3. vaje iz Matematične fizike
Table of Contents
1. 7. naloga
Imamo neskončno struno, ki ima na točki \( x_0 = 0 \) maso \( m \). Po struni pošljemo valovanje s krožno frekvenco \( \omega \).
Imamo valovanje \( \exp \left\{ \mathrm{i} (kx - \omega t) \right\} \), kjer je \( \omega = ck \) in rešujemo valovno enačbo
\[ \partial_x ^2 u = c ^2 \partial_t ^2 u \]
Dolžinsko gostoto zapišemo kot
\[ \mu = \mu_0 + m \delta(x) \]
Maso bomo premaknili samo, če nanju delujemo z neko silo \( F_m \)
\[ F_m = \left. F \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x} \right|_{0^-}^{0^+} \]
Ko valovanje pride do mase, se ga bo določen del odbil, določen del pa prepustil skozi. Torej
\begin{equation} \label{eq:1} u(x, t) = \begin{cases} u_L (x, t) = e^{\mathrm{i} (k x- \omega t)} + R e^{\mathrm{i} (-kx - \omega t)}&; x < 0; \\ u_D (x, t) = T e^{\mathrm{i} (k x - \omega t)} &; x \ge 0 \end{cases} \end{equation}Imamo dva robna pogoja
zveznost
\[ u_L (0, t) = u_D (0, t), \]
saj ne želimo, da se struna strga, ter
2. Newtonov zakon
\[ m \ddot{u}_L (0, t) = \left. F \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x} \right|_{0^-}^{0^+} \]
Zveznost in enačba \ref{eq:1} nam podasta pogoj
\begin{equation} \label{eq:2} 1 + R = T \end{equation}Drugi pogoj lahko prepišemo v
\[ m \ddot{u}_L (0, t) = F \left[ \left. \frac{\mathrm{d} u_D}{\mathrm{d} x} \right|_{x = 0} - \left. \frac{\mathrm{d} u_{L}}{\mathrm{d} x} \right|_{x = 0} \right] \]
Vstavimo nastavke enačb \ref{eq:2} in dobimo še drugo enačbo
\[ \mathrm{i} k F (T - 1 + R) = - m T \omega ^2. \]
Vstavimo v enačbo še prvo enačbo \ref{eq:2} in po nekaj matematičnih zablodenj in uvedbo \( \frac{2FF}{m \omega ^2} = \frac{1}{\kappa_0} \) dobimo
\begin{align*} T &= \frac{1}{1 - \frac{k \mathrm{i}}{\kappa_0}} \\ R &= \frac{- 1}{\frac{\mathrm{i} k}{\kappa_0} + 1} \end{align*}2. Naloga 8
Združimo dve opni z različnima gostotama \( \rho_1 \) in \( \rho_2 \). Po opni od leve proti desni pošljemo valovanje \( \vec{k}_0 = k_0 \left( \cos \alpha, \sin \alpha \right) \). Opna z gostoto \( \rho_1 \) se nahaja pri \( x < 0 \). Hitrost valovanja po prvi opni je \( c_1 \), po drugi opni pa \( c_2 \).
Valovanje se na spoju \( x = 0 \) odbije in prepusti. Odbito valovanje označimo s \( \vec{k}_1 = k_1 \left( - \cos \beta, \sin \beta \right) \), prepuščeno valovanje pa s \( \vec{k}_2 = k_2 \left( \cos \gamma, \sin \gamma \right) \).
Zaradi ohranjanja frekvence in identitete \( \omega = k_0 c _1 \) sledi, da je
\[ k_1 = \frac{\omega}{c_1} = k_0 \]
Hkrati pa za prepuščeno valovanje sledi \( k_2 = \frac{\omega}{c_2} \).
Rešitev bo oblike
\[ u \left( \vec{r}, t \right) = \begin{cases} u_L \left( \vec{r}, t \right) &; x < 0 \\ u_D \left( \vec{r}, t \right) &; x > 0 \end{cases} \]
Imamo dva robna pogoja:
zveznost
\[ u_L (0, y, t) = u_D (0, y, t) \]
zvezno odvedljivost
\[ \partial_x u_L (0, y, t) = \partial_x u_D \left( 0, y, t \right) \]
Vemo, da bo rešitev oblike
\begin{align*} u_L \left( \vec{r}, t \right) &= e^{\mathrm{i} \left( \vec{k}_0 \vec{r} - \omega t \right)} + R e^{\mathrm{i} \left( \vec{k}_1 \vec{r} - \omega t \right)} \\ u_D \left( \vec{r}, t \right) &= T e^{\mathrm{i} \left( \vec{k} \vec{r} - \omega t \right)} \end{align*}Zveznost nam da enakost
\[ e^{\mathrm{i} \left( k_0 \sin \alpha \gamma - \omega t \right)} + R e^{\mathrm{i} \left( k \sin \beta y - \omega t \right)} = T e^{\mathrm{i} \left( k_2 \sin \gamma y - \omega t \right)} \]
Za \( y = 0 \) dobimo pogoj
\begin{equation} \label{eq:3} 1 + R = T \end{equation}Uporabimo identiteto
\[ \sin \left( u_1 x \right) = \sin \left( u_2 x \right) \implies u_1 = u_2. \]
in upoštevamo, da je sistem translacijsko invarianten na \( y \), zato tudi velja
\begin{equation} \label{eq:4} k_0 \sin \alpha = k_0 \sin \beta = k_2 \sin \gamma \end{equation}To se da nadalje preobraziti v
\[ \frac{\sin \alpha}{c_1} = \frac{\sin \beta}{c_1} = \frac{\sin \gamma}{c_2} \]
kjer je prvi enačaj \( \alpha = \beta \) odbojni zakon, drugi enačaj pa lomni zakon.
