gamma_k = 0 \) pri \( x = 0 \). Hkrati pa imamo

\[ \sin (kl) = 0 \implies \ k_n = \frac{n \pi}{l}, \ n = 1,2,3, \ldots \]

kjer so \( k_n \) lastne vrednosti. Lastna rešitev krajevnega dela je enaka

\begin{equation} \label{eq:1} X(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin (k_n x) \end{equation}

Funkciji \ref{eq:1} pravimo tudi lastna funkcija. Tvorijo kompletni set za funkcije na intervalu \( [0, l] \), ki so \( 0 \) na robu. Te funkcije imajo tudi definiran skalarni produkt, za katere velja

\[ \left\langle x_n, x_m \right\rangle = \int\limits_0^l x_n^{\ast} x_m = \delta_{nm} \]

Poljubna rešitev je definicija nastavka ter enačb \ref{eq:1} in \ref{eq:2}

\[ u(x, t) = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} X_n (x) \left[ \alpha_n \cos (\omega_n t) + \beta_n \sin (\omega_n t) \right] \]

Diskretna fourierova vrsta je enaka

\begin{equation} \label{eq:3} f_(x) = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} c_n X(x) \end{equation}

kjer so členi vrste enaki \( c_n = \left\langle x_n, f \right\rangle\)

Konvergenca vrste \ref{eq:3} je v srednjem. Najmočnejša konvergenca je enakomerna konvergenca, šibkejša konvergenca je po točkah, najslabša pa je v srednjem, kar je ravno naša funkcija.

Če razvijamo Fourierovo vrsto po Heavisodovi funkciji, se bo na skoku konvergiralo k točki \( y = \frac{1}{2} \), hkrati bosta pa amplitudi (ki sta velikosti 10-20% skoka) pred in po skoku enaki.

Če bi bila funkcija gladka, bi bila konvergenca enakomerna.

Imamo valovno enačbo, ki pa je nehomogena

\[ u_{tt } = c ^2 u_{xx } + f(x, t). \]

Končna struna ima začetne pogoje \( u(x, 0) = \phi(x) \) in \( \dot{u}(x, 0) = \psi(x) \) ter lastne rešitve \( X_n (x) \)

Vse funkcije razvijemo po lastnih vrednosti. Funkcijo \( f(x, t) \) razvijemo v vrsto

\[ f(x, t) = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} f_n (t) X_n (x) \]

Po lastnih funkcijah razvijemo tudi funkciji v začetnih pogojih in našo rešitev. Torej

\begin{align*} \phi(x) &= \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \phi_n X_n (x) \\ \psi(x) &= \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \psi_n X_n (x) \\ u(x, t) &= \sum\limits_{n = 1}^{\infty} u_n (t) X_n (x) \end{align*}

Dane nastavka nesemo v nehomogeno valovno enačbo. Spomnimo, da je \( X_n (x) = \sqrt{\frac{2}{l}} \sin (kx) \).

\[ \sum\limits_{}^{} \ddot{u}_n = \sum\limits_n^{} - \omega_n ^2 c_n + f_n X_n \implies \ddot{u}_n = - \omega_n ^2 u_n + f_n \]

Pridelali smo si nehomogeno ODE. Vemo, da je rešitev sestavljena iz nehomogene in homogene rešitve

\[ u_n (x, t) = u_n^{(hom)} (x, t) + u _n^{(nehom)} \]

Rešitev nehomogene enačbe je

\[ u_n^{(nehom)} (t) = \frac{1}{\omega_n} \int\limits_0^t \sin \left( \omega_n (t - \tau) \right) f_n (\tau) \, \mathrm{d} \tau \]

Tako funkcijo bomo srečali tudi kasneje v letu in ji bomo rekli Greenovi funkciji. Izbrana je tako, da je \( u_n^{(nehom)} = \dot{u}_n^{(nehom)} = 0 \). Nastavek za homogen del pa je

\[ u_n ^{(hom)} (t) = \phi_n \cos (\omega_n t) + \frac{\psi_n}{\omega_n} \sin (\omega_n t) \]