4. vaje iz Matematične fizike
Table of Contents
1. Naloga 11 (Prinčič 3.6) - končna struna z maso
Imamo struno dolžine \( l \), ki je na levem koncu vpeta, na desnem koncu pa ima prost konec, na katerem je masa \( m \). Iščemo lastna nihanja.
Začnemo z valovno enačbo
\[ \frac{\partial ^2 u}{\partial t ^2} = c ^2 \frac{\partial ^2 u}{\partial x ^2}. \]
Na levem koncu imamo Dirichletov robni pogoj
\[ u(0, t) = 0, \]
na desnem pa je robni pogoj Newtonov zakon za maso
\[ m \frac{\partial ^2 u}{\partial t ^2} (L, t) = \left. - F \frac{\partial u}{\partial x} \right|_{x = L}, \]
ki je homogen. Sila ima negativen predznak, saj če ima masa negativen pospešek, bo sila pozitivna. Problem bi bil samo, če bi \( u \propto x \) in \( u \not \propto t \), saj bi dobili nehomogeno enačbo \( \mathcal{L} \left( u_1 + u_2 \right) = 0 \).
Problem rešujemo s separacijo spremenljivk \( u(x, t) = X(x) T(t) \). Splošne rešitve diferencialne enačbe
\[ c ^2 \frac{X ''}{X} = \frac{\ddot{T}}{T} = - \omega ^2 \]
so
\[ X(x) = A \sin (kx) + B \cos(kx) \ \text{in } T(t) = C \sin (kx) + D \cos (kx), \]
kjer je \( k = \frac{\omega}{c} \). Iz prvega robnega pogoja dobimo, da je \( B = 0 \). Drugi robni pogoj nam poda enačbo
\[ m X(L) \ddot{T}(t) = - F \cdot X' (L) T(t) \implies \ \tan (kL) = \frac{F}{mk c^2} = \frac{Fl}{m \xi c ^2}, \]
kjer smo definirali \( \xi = kL \). Rešujemo transcendentalno enačbo
\[ \tan \xi = \frac{Fl}{m c ^2} \frac{1}{\xi} \]
Rešitve transcendentalne enačbe so na sliki 15, str. 23. Rešitve so simetrične za \( \epsilon \) glede na ordinatno os. Za \( \xi \to \infty \) opazimo, da velja
\[ \xi_n = n \cdot \pi, \ n \in \mathbb{N} \]
Splošna rešitev je take enačbe je
\[ u(x, t) = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \left[ \tilde{c}_n \sin \left( \frac{c}{l} \xi_n t \right) + \tilde{D}_n \cos \left( \frac{c}{l} \xi_n t \right) \right] \cdot \sin \left( \frac{\xi_n}{l} \cdot x \right) \]
Te funkcije so kompleten sistem in za njih velja
\[ \left\langle f, g \right\rangle = \int\limits_0^L w(x) f(x) g(x) \, \mathrm{d} x, \ w(x) = \mu + m \delta(x - l) \]
To direktno sledi iz Sturm-Liouvilleovega izreka.
Poglejmo še dve limiti:
- \( m = 0 \) (krajišče je prosto), iz česar sledi \( \xi_n = \frac{\pi}{2} + n \pi, \ n \in \mathbb{N}_0 \)
- \( m \to \infty \)(krajišče je vpeto v steno), iz česar sledi \( \xi_n = n \pi, \ n \in \mathbb{N} \)
1.1. Teorija o vrsti robnih pogojev
Razlika med homogenimi in nehomogenimi robnimi pogoji je sledeča. Pri homogenih pogojih imamo
\[ u(x = 0, t) = 0. \]
Če rešitev razvijemo po lastnih funkcijah
\[ u(x, t) = \sum\limits_n^{} A_n u_n (x, t), \]
in velja \( u_n (0, t) = 0 \), potem sledi \( u(x, t)= 0 \).
