5. vaje iz Matematične fizike 2

Rešujemo difuzijsko enačbo

\[ \frac{\partial T}{\partial t} = D \nabla ^2 T + \frac{q}{\rho c}, \ \rho = \mathrm{konst} \]

Iščemo stacionarno rešitev.

Robna pogoja sta

1. \( j(x = 0) = 0 \)
2. \( j(x = a) = \sigma \left( T ^4 (x = a) - T_0 ^4 \right) \) - bralca tukaj spomnimo, da če je pozabil, da snov seva ven s temperaturo \( T(x = a) \), medtem ko zunanjost pri temperaturi \( T_0 \) seva v telo.

Za stacionarno rešitev velja \( \frac{\partial T}{\partial t} = 0 \). Radiacija izhaja v \( x \) smeri in se difuzijska enačba poenostavi v

\[ D \frac{\partial ^2 T}{\partial x ^2} + \frac{q}{\rho c} = 0. \]

Po dvojni integraciji dobimo splošno rešitev

\[ T(x) = - \frac{q}{2D \rho c} x ^2 + C x + D = - \frac{q}{2 \lambda} x ^2 + C x + D, \]

kjer smo upoštevali definicijo iz Fourierovega zakona \( D = \frac{\lambda}{\rho c} \).

Prvi robni pogoj nam preko enačbe

\[ \vec{\jmath} = - \lambda \nabla T \]

poda določi \( C = 0 \). Drugi robni pogoj pri \( x = a \) nam poda

\[ \sigma \left( \left[ - \frac{q}{2 \lambda} a ^2 + D \right] ^4 - T_0 ^4 \right) = - \lambda \left[ - \frac{q}{\lambda} a \right]. \]

Izrazimo \( D \) in dobimo, da je enak

\[ D = \pm \sqrt[4]{T_0 ^4 + \frac{q}{\sigma} a} + \frac{q}{2\lambda} a ^2 \]

Rešitev difuzijske enačbe je tako

\[ T(x) = - \frac{q}{2 \lambda} x ^2 + \left( \pm \sqrt[4]{T_0 ^4 + \frac{q}{\sigma} a} + \frac{q}{2\lambda} a ^2 \right) = \frac{q}{2 \lambda} \left( a ^2 - x ^2 \right) + \sqrt[4]{T_0 ^4 + \frac{q}{\sigma} a} \]

Upoštevali smo limitni primer za \( q = 0 \), kjer dobimo, da mora veljati \( T = T_1 \).

Rešujemo difuzijsko enačbo

\[ D \nabla ^2 T = \frac{\partial T}{\partial t} \]

z začetnim pogojem \( T \left( \vec{r}, t = 0 \right)= T_1 \) ter robnim pogojem \( T(x = 0, y, z) = T(x = a, y, z) = T_0 \).

Slednji robni pogoj je nehomogen, zato tako kakor na prejšnjih predavanjih uvedemo novo funkcijo \( \tilde{T} = T - T_0 \). Enačba, ki jo rešujemo, postane

\begin{equation} \label{eq:1} \frac{\partial \tilde{T}}{\partial t} = D \nabla ^2 \tilde{T} \end{equation}

z robnim pogojem \( \left. \tilde{T}\right|_{\partial} = 0 \). Pri reševanju se bomo poslužili separacije spremenljivk, zato zapišemo

\[ T (\vec{r}, t) = X(x) Y(y) Z(z) \phi(t) + T_0. \]

Vstavimo v enačbo \ref{eq:1} in po separaciji spremenljivke, dobimo

\[ \frac{1}{D} \frac{\dot{\phi}}{\phi} = \frac{X''}{X} + \frac{Y''}{Y} + \frac{Z ''}{Z} = - \lambda ^2. \]

Rešimo najprej časovni del, torej

\[ \frac{1}{D} \frac{\dot{\phi}}{\phi} = - \lambda ^2. \]

Rešitev je eksponentno padanje

\[ \phi (t) = Ce^{- D \lambda ^2 t}. \]

