11. vaje iz Matematične fizike 2

Imamo diferencialni operator \( \mathcal{L} \) in rešujemo enačbe oblike

\[ \mathcal{L}_x u(x) = f(x). \]

Želimo rešitve, ki so oblike

\[ u(x) = \int\limits_{}^{} G(x, y) f(y) \, \mathrm{d} y. \]

V primeru, da je \( f = 0 \), potem je tudi \( u =0 \).

Za robne pogoje velja \( u(a) = u(b) = 0 \).

Greenova funkcija je definirana tako, da velja

\[ \mathcal{L}_x G(x, y) = \delta(x - y). \]

Hkrati mora veljati tudi

\[ G(a, y) = G(b, y) = 0. \]

Rešitve, ki jih iščemo, so potem

\[ u(x) = \int\limits_a^b G(x, y) f(y) \, \mathrm{d} y. \]

Primer iz EMPja, je to da je imamo rešitev, ki opisuje naboj v prostoru. Z integral pa dobimo porazdelitev nabojev po prostoru.

\begin{equation} \label{eq:1} u(a) = \int\limits_a^b G(a, y) f(y) \, \mathrm{d} y = u(b) = \int\limits_a^b G(b, y) f(y) \, \mathrm{d} y = 0 \end{equation}

Nadalje

\begin{align*} \mathcal{L}_x u (x) &= \int\limits_a^b L_x G(x, y) f(y) \, \mathrm{d} y \\ &= \int\limits_a^b \delta(x - y) f(y) \, \mathrm{d} y = f(x). \end{align*}

To, skupaj z \ref{eq:1}, pomeni, da Greenova funkcija reši naš ODE.

Zapišemo problem

\[ \frac{\mathrm{d} ^2 }{\mathrm{d} x ^2} G(x, y) = \delta(x - y). \]

Če je \( x = y \), potem bo rešitev te enačbe

\[ G(x, y) = \begin{cases} A x + B&; x < y \\ Cx + D&; x > y \end{cases} \]

Iz robnega pogoja \( u(0) = 0 \) dobimo \( G(0, y) = 0 = B \). Iz drugega robnega pogoja \( u(1) = 0 \) pa velja

\[ G(1, y) = C + D = 0 \implies \, D = - C \]

Z integriranjem v majhni okolici \( \epsilon \) okoli \( y \), dobimo pogoj iz prvega odvoda. Integriramo torej na intervalu \( [y - \epsilon, y + \epsilon] \).

\begin{align*} \int\limits_{y - \epsilon}^{y + \epsilon} \frac{\mathrm{d} ^2 }{\mathrm{d} x ^2} G(x, y) \, \mathrm{d} x &= \int\limits_{y - \epsilon}^{y + \epsilon} \delta(x - y) \, \mathrm{d} x \\ \left. \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} G(x, y)\right|_{x = y + \epsilon} - \left. \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} G(x, y ) \right|_{x = y - \epsilon} &= 1 \end{align*}

Dobimo enakost

\[ C - A = 1. \]

Zadnji pogoj pa je še integral po splošnem \( x \)

\begin{align*} \int\limits_0^x \frac{\mathrm{d} ^2 }{\mathrm{d} x ^2} G(x, y) \, \mathrm{d} x &= \int\limits_0^x \delta(x - y) \, \mathrm{d} x \\ \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} G(x, y) - \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} G(x = 0, y) &= H(x - y) \end{align*}

Določimo še parameter.

\begin{align*} G(y, y) &= A y = (A + 1) y - A - 1 \\ 0&= Ay - Ay - y + A + 1 \\ y - 1 &= A. \end{align*}

Rešitev je torej

\[ G(x, y) = \begin{cases} (y - 1)x &; x < y \\ y(x - 1) &; x > y \end{cases} = (y - 1) x + (x - y) H(x - y) \]

Za \( f(x) = 1 \) je potem rešitev integral

\[ u(x) = \int\limits_0^1 G(x, y) \, \mathrm{d} y. \]

\begin{align*} u(x) &= \int\limits_0^x y(x - 1) \, \mathrm{d} y + \int\limits_x^1 (y - 1)x \, \mathrm{d} y\\ &= (x - 1) \frac{x ^2}{2} + x \left( \frac{1}{2} - \frac{x ^2}{2} + x \right) \\ &= \frac{x ^2}{2} - \frac{x}{2} = \frac{x}{2} \left( x - 1 \right) \end{align*}

Obstaja integral

\[ \int\limits_a^b \left[ v^{\ast} \mathcal{L} u - u \left( \mathcal{L}_x v\right)^{\ast} \right] \, \mathrm{d} x = \left. Q[u, v^{\ast}] \right|_a^b, \]

kjer je \( Q \) funkcional. Zvezdica označuje adjungiranost.