Za nehomogen pogoj
\[ u(x = 0, t) = 4 \]
pa iz \( u_n (0, t) = 4 \) ne sledi \( u(0, t) = 4 \). Separacija spremenljivk ne bo šla skozi, če je pogoj nehomogen, kar je naš način preverjanja homogenosti.
2. Naloga 12 (Prinčič 3.7) - nehomogena valovna enačba
Zanima nas oblika strune dolžine \( l \), ki je vpeta na obeh koncih, nanjo pa deluje gostota zunanje sile \( f(x, t) = f_0 \cos (\omega t) \)
2.1. Teorija reševanja nehomogenih valovnih enačb
Nehomogeno valovno enačbo rešimo tako, da najprej rešimo homogen problem, torej \( f(x, t) = 0 \). Rešitev zapišemo kot
\[ u_{homo} (x, t) = \sum\limits_n^{} A_n X_n(x) T_n (t). \]
Nehomogenost nato razvijemo po lastnih funkcijah \( X_n \)
\[ f(x, t) = \sum\limits_n^{} f_n(t) X_n (x). \]
Uporabimo nastavek
\[ u(x, t) = \sum\limits_n^{} u_n (t) X_n (x), \]
ki ga nesemo v PDE
\[ \sum\limits_n^{} \ddot{u}_n (t) X_n (x) = c ^2 \sum\limits_n^{} \left( - k_n ^2 \right) u_n X_n + \sum\limits_n^{} k_n X_n. \]
Iz njega sledi navadna diferencialna enačba
\[ \ddot{u}_n = - c ^2 k_n ^2 + f_n, \]
ki jo lahko rešimo.
2.2. Reševanje
Začnemo z reševanjem homogene diferencialne enačbe, katera krajevna rešitev je
\[ X_n = \sin \left( n \frac{\pi}{l} x \right), \ k_n = \frac{n \pi}{l} \]
Nadaljujemo z razvojem nehomogenosti po lastnih funkcijah
\begin{equation} \label{eq:1} f(x, t) = \sum\limits_n^{} f_n (t) X_n (x) \quad \left/ \int\limits_0^L X_m (x) \, \mathrm{d} x \right. \end{equation}kjer upoštevamo, da velja
\[ f_n = \frac{\left\langle f(x, t), X_n \right\rangle}{\left\langle X_m, X_n \right\rangle}, \quad \int\limits_0^L \sin \left( \frac{n \pi}{L} x \right) \sin \left( \frac{n \pi}{L} x \right) \, \mathrm{d} x = \frac{L}{2} \delta_{n, m}. \]
Zaradi normiranosti bo \ref{eq:1}
\[ f_n (t) = \frac{2}{L} \int\limits_0^L f(x, t) X_n (x) \, \mathrm{d} x = \frac{2}{L} \int\limits_0^L f_0 \cos (\omega t) \sin \left( \frac{n \pi}{L} x \right) \, \mathrm{d} x \]
Uvedemo novo spremenljivko \( u = \frac{n \pi}{L} x \) in po izračunu dobimo, da je
\[ f_n(t) = F_n \cos (\omega t), \quad F_n = - \frac{2 f_0}{n \pi} \left( (-1)^m - 1 \right) \]
Uporabimo torej nastavek
\[ u(x, t) = \sum\limits_n^{} u_n (t) \sin (k_n x), \]
ki ga nesemo v PDE
\[ \sum\limits_n^{} \ddot{u}(t) \sin (k_n x) = c ^2 \sum\limits_n^{} k_n ^2 u_n (t) \sin (k_n x) + \sum\limits_n^{} F_n \cos (\omega t) \sin (k_n x) \]
in nato rešujemo nehomogeno navadno diferencialno enačbo
\[ \ddot{u}(t) = - c ^2 k_n ^2 u(t) + F_n \cos (\omega t) \]
Spomnimo, da se nehomogeno ODE reši kot linearno kombinacijo
\[ u_n (t) = u_n ^{(homo)} (t) + u_n^{(part)} (t) \]
Rešitev homogenega dela enačbe
