2. vaje iz Matematične fizike 2

Enačba strune je

\[ \mu \frac{\partial ^2 x}{\partial t ^2} = \frac{\partial }{\partial s} \left( F(s) \frac{\partial x}{\partial s} \right)+ f_x, \quad \mu \frac{\partial ^2 y}{\partial t ^2} = \frac{\partial }{\partial s} \left( F(s) \frac{\partial y}{\partial s} \right)+ f_y \]

kjer je \( \mu = \frac{\mathrm{d} m}{\mathrm{d} s} \) in \( f_{\alpha} = \frac{\mathrm{d} F_{sum, \alpha}}{\mathrm{d} s} \).

Koordinatni sistem smo si izbrali tako, da je \( x \)-os vzporedna z dolžino vrvi navzdol. \( y \)-os je vzporedna s stropom, na katerega je vrv pritrjena.

Vrv ima prav tako majhne odmike, torej \( \mathrm{d} s ^2 \approx \mathrm{d} x ^2 \). Zaradi majhnih odmikov velja pogoj \( \frac{\partial x}{\partial t} = 0 \).

V \( x \)-smeri je sila enaka

\[ F(x) = \mu g \left( l - x \right) \]

V \( y \) smeri je \( f_y = 0 \). Zaradi majhnih odmikov \( x = s \) smo končali zadnjič z enačbo

\begin{equation} \label{eq:1} \frac{\partial ^2 y }{\partial t ^2} = g \left[ (l - x) \frac{\partial ^2 y}{\partial x ^2} - \frac{\partial y}{\partial x} \right] \end{equation}

Dobljeno parcialno enačbo bomo rešili z metodo separacije spremenljivk. Funkcijo \( y \) zapišemo kot produkt časovnega dela \( T(t) \) in krajevnega dela \( X(x) \). Torej v enačbo \ref{eq:1} vstavimo \( y = T(t) \cdot X(x) \) in ločimo spremenljivke

\[ \frac{\ddot{T}}{T} = g \left( l - x \right) \frac{X''}{X} - g \frac{X'}{X} = - \omega ^2 \]

Konstanto \( \omega ^2 \) smo si tako izbrali, ker si s tem zagotovimo nihanje vrvi.

Časovni del

\[ \ddot{T} + \omega ^2 T = 0 \]

ima nam poznano rešitev

\[ T(t) = A \cos \left( \omega t \right) + B \sin \left( \omega t \right). \]

Krajevni del pa rešujemo enačbo

\begin{equation} \label{eq:2} g \left( l - x \right) X'' - g X' + \omega ^2 X = 0 \end{equation}

Enačbo lahko pretvorimo v Besselovo enačbo, oblike

\[ z ^2 y'' + z y' + \left( z ^2 - n ^2 \right) y = 0, \]

katere rešitev je linearna kombinacija Besselovi polinomov

\[ y(z) = A J_n (z) + B Y_n (z). \]

Z uvedbo nove spremenljivke \( z = \sqrt{l - x} \), odvodi, ki jih bomo vstavili v enačbo \ref{eq:2}, postanejo

\begin{align*} \frac{\mathrm{d} X}{\mathrm{d} x} &= \frac{\mathrm{d} X}{\mathrm{d} z} \frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} x} = - \frac{\mathrm{d} X}{\mathrm{d} z} \cdot \left( - \frac{1}{2 \sqrt{l - x}} \right) = - \frac{\mathrm{d} X}{\mathrm{d} z} \frac{1}{2z} \\ \frac{\mathrm{d} ^2 X }{\mathrm{d}z} &= \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \left( - \frac{\mathrm{d} X}{\mathrm{d} z} \frac{1}{2z} \right) = - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} z} \left( \frac{\mathrm{d} X}{\mathrm{d} z} \frac{1}{2z} \right) \cdot \left( - \frac{1}{2z} \right) = \frac{1}{2z} \left( - \frac{1}{2 z ^2} \frac{\mathrm{d} X}{\mathrm{d} z} + \frac{1}{2z} \frac{\mathrm{d} ^2 X }{\mathrm{d} z ^2} \right). \end{align*}

Enačba se še z dodatnim množenjem s faktorjem \( 4z ^2 \) pretvori na

\[ z ^2 \frac{\mathrm{d} ^2 X }{\mathrm{d} z ^2} + z \frac{\mathrm{d} X}{\mathrm{d} z} + 4 z ^2 \frac{\omega ^2}{g} X = 0 \]

