9. vaje iz Matematične fizike

Helmholtzova enačba je diferencialna enačba oblike

\[ \nabla ^2 u + \lambda u = 0, \]

ki jo rešujemo s separacijo spremenljivk \( u(r, \phi, z) = R(r) \Phi(\phi) Z(z) \).

Separacija nam poda 3 diferencialne enačbe.

Prva diferencialna enačba

\begin{equation} \label{eq:1} \Phi'' = - m ^2 \Phi, \end{equation}

poda rešitvi za azimutalni kot \( \phi \) za \( m \ge 0 \), kjer je \( m \) celo število. Za \( m > 0 \) je splošna rešitev enačbe \ref{eq:1}

\[ \Phi_m = A \cos \left( m \phi \right) + B \sin \left( m \phi \right). \]

Za \( m = 0 \) je rešitev enačbe

\[ \Phi_0 = A + B \phi \]

Druga diferencialna enačba

\begin{equation} \label{eq:2} Z'' = \pm \beta ^2 Z \end{equation}

ima dve rešitvi glede na predznak.

\[ Z(z) = \begin{cases} C \sin (\beta z) + D \cos (\beta z) &; + \beta \\ C \mathrm{sh} \left( \beta z \right) + D \mathrm{ch} (\beta z) &; - \beta \end{cases} \]

Tretja diferencialna enačba se glasi

\[ r ^2 R'' + r R' + \left[ \left( \lambda \pm \beta ^2 \right) r ^2 - m ^2 \right] R = 0. \]

Oblika rešitve bo odvisna od vrednosti \( \lambda \pm \beta ^2 \).

• vrednost \( \lambda \pm \beta ^2 = 0 \) bo za \( m \ge 0 \) podala rešitev oblike

  \[ R_m = \begin{cases} A r^m + B r^{-m} &; m > 0 \\ A + B \ln r &; m = 0 \end{cases} \]

• vrednost \( \lambda \pm \beta ^2 = k ^2 \) bo podala Besslove funkcije kot rešitve

  \[ R_m = A J_m (kr) + B Y_m (kr). \]

  Alternativna rešitev so tudi Henklove funkcije, ki so definirane kot

  \[ H_m^{(1)} (kr) = J_m (kr) + \mathrm{i} Y_m (kr) \quad \text{ in } \quad H_m^{(2)} (kr) = J_m (kr) - \mathrm{i} Y_m (kr). \]

  Rešitev se potem glasi

  \[ R_m = A H_m^{(1)} (kr) + BH_m^{(2)} (kr) \]

• vrednost \( \lambda \pm \beta ^2 = - k ^2 \) poda modificirane Beslove funkcije kot rešitve

  \[ R_m = A I_m (kr) + B K_m (kr) \]

Modificirane Besslove funkcije imajo v kompleksnem prostoru tudi povezavo z Besslovimi funkcijami

\[ J_m (\mathrm{i} z) = \exp \left\{ \frac{1}{2} \mathrm{i} \pi m\right\}I_m(z) \quad \text{ in } \quad N_m (\mathrm{i} z) =\exp \left\{ \frac{1}{2} (m + 1) \pi \right\} I_m (z) - \frac{2}{\pi} \exp \left\{ \frac{1}{2} \mathrm{i} m \pi \right\} K_m(z) \]

Pri iskanju lastnih funkcij v cilindričnih koordinatah ima skalarni produkt dodano integralsko utež \( r \)

\[ \left\langle f, g \right\rangle = \int\limits_{}^{} f \cdot g \, r \, \mathrm{d} r \, \mathrm{d} \phi \, \mathrm{d} z \]

Rešujemo valovno enačbo za opno

\[ \frac{\partial ^2 u}{\partial t ^2} = c ^2 \nabla ^2 u, \ c ^2 = \frac{\gamma}{\mu}, \]

kjer je \( \mu \) površinska gostota. Hkrati imamo tudi robna pogoja.

Prvi robni pogoj je to, da je opna na robu vpeta

\begin{equation} \label{eq:3} u (r = a) = 0. \end{equation}

Drugi robni pogoj pa povezuje opno s kovancem preko drugega Newtonovega zakona

\begin{equation} \label{eq:4} m \ddot{u} \left( r = R_1 \right) = \oint\limits_{r = R_1}^{} \left. \gamma \frac{\partial u}{\partial r} \right|_{r = R_1} \, \mathrm{d} l = 2 \pi R_1 \left. \gamma \frac{\partial u}{\partial r} \right|_{r = R_1} \end{equation}

Slednji robni pogoj je oblike

\[ \alpha x(0) + \beta x' (0) = 0, \]

kar nam pove, da imamo opravka s Sturm-Liouvilleovim problemom.