Za krajevni del postopamo malo drugače, saj imamo več kot smo navajeni spremenljivk. Definiramo \( \lambda_x \), za katero velja

\[ \lambda ^2 + \frac{Y''}{Y} + \frac{Z''}{Z} = - \frac{X''}{X} = \lambda_x ^2. \]

Rešitve \( x \) koordinate so

\[ X(x) = E \cos \left( \lambda_x x \right) + F \sin \left( \lambda_x x \right). \]

Z upoštevanjem robnega pogoja \( X (x = 0) = 0 \), dobimo, da je \( E = 0 \). Robni pogoj \( X(x = a) = 0 \) pa nam poda enačbo

\[ 0 = F \sin \left( \lambda_x a \right), \]

katere rešitve so \( \lambda_x a = \lambda n \) in nadalje \( \lambda_x = \frac{\pi}{a} n \).

Za \( y \) koordinato ponovno priredimo enačbo z uvedbo \( \lambda_y ^2 \)

\[ \frac{Y''}{Y} = \lambda_x ^2 - \lambda ^2 - \frac{Z''}{Z} = \lambda_y ^2. \]

Splošne rešitve te enačbe so

\[ Y (y) = G \cos \left( \lambda_y y \right) + H \sin \left( \lambda_y y \right). \]

Ob upoštevanju robnih pogojem določimo \( G = 0 \) in \( \lambda_y = \frac{\pi}{a} m \). Analogno postopamo tudi za \( z \) koordinato

\[ - \frac{Z''}{Z} = - \lambda_y ^2 - \lambda_x ^2 + \lambda ^2 = \lambda_z ^2 \]

in tako je \( \lambda_z = \frac{\pi}{a} l \). Za \( n, m, l \in \left\{ 1, 2, \ldots \right\} \).

Naša delna rešitev je

\[ T(\vec{r}, t) = \sum\limits_{n, m, l}^{\infty} C_{nml} e^{- D \lambda ^2 t} \sin \left( \frac{\pi n}{a}x \right) \sin \left( \frac{\pi m}{a} y \right) \sin \left( \frac{\pi l}{a} z \right) + T_0 \]

s pogojem za \( \lambda \), ki je

\[ \lambda ^2 = \lambda_x ^2 + \lambda_y ^2 + \lambda_z = \left( \frac{\pi}{2} \right) ^2 \left( n ^2 + m ^2 + l ^2 \right) \]

Upoštevamo še začetni pogoj \( T \left( \vec{r}, 0 \right) = T_1 \), ki nam poda enačbo

\[ T_1 - T_0 = \sum\limits_{n, m, l}^{\infty} C_{nml} \sin \left( \frac{\pi n}{a} x \right) \sin \left( \frac{\pi m}{x} \right) \sin \left( \frac{\pi l}{a} z \right). \]

Upoštevamo KONS in da velja

\[ \int\limits_0^a \sin \left( \frac{\pi n}{a} x \right) \sin \left( \frac{\pi m}{a}x \right) \, \mathrm{d} x = \frac{a}{2} \delta_{n, m}. \]

Rešujemo torej enačbo

\[ C_{nml} = (T_1 - T_0) \frac{a ^3}{2 ^3} \iiint\limits_{[0, a] ^3}^{} \sin \left( \frac{\pi n}{a} x \right) \sin \left( \frac{\pi m}{x} \right) \sin \left( \frac{\pi l}{a} z \right) \,\mathrm{d} ^3 \vec{r}, \]

katere rešitev je

\[ C_{nml} = (T_1 - T_0) \frac{8}{\pi ^3 nml} \left( 1 - (-1) ^n \right) \left( 1 - (-1)^m \right) \left( 1 - (-1) ^l \right). \]

Celotna rešitev je tako

\begin{align*} T \left( \vec{r}, t \right) = &\sum\limits_{n, m, l = 1}^{} \frac{8 (T_1 - T_0)}{\pi ^3 nml} \left( 1 - (-1) ^n \right) \left( 1 - (-1)^m \right) \left( 1 - (-1) ^l \right) \\ & \cdot e^{- D \frac{\pi ^2}{a ^2} \left( n ^2 +m ^2 + l ^2 \right) t} \sin \left( \frac{\pi n}{a}x \right) \sin \left( \frac{\pi m}{a} y \right) \sin \left( \frac{\pi l}{a} z \right) + T_0. \end{align*}