Za sebi-adjungiran operator \( \mathcal{L}_x = \mathcal{L}_x = \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \left( p \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \right) + q \) je funkcional oblike

\[ Q = p (v u' - u v ') \]

Posplošena Greenova funkcija za naš problem je potem

\[ \int\limits_0^1 \left[ v u'' - u v'' \right] \, \mathrm{d} x = Q \left. \left[ u, v \right] \right|_0^1 = \left. (v u' - u v') \right|_0^1 \]

Rešujemo

\begin{equation} \label{eq:2} \frac{\mathrm{d} ^2 }{\mathrm{d} x ^2} u(x) = f(x) \end{equation}

z robnimi pogoji \( u(0) = \alpha \) in \( u(1) = \beta \). Izberemo si \( v(x) = G(x, y) \).

Integral postane

\[ \int\limits_0^1 \left[ G(x, y) u''(x) - u(x) \frac{\partial ^2 G}{\partial x ^2} (x, y) \right] \, \mathrm{d} x = \left. \left[ G(x, y) u'(x) - u(x) \frac{\partial G}{\partial x} (x, y) \right] \right|_0^1 \]

V prvem členu integranda prepoznamo \ref{eq:2}, drugi odvod Greenove funkcije pa je \( \delta (x - y) \). Desna stran enačbe je tako

\begin{align*} \left. \left[ G(x, y) u'(x) - u(x) \frac{\partial G}{\partial x} (x, y) \right] \right|_0^1 &=\left[ G(1, y) u'(1) - u(1) \frac{\partial }{\partial x} G(1, y) \right] - \left[ G(0, y) u'(0) - u(0) \frac{\partial }{\partial x} G(0, y) \right] \\ &= - \beta \frac{\partial }{\partial x} G(1, y) - \alpha \frac{\partial }{\partial x} G(0, y) \end{align*}

Upoštevali smo, da je Greenova funkcija na robovih domene \( x = 0 \) in \( x = 1 \) ničelna.

Združimo z integralom in dobimo

\[ \int\limits_0^1 G(x, y) f(x) \, \mathrm{d} x - u(y) = \alpha \frac{\partial }{\partial x} G(0, y) - \beta \frac{\partial }{\partial x} G(1, y). \]

Za našo funkcijo velja \( G(x, y) = G(y, x) ^{\ast} \), kar pomeni, da lahko zamenjamo spremenljivki \( x \) in \( y \)

\[ u(x) = - \left. \frac{\partial }{\partial y} G(x, y) \right|_{y = 0} + \left. \frac{\partial }{\partial y} G(x, y) \right|_{y = 1} + \int\limits_0^1 G(x, y) f(x, y) \, \mathrm{d} y. \]

V primeru, da ne bi veljala sebi-adjungiranost, bi bilo to potrebno upoštevati ob zamenjavi spremenljivk.

Izračunajmo še konkretne vrednosti

\[ \frac{\partial }{\partial x} G(x, y) = \begin{cases} x &; x < y \\ x -1 &; x > y \end{cases}. \]

Omenimo,da imamo težavo pri \( x = 1 \), vendar nas to ne moti, saj nas odvodi zanimajo ob robovih intervala.

Rešitev je torej

\[ u(x) = \underbrace{- \alpha (x - 1) + \beta x }_{\text{homogena}}+ \underbrace{\int\limits_0^1 G(x, y) f(y) \, \mathrm{d} y}_{\text{partikularna}}. \]

Povzetek reševanja z Greenovimi funkcijami:

• rešimo nehomogeno enačbo s homogenimi robnimi pogoji
• preko Greenovo formule pa nato lahko rešimo še nehomogeno enačbo z nehomogenimi robnimi pogoji.

Nalogo rešujemo z nastavkom \( u = R(x, y) e^{\mathrm{i} \omega t} \), ki jo vstavimo v enačbo

\[ \omega ^2 R \left( \vec{r} \right) + c ^2 \nabla ^2 R \left( \vec{r} \right) = A c ^2 \left[ \delta \left( \vec{r} \right) - \delta \left( \vec{r} - \begin{bmatrix} a \\ 0 \end{bmatrix} \right) \right]. \]

Z deljenjem s \( c ^2 \), dobimo Helmholtoztovo enačbo

\[ \nabla ^2 R \left( \vec{r} \right) = A \left[ \delta \left( \vec{r} \right) - \delta \left( \vec{r} - \begin{bmatrix} a \\ 0 \end{bmatrix} \right) \right]- \frac{\omega ^2}{c ^2} R \left( \vec{r} \right). \]

Skupaj z nastavkom, bo rešitev Greenove funkcije \( H_0^{(1)} \) v neskončnosti \( \exp \left\{ \mathrm{i} \left( k \vec{r} - \omega t \right) \right\} \), kar je valovanje, ki se širi navzen. Rešitev \( H_0^{(2)} \) pa nam poda asimptotsko obnašanje \( \exp \left\{ -\mathrm{i} \left( k \vec{r} - \omega t \right) \right\} \), kar je valovanje, ki se širi navznoter. Prva bo torej naša rešitev.