Reševanja enačbe poteka preko separacije spremenljivk \( u(r, t) = R(r) T(t) \), ki nam poda dve ODE.

\[ \frac{\ddot{T}}{T} = c ^2 \frac{\nabla ^2 R}{R} = - \omega ^2. \]

Reševanje diferencialne enačbe v času ima splošno rešitev

\begin{equation} \label{eq:5} T (t) = A \sin (\omega t) + B \cos (\omega t). \end{equation}

Ostane nam še radialna diferencialna enačba

\[ \nabla ^2 R = - \frac{\omega ^2}{c ^2} R, \]

in uvedemo \( k ^2 = \frac{\omega ^2}{c ^2} \) za krajši zapis. Rešitve radialnega dela so v splošnem odvisne od števila \( m \), ki se pojavi kot rešitev enačbe \ref{eq:1}. Naš problem je simetričen, kar pomeni, da nimamo odvisnosti od azimutalnega kota \( \phi \) in posledično je \( m = 0 \). Rešitev radialnega dela je tako

\begin{equation} \label{eq:6} R(r) = C J_0 (kr) + D Y_0 (kr). \end{equation}

V rešitvi \ref{eq:6} \( Y_0 \) sicer divergirajo v izhodišču \( r = 0 \), vendar je naše definicijsko območje obroč na intervalu \( r \in [R_1, a] \).

Ob upoštevanju prvega robnega pogoja \ref{eq:3} in rešitve \ref{eq:6} dobimo enakost

\[ u(r = a) = T(t) \left[ C J_0 (ka ) + D Y_0 (ka) \right] = 0 \implies \ D = - C \frac{J_0 (ka)}{Y_0 (ka)}. \]

Vmesna rešitev je torej

\begin{equation} \label{eq:7} R(r) = C J_0 (kr) - C\frac{J_0 (ka)}{Y_0 (ka)} Y_0 (kr). \end{equation}

Sedaj jo vstavimo v drugi robni pogoj \ref{eq:4} in dobimo enakost

\[ - m \omega ^2 T \left( C J_0 (k R_1) - C \frac{J_0 (ka)}{Y_0 (k a)} Y_0 (k R_1) \right) = 2 \pi R_1 \gamma T \left( C k J_0 ' (k R_1) - C k \frac{J_0 (ka)}{Y_0 (ka)} Y_0 ' (kR_1) \right) \]

Izpostavimo in pokrajšamo lahko koeficiente ter časovni del nastavka. Na pomoč nam priskočita tudi identiteti

\[ 2 J_n' = J_{n - 1} - J_{n + 1} \quad \text{ in } \quad J_{-n} = \left( -1 \right)^n J_n. \]

Slednja identiteta velja tudi za \( Y \) in posledično velja

\[ J_0 ' = - J_1 \quad \text{ in } \quad Y_0 ' = - Y_1. \]

Ostane nam

\[ - m c ^2 k ^2 \left( J_0 (k R_1) - \frac{J_0 (ka)}{Y_0 (ka)} Y_0 (k R_1) \right) = 2 \pi R_1 \gamma \left( - J_1 (k R_1) + \frac{J_0 (ka)}{Y_0 (ka) } Y_1 (k R_1) \right), \]

od koder lahko izrazimo

\[ k = -\frac{2 \pi R_1 \gamma}{m c ^2} \frac{\left( - J_1 (k R_1) + \frac{J_0 (ka)}{Y_0 (ka)} Y_1 (k R_1) \right)}{J_0 (k R_1) - \frac{J_0 (ka)}{Y_0 (ka)} Y_0 (k R_1)} \]

Rešujemo valovno enačbo

\[ \frac{\partial ^2 u}{\partial t ^2} = c ^2 \nabla ^2 u. \]

Rob opne je vpet v obroč, kar nam da prvi robni pogoj

\begin{equation} \label{eq:10} u \left( r = R_0, \phi, t \right) = 0. \end{equation}

Pred udarcem je boben miroval, kar pomeni, da je začetni pogoj njegovo mirovanje

\begin{equation} \label{eq:8} u (r, \phi, t = 0) = 0. \end{equation}

Po udarcu pa odvod bobna ne bo več ničeln zaradi gibalne količine, s katero smo delovali nanj

\begin{equation} \label{eq:11} \left. \frac{\partial u}{\partial t} \right|_{t = 0} = \frac{C}{r} \delta (r - a) \delta(\phi), \end{equation}

kjer je \( C \) konstanta. Določimo jo iz enačbe za gibalno količino.

\begin{align*} p_0 &= \int\limits_{}^{} v \, \mathrm{d} m = \int\limits_{}^{} \left. \mu \dot{u}\right|_{t = 0} \, \mathrm{d} S\\ &= C \mu \int\limits_{}^{} \frac{1}{r} \delta (r - a) \delta (\phi) r \, \mathrm{d}r \, \mathrm{d} \phi = C \mu \end{align*}

Konstanta je torej enaka \( C = \frac{p_0}{\mu} \).

Nalogo rešujemo podobno kot nalogo 24 s separacijo spremenljivke. Rešitev časovne diferencialne enačbe \ref{eq:5} je enaka

\[ T = A \sin (\omega t), \]

zaradi začetnega pogoja \ref{eq:8}.