Uporabimo še drugi robni pogoj, kjer smo takoj pokrajšali eksponent, saj velja \ref{eq:4}. Dobimo enačbo
\[ T k_2 \cos \alpha = \left( 1 + R \right) k_2 \cos \gamma \]
Z upoštevanjem \ref{eq:4} dobimo
\[ R = \frac{\cos \alpha - \frac{c_1}{c_2} \sqrt{1 - \frac{c_2 ^2}{c_1 ^2} \sin ^2 \alpha }}{\cos \alpha + \frac{c_1}{c_2} \sqrt{1 - \frac{c ^2_2}{c ^2_1} \sin ^2 \alpha}} \]
3. Naloga 9 (Prinčič 3.4) - doma
4. Naloga 10 (Prinčič 3.5)
Imamo končno struno, ki je napeta med stenama, ki sta na razdalji \( l \). Rešujemo valovno enačbo
\[ \frac{\partial ^2 u}{\partial t ^2} = c ^2 \frac{\partial ^2 u}{\partial x ^2} \]
Imamo tudi dva robna pogoj
- \( u(x = 0, t) = 0 \)
- \( u(x = L, t) = 0 \)
Hkrati pa tudi začetna pogoja
oblika strune je trikotna
\[ u(x, t = 0) = \begin{cases} \frac{2a}{l} x &; x < \frac{l}{2} \\ \frac{2a}{l} (l - x) &; x > \frac{l}{2} \end{cases} \]
- in struna miruje \( \partial_t u (x, t = 0) = 0 \)
Reševali bomo s pomočjo separacije spremenljivk \( u(x, t) = X(x) T(t) \). Po izpeljavi, kakor je bila narejena na predavanjih, velja
\[ T_n (t) = A_n \cos \left( \omega_n t \right) + B_n \sin \left( \omega_n t \right), \quad X_n (x) = C_n \cos \left( k_n x \right) + D_n \left( k_n x \right) \]
kjer velja \( \omega = k c \).
Z upoštevanjem prvega robnega pogoja \( u(x - 0, t) = 0 \) dobimo enakost \( X(0) = 0 \) in posledično \( C_n = 0 \). Drugi robni pogoj \( u(x = l, t) = 0 \) nam poda \( X(l) = D_n \sin (k_n l) = 0 \) in nadalje
\[ k_n l = n \pi, \ n = 1, 2, 3, \ldots \]
Četrti robni pogoj \( \partial_t u(x, t = 0) = 0 \) pa nam po izračunu odvoda
\[ \partial_t u = X(x) \left[ A_n \omega_n \sin \left( \omega_n t \right) - B_n \omega_n \cos \left( \omega_n t \right) \right], \]
poda enakost \( -B_n \omega_n = 0 \) in posledično \( B_n = 0 \).
Z upoštevanjem \( \omega = kc \) je delna rešitev po upoštevanjih zgornjih pogojev
\[ u(x, t) = \sum\limits_n^{} G_n \cos \left( \frac{n \pi c}{l} t \right) \sin \left( \frac{n \pi}{l} x \right) , G_n = D_n A_n \]
Upoštevamo še zadnji, tretji, pogoj
\begin{equation} \label{eq:5} \sum\limits_n^{} G_n \sin \left( \frac{n \pi}{l} x \right) = u(x, t = 0) \end{equation}Pri matematiki 4 smo dokazali, da je baza \( \left\{ \sin \left( \frac{n \pi}{l} x \right) \right\}_{n = 1}^{\infty} \) so kompletni ortogonalni sistem (KOS) v \( L ^2 ([0, L]) \). Skalarni produkt v \( L ^2 \) je definiran kot
\[ \left\langle f, g \right\rangle = \int\limits_0^L f(x) g(x) \, \mathrm{d} x \]
Velja za \( f \in L ^2 \)
\[ f = \sum\limits_{b \in KOS}^{} \frac{\left\langle f, b \right\rangle}{\left\langle b, b \right\rangle} b \]
Enačbo \ref{eq:5} skalarno pomnožimo, da dobimo
\[ \left\langle u(x, t = 0), \sin \left( \frac{m \pi}{l} x \right) \right\rangle = \int\limits_0^l \sin \left( \frac{m \pi}{l} x \right) u(x, t = 0) \, \mathrm{d} x = \int\limits_0^l \sum\limits_n^{} G_n \sin \left( \frac{n \pi}{l} x \right) \sin \left( \frac{m \pi}{l} x \right) \, \mathrm{d} x = \frac{l}{2} \delta_{mn} \]
Integral na levi strani lahko prepišemo, malo poračunamo in potem obupamo.
\[ G_n \frac{l}{2} = \int\limits_0^{\frac{l}{2}} \sin \left( \frac{m \pi}{L} x \right) \frac{2 a x}{l} \, \mathrm{d} x + \int\limits_{\frac{l}{2}}^l \sin \left( \frac{m \pi}{l} x \right) \frac{2a}{l} (l - x) \, \mathrm{d} x \]
Končna rešitev je
\[ G_n = \frac{32 a}{\pi ^2 n ^2} \sin ^3 \frac{\pi n}{4} \cos \frac{\pi m}{ 4} = \begin{cases} 0 &; \mathrm{m} sod \\ \frac{8a}{\pi ^2 m ^2} \left( -1 \right)^{\frac{m - 1}{2}} &; m \text{ lih} \end{cases} \]
Za konec vstavimo v prejšnjo delno rešitev.