Uvedemo novo spremenljivko \( \tilde{z} = \frac{2 z\omega}{\sqrt{g}} = 2 \omega \sqrt{\frac{l - x}{g}} \) in dobimo Besselovo enačbo

\[ \tilde{z} ^2 \frac{\mathrm{d} ^2 X }{\mathrm{d}\tilde{z} ^2} + \tilde{z} \frac{\mathrm{d} X }{\mathrm{d} \tilde{z}} + \tilde{z} ^2 X = 0 \]

Za dano Besselovo enačbo je \( n = 0 \), kar pomeni, da je rešitev

\[ X(x) = C J_0 \left( 2 \omega \sqrt{\frac{l - x}{g}}\right) + D Y_0 \left( 2 \omega \sqrt{\frac{l - x}{g}} \right) \]

Sedaj pri reševanju upoštevamo še robna pogoja, ki sta

1. \( y(x = 0, t) = 0 \), saj je struna pritrjena
2. \( y(x, t) < \infty \)

Zaradi drugega pogoja bo bil \( D = 0 \), saj \( Y_0 (\infty) \) divergira proti \( -\infty \). Pogoje pritrjene strune \( X(0) = 0 \) pa nam poda enačbo

\[ J_0 \left( 2 \omega \sqrt{ \frac{l}{g}} \right) = 0, \]

ki ima neskončno rešitev. Označimo \( n \)-to ničlo ničte Besselove funkcije \( J_0 \) z

\[ \xi_n^{(0)} = 2 \omega_n \sqrt{ \frac{l}{g}} \]

Ničle Besselovo funkcije definiramo kot lastne frekvence sistema

\[ \omega_n = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{g}{l}} \xi_n^{(0)} \]

Splošna rešitev problema je tako

\[ y(x, t) = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} J_0 \left( 2 \omega \sqrt{\frac{l - x}{g}}\right) \left[ A \sin \left( \omega t \right) + B \cos \left( \omega t \right) \right] \]

Konstante dobimo iz začetnega pogoja

\[ y(x, t = 0 ) = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} A_n J_0 \left( 2 \omega \sqrt{\frac{l - x}{g}} \right) \]

Struno pripnemo s konstantno silo napenjana \( F = \mathrm{konst} \). Valovna enačba je tako oblike

\[ c ^2 \frac{\partial ^2 u}{\partial x ^2} = \frac{\partial ^2 u}{\partial t ^2} \]

kjer je \( c ^2 = \frac{F}{\mu} \). Enačbo bomo reševali preko d’Alembertovega principa, kjer je

\[ u(x, t) = g(x - ct) + f(x + ct) \]

S tem imamo podani dve karakteristiki, ki sta konstantni. Enačbo lahko rešimo ob podanih začetnih pogojih \( u(x, 0) \) ter \( u_t (x, 0) \). Splošna rešitev je

\[ \tilde{u}(x, t) = \frac{1}{2} \left[ u(x - ct, 0) + u(x + ct, 0) \right] + \frac{1}{2c} \int\limits_{x - ct}^{x + ct} \frac{\partial u}{\partial t} (\xi, 0) \, \mathrm{d} \xi \]

Enačbo rešimo za neskončno struno in rešitev povežemo z valom, ki se giblje v nasprotni smeri, da na neki točki destruktivno interferira.

Za pritjen konec imamo robni pogoj enak \( u(x = 0, t) = 0 \). Začetna pogoja pa sta

\begin{align} \tilde{u}(x, t = 0) &= \begin{cases} u(x, 0); & x > 0 \\ 0; & \mathrm{else} \end{cases} \\ \tilde{u}_t (x, 0) &= \begin{cases} u_t(x, 0); & x > 0 \\ 0; & \text{else} \end{cases} \end{align}

Celotna naša rešitev za pol-neskončno struno je

\begin{equation} \label{eq:3} u(x, t) = \tilde{u}(x, t) - \tilde{u}(-x, t) \end{equation}

Z vstavitvijo \ref{eq:3} v PDE preverimo ali je rešitev ustreza:

\begin{align*} \frac{\partial ^2 u}{\partial x ^2} (x, t) &= \frac{\partial ^2 \tilde{u}}{\partial x ^2} - \frac{\partial ^2 \tilde{u}}{\partial x ^2} (-1) ^2 \\ &= \frac{1}{c ^2} \frac{\partial ^2 \tilde{u}}{\partial t ^2} (x, t) - \frac{1}{c ^2} \frac{\partial ^2 \tilde{u}}{\partial t ^2} (- x, t) = \frac{1}{c ^2} \frac{\partial ^2 u}{\partial t ^2} (x, t) \end{align*}