\[ \ddot{u}_n = - c ^2 k_n ^2 u_n (t) \]
je
\[ u_n^{(h)} = A_n \sin \left( c k_n t \right) + B_n \cos (c k_n t) \]
Partikularni del enačbe pa rešimo z ugibanjem nastavka - delovala bi tudi variacija konstante, vendar se ne splača. Prav tako rabimo najti zgolj eno partikularno rešitev zaradi eksistenčnega izreka. Naše ugibanje nastavka je
\[ u_n^{(p)} = C \cos (\omega t), \]
ki ga vstavimo v enačbo
\begin{equation} \label{eq:2} \ddot{u}_n^{(p)} = - c ^2 k_n ^2 u_n^{(p)} + F_0 \cos (\omega t). \end{equation}Dobimo
\[ - \omega ^2 C \cos (\omega t) = - c ^2 k_n ^2 C \cos (\omega t) + F_n \cos (\omega t) \implies \ C = \frac{F_n}{\omega_n ^2 - \omega ^2}. \]
Partikularna rešitev je torej
\[ u_n^{(p)} = \frac{F_n}{\omega_n ^2 - \omega ^2} \cos (\omega t), \]
za katero mora velja \( \omega_n \ne \omega \).
V primeru, da \( \omega_n = \omega \), potem uporabimo nastavek oblike
\[ u_n ^{(p)} = C t \sin (\omega t), \]
ki ga vstavimo v enačbo \ref{eq:2}. Analogno prejšnjemu reševanju je rešitev
\[ u_n = \frac{F_n}{2 \omega} t \sin \left( \omega_n t \right) \]
Rešitev ODE je tako
\[ u_n (t) = A_n \sin (\omega_n t) + B_n \cos (\omega_n t) + \begin{cases} \frac{F_n}{\omega_n ^2 - \omega ^2} \cos (\omega t) &; \omega \ne \omega_n \\ \frac{F_n}{2 \omega_n} t \sin (\omega t) &; \omega = \omega_n \end{cases} \]
Rešitev naše diferencialne enačbe je
\[ u(x, t) = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \sin (k_n x) \left[ A_n \sin (\omega_n t) + B_n \cos (\omega_n t) + \begin{cases} \frac{F_n}{\omega_n ^2 - \omega ^2} \cos (\omega t) &; \omega \ne \omega_n \\ \frac{F_n}{2 \omega_n} t \sin (\omega t) &; \omega = \omega_n \end{cases} \right] \]
Edina prosta parametra sta \( A_n \) in \( B_n \).
3. Naloga 13 (Prinčič 3.8) - nehomogen robni pogoj
Struna dolžine \( l \) je na enem koncu vpeta, na drugem koncu pa niha \( u(l, t) = u_0 \cos (\omega t) \).
Robni problemi so torej
- konec vrvi je vpet, \( u(x = 0, t) = 0 \) ter
- drug konec vrvi niha, \( u(x = l, t) = u_0 \cos (\omega t) \)
Nehomogen robni pogoj prevedmo na nehomogeno diferencialno enačbo z uvedbo
\[ \tilde{u} (x, t) = u(x, t) - \frac{x}{L} u_0 \cos (\omega t). \]
Ključ tega nastavka je, da se bosta nihajoč robni pogoj ter nastavek odštela. Valovna enačba je tako
\[ \frac{\partial ^2 \tilde{u}}{\partial t ^2} = c ^2 \frac{\partial ^2 \tilde{u}}{\partial x ^2} + \omega ^2 \frac{x}{L} u_0 \cos (\omega t) \]
Prvi robni pogoj nam da
\[ \tilde{u}(x = 0, t) = u(x = 0, t) - \frac{0}{l} u_0 \cos (\omega t) = 0 , \]
drugi robni pogoj pa
\[ \tilde{u}(x = l, t) = u(x = l, t) - \frac{l}{l} u_0 \cos (\omega t) = u_0 \cos (\omega t) - u_0 \cos(\omega t) = 0 \]