Po dolgem času \( t \) so vsi koeficienti v vrsti zadušeni, saj je eksponent zelo majhen. Temperatura telesa bo tako enaka \( T (\vec{r}, t \to \infty) = T_0 \). Zanima nas karakteristični čas \( \tau \). Členi v eksponentu so

\[ - D \frac{\pi ^2}{a ^2} (n ^2 + m ^2 + l ^2) t = \frac{1}{\tau} t \implies \tau = \frac{a ^2}{D \pi ^2 \left( n ^2 + m ^2 + l ^2 \right)} \]

Največje vrednosti eksponenta bodo pri najmanjših možnih vrednostih \( n, m, l \), kar je \( 1 \). Pozorni moramo biti, da pri teh vrednostih nobeden od oklepajev \( \left( 1 - \left( -1 \right)^i \right) \) za \( i = n, m, l \) niso ničelni.

Asimptotsko obnašanje bo torej

\[ T \left( \vec{r}, t \to \infty \right) = T_0 + \frac{8 (T_1 - T_0)}{\pi ^3} \cdot 8 \cdot e^{- 3 D \frac{\pi ^2}{a ^2}t} \sin \left( \frac{\pi}{a} x \right) \sin \left( \frac{\pi}{a} y \right) \sin \left( \frac{\pi}{a} z \right) \]

Takšno obnašanje nas lahko zanima na kolokvijih.

Rešujemo difuzijsko enačbo

\[ \frac{\partial T}{\partial t} = D \nabla ^2 T. \]

Zanima nas \( T(z, t) \) za \( z \ge 0 \) z robnim pogojem

\[ T(z = 0, t) = T_0 e^{\mathrm{i} \omega t} \]

Te naloge se ne moremo lotiti s pomočjo separacije spremenljivke, saj imamo neskončno območje, kar pomeni, da ne moremo dobiti diskretnih verjetnosti rešitev sinusov. Lahko bi se poslužili D’Alembertove rešitve, vendar bomo raje uporabili nastavek \( T(z, t) = f(z) e^{\mathrm{i} \omega t} \).

Vstavimo nastavek v PDE in dobimo enačbo

\[ \frac{f'' (z)}{f(z)} = \mathrm{i} \frac{\omega}{D} \]

Uporabimo nastavek \( f(z) = A e^{- \lambda z} \) za zgornjo enačbo. Dobimo rešitev za \( \lambda \), ki je

\[ \lambda = \pm \sqrt{ \frac{\mathrm{i} \omega}{D}} = \pm e^{\mathrm{i} \frac{3}{4}} \sqrt{\frac{\omega}{D}} \]

Splošna rešitev je

\[ T(z, t) = \left( A e^{+ \left( 1 + \mathrm{i} \right) \sqrt{ \frac{\omega}{2D}z}} + B e^{- \left( 1 + \mathrm{i} \right) \sqrt{\frac{\omega}{2D}} z} \right) e^{\mathrm{i} \omega t} \]

Ker v globini zemlje, kjer \( z \to \infty \) temperatura ne divergira, torej \( T < \infty \), bo \( A = 0 \). Iz robnega pogoja pa dobimo, da je \( B = T_0 \). Rešitev je tako

\[ T(z, t) = T_0 \exp \left\{ - \sqrt{\frac{\omega}{2D}} z \right\} \exp \left\{ \mathrm{i} \omega t - \sqrt{\frac{\omega}{2D}} z \right\} \]

Obrat faze je tako, ko velja

\[ \sqrt{ \frac{\omega}{2D}} z = \pi \implies z = \pi\sqrt\frac{2D}{\omega} = \begin{cases} 0.25 \mathrm{m} &; \mathrm{dan } \\ 4.7 \mathrm{m} &; \mathrm{leto} \end{cases} \]

Z nastavkom, ki smo ga na začetku uporabili, smo dobili partikularno rešitev. V primeru, če imamo pa začetne pogoje, pa se bolj splača separacija spremenljivk.