Greenova funkcija je torej

\[ G = - \frac{\mathrm{i}}{4} H^{(1)}_0 \left( k \left| \vec{r} - \vec{r}_0 \right| \right). \]

Rešimo integral

\[ R \left( \vec{r} \right) = \int\limits_{}^{} G \left( \vec{r} ,\vec{r}_0 \right) f(\vec{r}_0) \, \mathrm{d} \vec{r} = - \frac{\mathrm{i}}{4} \int\limits_{}^{} H_0^{(1)} \left( k \left| \vec{r} - \vec{r}_0 \right| \right) A \left[ \delta \left( \vec{r} \right) - \delta \left( \vec{r} - \begin{bmatrix} a \\ 0 \end{bmatrix} \right) \right] \, \mathrm{d} \vec{r} \]

Po integriranju velja

\begin{equation} \label{eq:3} R \left( \vec{r} \right)= - \frac{\mathrm{i} A}{4} H_0^{(1)} \left( k \left| \vec{r} \right| \right) - \frac{\mathrm{i} A}{4} H_0^{(1)}\left( k \left| \vec{r} - \begin{bmatrix} a \\ 0 \end{bmatrix} \right| \right) \end{equation}

Poglejmo si asimptotsko obnašanje za \( r \gg a \).

Razdaljo torej zapišemo kot

\begin{align*} \left| \vec{r} - \vec{r}_0 \right| &= \left| \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} a \\ 0 \end{bmatrix} \right| = \sqrt{(x - a) ^2 + y ^2} \\ &= \sqrt{r ^2 - 2ax} \\ & \approx r \left( r - \frac{x a}{r ^2} \right) \end{align*}

Dobljen približek za \( \left| \vec{r} - \vec{r}_0 \right| \) vstavimo v \ref{eq:3} in dobimo

\begin{align*} R \left( \vec{r} \right) &= \frac{\mathrm{i} A}{4} H_0^{(1)} \left( kr \right) + \frac{\mathrm{i} A}{4} H_0^{(1)} \left( k r \left[ 1 - \frac{x a}{r ^2} \right] \right)\\ &= - \frac{\mathrm{i} A}{4} H_0^{(1)} \left( kr \right) + \left( H_0^{(1)} (kr) - H_0^{(1)} \,' (kr) \frac{kx a}{r} \right), \end{align*}

kjer smo upoštevali Taylorjev razvoj.

Sedaj si pomagajmo z identitami s sledečimi identitati. Splošna formula za odvode je

\[ \frac{\partial }{\partial z} H_n^{(1)} (z) = \frac{n H_n^{(1)} (z)}{z} - H_{n + 1}^{(1)} (z) \]

z asimptotskim približkom za

\[ H_{1} ^{(1)}(z) \asymp \sqrt{\frac{2 }{\pi z}} \exp \left\{ \mathrm{i} \left( z ++ \frac{3 \pi }{4} \right) \right\}. \]

Odvod torej lahko izrazimo s funkcijo \( H_1^{(1)} \), nato pa uporabimo identiteto, ter asimptotski približek, da pridemo do rešitve.

\[ H_0^{(1)} \, ' (kr) \frac{kx a}{r} = - H_1^{(1)} (kr) \asymp \sqrt{\frac{2}{\pi kr}} \exp \left\{ \mathrm{i} kr + \frac{3 \pi }{4} \right\}. \]

Rešitev \( R \left( \vec{r} \right) \) je torej

\[ R \left( \vec{r} \right) = \frac{\mathrm{i} A}{4} \left( \frac{2}{\pi k r} \right) ^{\frac{1}{2}} \frac{kax}{r} \exp \left\{ kr + \frac{3 \pi}{4} \right\}. \]

Časovno odvisna rešitev pa je

\[ u \left( \vec{r}, t \right) = \frac{\mathrm{i} A}{4} \sqrt{\frac{2}{\pi k r}} ka \cos \phi \exp \left\{ \mathrm{i} \left[ \left( kr + \frac{3 \pi}{4} \right) - \omega t \right] \right\}. \]