4. predavanje iz Matematične fizike
Table of Contents
1. Zvok
Imamo sistem enačb, ki ga sestavljajo Navier-Stokesova enačba, kontinuitetna enačba in gostota funkcije
\begin{align*} \rho \left( \frac{\partial }{\partial t} \vec{v} + \left( \vec{v} \cdot \nabla \right) \vec{v} \right) &= - \nabla p +\eta \nabla ^2 \vec{v} + \vec{f}\\ \frac{\partial }{\partial t} \rho + \mathrm{div} \left( \rho \vec{v} \right) &= 0 \\ \rho &= g (p) \end{align*}V zgornjih enačbah zanemarimo \( \left( v \cdot \nabla \right) v \), saj je \( \frac{v}{c} \ll 1 \), \( \eta \to 0 \), saj \( \frac{\eta}{\rho c} \ll \lambda \), kjer je \( \lambda \) valovna dolžina. Ulomek \( \frac{\eta}{\rho c} \) je v zraku povprečna prosta pot molekule. Zanemarimo tudi \( \vec{f} = 0 \).
Definiramo amplitudo tlaka \( \delta p = p - p_0 \ll p_0 \) ter \( \delta \rho \ll \rho_0 \).
S temi popravki sedaj ponovno zapišemo zgornjo množico enačb
\begin{align*} \rho_0 \vec{v}_t &= - \nabla \delta p \\ \delta \rho_t + \rho_0 \mathrm{div} \vec{v} &= 0 \\ \frac{\delta \rho_0}{\rho_0} &= \chi_s \delta p \end{align*}kjer je \( \chi_s = \frac{1}{p \cdot K} \) adiabatna stisljivost.
Želimo izraziti enačbo v odvisnosti od tlaka \( p \). Kontinuitetno enačbo odvajamo po času
\[ \delta \rho_{tt } + \rho_0 \mathrm{div} \vec{v}_t =0 \]
Nadomestimo \( \vec{v}_t \) z izrazom iz Navier-Stokesa, ter na koncu še namesto \( \delta \rho_{tt } \) upoštevamo gostoto
\[ \delta \rho_{tt } + \rho_0 \mathrm{div} \left( - \frac{1}{\rho_0} \nabla \delta p \right) = \rho_0 \chi_s \delta p_{tt } - \nabla ^2 \delta p = 0 \]
Dobili smo valovno enačbo
\[ \delta p_{tt} = c ^2 \nabla ^2 \delta p , \ c ^2 = \frac{1}{\rho \chi_s} \]
Če je \( \mathrm{rot} \vec{v} = 0 \), potem je polje brezvrtinčno in lahko hitrost zapišemo kot
\begin{equation} \label{eq:1} \vec{v} = - \nabla \phi \end{equation}kjer je \( \phi \) hitrostni potencial. Navier-Stokesa (pokrajšanega) lahko zapišemo kot
\begin{equation} \label{eq:2} \rho_0 \left( - \nabla \phi_t \right) = - \nabla \delta p \implies \rho_o \phi_t = \delta p \end{equation}Odstranili smo odvode, saj sta člena enaka v odvodih, kar pomeni, da sta največ za konstanto narazen po integriranju in za to konstanto lahko rečemo, da je \( 0 \). Če nadaljujemo z valovno enačbo in nadomestimo izraz \( p \) z \ref{eq:2}, da dobimo
\[ \phi_{tt } = c ^2 \nabla ^2 \phi \]
Poglejmo si še robni pogoje: pri trdni steni se delci ustavijo, torej bo \( \frac{\partial \phi}{\partial n} = 0 \), kjer je \( n \) normala v smeri stene. Ekvivalenten pogoj, vendar za tlak bi bil \( \frac{\partial \delta p}{\partial n} = 0 \).
1.1. Gostota energijskega toka
Gostoto energijske toka \( \vec{\jmath} \) zapišemo po definiciji
\[ \vec{\jmath} = \frac{\mathrm{d} E}{\mathrm{d} t \mathrm{d} S} \]
Hkrati pa lahko zapišemo po izpeljavi, ki je ne bomo delali, kot
\[ \vec{\jmath} = \delta p \vec{v} \]
Nakaz izpeljave: izhajamo ponovno iz kontinuitetne enačbe, vendar prej uvedemo še količino gostote energije \( w \).
\[ \frac{\partial w}{\partial t} + \mathrm{div} \vec{\jmath} = 0 \]
Gostota energije pa je definirana tudi preko kinetične energije in pa dela, ki ga zvok opravlja, ko valovanje potiska okoliški zrak
\[ w = \rho_0 \frac{v ^2}{2} + \frac{\left( \delta p \right) ^2}{2 \rho_0 c} \]
Za harmonični zvok je
\[ \overline{\vec{\jmath}} = \frac{1}{2} \mathrm{Re} \left( \partial p \vec{v}^{\ast} \right) \]
1.2. Zvok v 3D (Goldbart 6.3.4)
Pri pojemanju amplitude (npr. eksplozija), ki pada s kvadratom razdalje, lahko zapišemo s pomočjo d’Alembertovega principa
\[ \phi \left( r, t \right) = \frac{f(r - ct)}{r} + \frac{g(r + ct)}{r} \]
Funkcija \( g(r + ct) \) predstavlja implozijo, ki jo zanemarimo.