Preveriti moramo tudi začetna in robni pogoj. Torej

\begin{align*} u(x, 0) &= \tilde{u}(x, 0) - \tilde{u}(- x, 0) = u(x, ) \\ u_t (x, 0) &= \tilde{u}_t (x, 0) - \underbrace{u_t (-x , 0)}_{0} = \frac{\partial u}{\partial t} (x, 0) \end{align*}

Robni pogoj pa se tudi ujema, saj

\[ u(0, t) = \tilde{u}(0, t) - \tilde{u}(0, t) = 0 \]

D’Alembertovo rešitev je možno razdeliti na dve območji in sicer na \( x \ge ct \) ter \( x \le ct \):

\begin{align*} u(x, t) = &\frac{1}{2} \left[ \tilde{u}(x - ct, 0) + \tilde{u}(x + ct, 0) \right] + \frac{1}{2c} \int\limits_{x - ct}^{x + ct} \tilde{u}_t (\xi, 0) \, \mathrm{d} \xi && x \ge ct\\ &- \frac{1}{2} \left[ \tilde{u}(- x - ct, 0) + \tilde{u}(- x + ct, 0) \right] - \frac{1}{2c} \int\limits_{-x - ct}^{-x + ct} \tilde{u}_t (\xi, 0) \, \mathrm{d} \xi && x \le ct \end{align*}

Rešitev je tako

\[ u(x, t) = \frac{1}{2} \left[ u(x + ct, 0) + u(x - ct, 0) \right]+ \frac{1}{2c} \int\limits_{x - ct}^{x + ct} u_t (\xi, 0) \, \mathrm{d} \xi \]

za \( x \ge ct \) ter

\[ u(x, t) = \frac{1}{2} \left[ u(x + ct, 0) - u(- x + ct, 0) \right] + \frac{1}{2c} \int\limits_{-x + ct}^{x + ct} u_t (\xi, 0) \, \mathrm{d} \xi \]

V primeru prostega vpetja pa je rešitev za polneskončno struno

\[ u(x, t) = \tilde{u}(x, t) + \tilde{u}(x, t) \]

Ustreznost rešitve preverimo analogno zgornjemu, za rabni pogoj pa dobimo

\[ u_x (0, t) = \tilde{u}_x (0, t) - \tilde{u}_x (0, t) = 0 \]

Imamo valovno enačbo

\[ \frac{\partial ^2 u}{\partial t ^2} = c ^2 \frac{\partial ^2 u}{\partial x ^2} + \frac{f_y}{\mu} \]

kjer je \( f_y \) dolžinska gostota sile. Silo mase zapišemo kot \( f_y = F_{zun} \delta(x - x_0) \). Po definiciji dolžinske gostote

\[ f_y = \frac{\mathrm{d} F_{zun}}{\mathrm{d} x} \]

lahko integriramo in dobimo

\[ \int\limits_{}^{} f_y \, \mathrm{d} x = F_{zun} \int\limits_{}^{} \delta(x - x_0) \, \mathrm{d} x = F_{zun} \]

Integriramo tudi valovno enačbo in želimo, da je zvezno, saj morajo biti odvodi zvezni. Torej

\[ \int\limits_{x_0 - \epsilon}^{x_0 + \epsilon} \frac{\partial ^2 u}{\partial t ^2} \, \mathrm{d} t = \int\limits_{x_0 - \epsilon}^{x_0 + \epsilon} c ^2 \frac{\partial ^2 u}{\partial x ^2} + \frac{F_z}{\mu} \delta(x - x_0) \, \mathrm{d} x \]

Levi integral je enak \( 0 \) in dobimo zvezo

\[ F_z = - \left. F \frac{\partial u}{\partial x} \right|_{x_0 - \epsilon}^{x_0 + \epsilon} \]

Zunanja sila je

\[ F_z = 0 = - F \frac{\partial u}{\partial x} (x = 0, t) \]

kar pomeni, da imamo Neumannov robni pogoj \( \frac{\partial u}{\partial x} (x = 0, t) = 0 \).