Radialna diferencialna enačba je

\[ \frac{\nabla ^2 R}{R} = - \frac{\omega ^2}{c ^2} = - k ^2. \]

Pri rešitvi tokrat imamo kotno odvisnost in bo splošna rešitev

\begin{equation} \label{eq:9} R_m = \left[ A_m J_m (kr) + B_m Y_m (kr) \right] \left[ C_m \cos (m\phi) + D_m \sin (m \phi) \right] \end{equation}

Koeficienta \( B_m \) in \( D_m \) bosta ničelna. Prvi zaradi tega, ker nimamo divergence v izhodišču, drugi pa zaradi simetričnosti problema.

Upoštevamo robni pogoj \ref{eq:10}, da določimo vrednosti, ki jih zavzame \( k \). Dobimo enačbo

\[ A_m J_m (k R_0) C_m \cos (m \phi) = 0 \implies k_{nm} R_0 = \xi_n^{(m)}. \]

Vrednosti, ki jih zavzame \( k_{nm} \) so torej

\[ k_{nm} = \frac{\xi_n^{(m)}}{R_0}, \]

kjer je \( \xi_n^{(m)} \) \( n \)-ta ničla \( m \)-te Besslove funkcije \( J_m \).

Z rešitvijo

\[ u (r, \phi, t) = \sum\limits_{m = 0}^{\infty} \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \sin \left( c k_{mn} t \right) C_{mn} J_m \left( \xi_n^{(m)} \frac{r}{R_0} \right) \cos (m \phi), \]

kjer smo upoštevali \( \omega_{mn} = c k_{mn} \).

Za konec naloge lahko preko začetnega pogoja \ref{eq:11} poiščemo še vrednosti koeficientov \( C_{mn} \). Rešitev, ki smo jo odvajali po času je enaka

\[ \left. \frac{\partial u}{\partial t} \right|_{t = 0} = c \sum\limits_{m = 0}^{\infty} \sum\limits_{n = 1}^{\infty} C_{mn} k_{mn} J_m \left( \xi_n^{(m)} \frac{r}{R_0} \right) \cos (m \phi). \]

Imamo torej enakost

\[ c \sum\limits_{m = 0}^{\infty} \sum\limits_{n = 1}^{\infty} C_{mn} k_{mn} J_m \left( \xi_n^{(m)} \frac{r}{R_0} \right) \cos (m \phi) = \delta \left( r- a \right) \delta(\phi) \frac{p_0}{\mu_0 r}. \]

Za izluščitev koeficienta bomo uporabili sledeča skalarna produkta

\[ \int\limits_0^{2 \pi} \cos (l \phi) \cos (l' \pi) \, \mathrm{d} \phi = \pi \delta_{l l'} \quad \text{ in } \quad \int\limits_0^{R_0} J_m \left( \xi_n^{(m)} \frac{r}{R_0} \right) J_{m'} \left( \xi_n^{(m')} \frac{r}{R_0} \right) \cdot r \cdot \, \mathrm{d}r = \frac{R_0 ^2}{2} J_{m + 1} \left( \xi_n^{(m)} \right) ^2 \delta_{m m'}. \]

Pri skalarnem produktu Besslovih funkcij smo upoštevali še dodano utež \( r \). Zgornjo enakost torej pomnožimo z \( \int\limits_0^{R_0} \int\limits_0^{2 \pi} J_{m'} \left( \xi_{n'}^{(m')} \frac{r}{R_0} \right) \cos (m' \phi) \cdot r \, \mathrm{d} r \mathrm{d} \phi \) in dobimo

\begin{align*} c k_{m'n'} C_{m' n'} \int\limits_0^{R_0} \int\limits_0^{2 \pi} \left( J_{m'} \left( \xi_{n'}^{(m')} \frac{r}{R_0} \right) \right) ^2 \cos ^2 (m' \phi) r \, \mathrm{d} r \, \mathrm{d} \phi &= \int\limits_0^{R_0} \int\limits_0^{2\pi} \delta (r - a) \delta(\phi) \frac{p_0}{\mu_0 r} r J_{m'} \left( \xi_{n'}^{(m')} \frac{r}{R} \right) \cos (m' \phi) \, \mathrm{d} r \, \mathrm{d} \phi \\ c k_{m' n'} C_{m' n'} \frac{R ^2}{2} J_{m' + 1} \left( \xi_{n'}^{(m')} \right) ^2 \pi &= J_{m'} \left( \xi_{n'}^{(m')} \frac{a}{R} \right) \cos (m' \cdot 0) \frac{p_0}{\mu_0} \\ &= J_{m'} \left( \xi_{n'}^{(m')} \frac{a}{R_0} \right) \frac{p_0}{\mu_0} \end{align*}

Vrednosti koeficientov so torej

\[ C_{mn} = \frac{2p_0}{\mu_0 \pi c R_0} \frac{J_m \left( \xi_n^{(m)} \frac{a}{R_0} \right)}{J_{m + 1} \left( \xi_n^{(m)} \right) ^2}, \ m \ne 0 \]