[ogled posnetka eksplozije, ki jo sedaj poskušamo razumeti]
Gledamo radialno hitrost \( v = v(r) \), ki jo po definiciji potenciala lahko zapišemo
\[ v = - \frac{\partial \phi}{\partial r} = - \frac{f' \left( r - ct \right)}{r} + \frac{f(r - ct)}{r ^2} \]
Prvemu členu se v žargonu reče “far-field”, saj ima vpliv šele na večje razdalje, drugemu členu pa “near-field” iz analognega razloga.
2. Difuzijska enačba
2.1. Izpeljava
Imamo površino, skozi katero izhaja energija navzven. Skozi čas sistem izgublja energije
\[ - \frac{\mathrm{d} E}{\mathrm{d} t} = \int\limits_{}^{} \vec{\jmath} \, \mathrm{d} \vec{S} = \int\limits_{}^{} \rho \, \mathrm{d} V - \int\limits_{}^{} \rho c_{\rho} \frac{\partial T}{\partial t} \, \mathrm{d} V \]
kjer je \( \rho \) gostota energije izvorov. \( \rho \, \mathrm{d} V = \mathrm{d}m \), hkrati pa sistem izgublja temperaturo in je koeficient naklona negativen. Površinski integral z gostoto energijskega toka lahko prevedemo na volumnski integral preko identitete
\[ \int\limits_{}^{} \vec{\jmath} \, \mathrm{d} S = \int\limits_{}^{} \mathrm{div} \vec{\jmath} \, \mathrm{d} V \]
Imamo tri volumnske integrale in z enačitvijo integrandov, dobimo
\[ \mathrm{div} \vec{\jmath} - q + \rho c_p \frac{\partial T}{\partial t} = 0 \]
Preko fenomenološkega Fourierovega zakona
\[ \vec{\jmath} = - \lambda \nabla T \]
dobimo
\[ - \lambda \nabla ^2 T - q + \rho c_p \frac{\partial T}{\partial t} = 0 \]
in smo prišli do izraza difuzijske enačbe
\[ \frac{\partial T}{\partial t} = D \nabla ^2 T + \frac{q}{\rho c_p} , \ D = \frac{\lambda}{\rho c_p} \]
Difuzijska konstanta \( D \) ima enote \( \left[ \frac{m ^2}{s} \right] \). Preko dimenzijske analize lahko s pomočjo karakteristik telesa tudi dobimo difuzijsko konstanto \( D = \frac{1}{3} \bar{v} \bar{l} \).
V primeru, da smo v premikajočem sistemu postane odvod po času
\[ \frac{\partial T}{\partial t} \to \frac{\partial T}{\partial t} + \left( \vec{v} \cdot \nabla \right)T \]
2.2. Robni pogoji
Imamo več različnih robnihh pogojev. Pogoj je lahko, da je na robu temperatura \( T_{rob} = 0 \). Drug možni robni pogoj je \( \frac{\partial T}{\partial n} + \Lambda \left( T - T_0 \right) = 0 \) oziroma, če je izolirano, potem \( \frac{\partial T_{rob }}{\partial n} = 0 \). Obstaja tudi Newtonov ali Robinov robni pogoj \( \frac{\partial T}{\partial n} + \alpha T = 0 \) in pa tudi Štefanov (sevalni), nelinearen, robni pogoj \( \frac{\partial T}{\partial n} \sim T ^4 \)
2.3. Neskončno sredstvo
Rešujemo difuzijsko enačbo v neskončnem sredstvu
\[ \frac{\partial T}{\partial t} = D \frac{\partial ^2 T}{\partial x ^2} \]
Enačba je tudi invariantna na zamenjavi \( t \to k ^2 t \) in \( x \to k x \). Če je enačba invariantna na tako zamenjavo, pravimo, da je skalirno invariantna. Z izbiro skalarja \( k = \frac{1}{\sqrt{t}} \) difuzijska enačba postane funkcija ene spremenljivke \( s = \frac{x}{\sqrt{t}} \)
\[ T(x, t) = T \left( k x, k ^2 t \right) = T \left( \frac{x}{\sqrt{t}}, 1 \right) = f \left( \frac{x}{\sqrt{t}} \right) = f(s) \]
Odvoda nove spremenljivke sta
\[ \frac{\partial s}{\partial x} = \frac{1}{\sqrt{t}}, \ \frac{\partial s}{\partial t} = - \frac{1}{2} \frac{x}{\sqrt{t}} \frac{1}{t} = - \frac{1}{2} s \frac{1}{t} \]
Verižno odvajanje nam poda enakost \( \frac{\partial }{\partial t} = \frac{\partial }{\partial s} \frac{\partial s}{\partial t} \), ki jo uporabimo pri preobrazbi difuzijske enačbe
\[ f' \frac{\partial s}{\partial t} = D \frac{\partial }{\partial x} \left( \frac{\partial f}{\partial s} \frac{\partial s}{\partial x} \right) \]
in nadalje
\[ f' \left( - \frac{s}{2t} \right) = D \left( \frac{1}{\sqrt{t}} \right) ^2 f'' \]