14. vaje iz Matematične fizike

Od zadnjič nam je ostal t.i. Kirchoffov integral

\[ u \left( \vec{r}, t \right) = \left. \int\limits_0^t f (t_0) \frac{\partial }{\partial z_{0}} G \left( \vec{r}, z_0 \hat{e}_z, t, t_0 \right) \right|_{z_0 = 0} \, \mathrm{d} t_0 \]

Izračunali smo, da je odvod Greenove funkcije

\[\left. \frac{\partial }{\partial z_{0}} G \left( \vec{r}, z_0 \hat{e}_z, t, t_0 \right) \right|_{z_0 = 0} = \left[ \frac{\cos \theta}{r ^2} \delta (t - t_0 - \frac{r}{c}) + \frac{\cos \theta}{rc} \delta' (t - t_0 - \frac{r}{c}) \right] \]

Z odvodom \( \delta \) funkcije se še nismo srečali, vendar je bila na vajah podana identiteta

\[ \int\limits_{- \infty}^{\infty} \delta^{(n)} (x) f (x) \, \mathrm{d} x = \left( -1 \right)^n f^{(n)} (0). \]

Po intuciji lahko prvi odvod \( \delta \) funkcije izračunamo preko per partesa

\[ \int\limits_{- \infty}^{\infty} \delta' (x) f(x) \, \mathrm{d} x = \left. \delta(x) f(x) \right|_{- \infty}^{\infty} - \int\limits_{- \infty}^{\infty} \delta(x) f' (x) \, \mathrm{d} x = - f' (0) \]

Več o tem lahko bralec prebere v knjigi Križaniča o Parcialnih diferencialnih enačbah.

Kirchoffov integral torej zapišemo

\begin{align*} u \left( \vec{r}, t \right) &= \frac{1}{2 \pi} \int\limits_0^t f(t_0) \left[ \frac{\cos \theta}{r ^2} \delta (t - t_0 - \frac{r}{c}) + \frac{\cos \theta}{rc} \delta' (t - t_0 - \frac{r}{c}) \right]\\ &=\frac{1}{2 \pi} \left( \frac{\cos \theta}{r ^2} f \left( \frac{r}{c} + t \right) - \frac{\cos \theta}{rc} f' \left( t - \frac{r}{c} \right) \right) \end{align*}

Predpostavimo, da je kot \( \theta \ll 1 \), radij \( r \) velik in ima funkcija odvisnost oblike \( f(t) = A \exp \left\{ - \mathrm{i} \omega t \right\} \).

S tem predpostavkami lahko sedaj zapišemo

\[ u \left( \vec{r}, t \right) = \frac{1}{2 \pi} \left( - \frac{1}{rc} (- \mathrm{i} \omega) A \exp \left\{ - \mathrm{i} \omega (t - \frac{r}{c}) \right\} \right) = \frac{\mathrm{i} k}{2 \pi r} A \exp \left( \mathrm{i} (kr - \omega t) \right). \]

Dobljen člen je ravno točkovni izvir valovanja.

Rešujemo enačbo oblike

\[ \mathcal{L} u \left( \vec{r} \right) - \lambda V \left( \vec{r} \right) u \left( \vec{r} \right) = 0, \]

kjer je \( \mathcal{L} \) poljuben diferencialni operator. Podobno kot pri perturbacijski teoriji, bo \( \lambda \ll 1 \). Predpostavimo, da poznamo Greenovo funkcijo \( G \) za diferencialni operator \( \mathcal{L} \) na območju \( \mathcal{D} \).

Predpostavimo, da je motnja naša nehomogenost \( f \left( \vec{r} \right) = \lambda V \left( \vec{r} \right) u \left( \vec{r} \right) \) in potem je rešitev problema oblike

\[ u \left( \vec{r} \right) = h \left( \vec{r} \right) + \lambda \int\limits_{\mathcal{D}}^{} G \left( \vec{r}, \vec{r}_0 \right) V \left( \vec{r}_0 \right) u \left( \vec{r}_0 \right) \, \mathrm{d} ^n \vec{r}_0, \]

kjer je \( h \left( \vec{r} \right) \) rešitev homogenega problema.

S tem pripomočkom lahko sedaj delamo iteracijo.

Začetni korak iteracije bo

\[ u_0 \left( \vec{r} \right) = h \left( \vec{r} \right). \]

Potem

\begin{align*} u_1 \left( \vec{r} \right) &= h \left( \vec{r} \right) + \lambda \int\limits_{\mathcal{D}}^{} G \left( \vec{r}, \vec{r}_0 \right) V \left( \vec{r}_0 \right) u_0 \left( \vec{r}_0 \right) \, \mathrm{d} ^n \vec{r}_0 \\ &\vdots \\ u_{n + 1} \left( \vec{r} \right) &= h \left( \vec{r} \right) + \lambda \int\limits_{\mathcal{D}}^{} G \left( \vec{r}, \vec{r}_0 \right) V \left( \vec{r}_0 \right) u_n \left( \vec{r}_0 \right) \, \mathrm{d} ^n \vec{r}_0. \end{align*}

Definiramo operator

\[ K u \left( \vec{r} \right) = \int\limits_{\mathcal{D}}^{} G \left( \vec{r}, \vec{r}_0 \right) V \left( \vec{r}_0 \right) u \left( \vec{r}_0 \right) \, \mathrm{d} ^n \vec{r}_0 . \]

Rešitev dobimo z vrsto

\[ u \left( \vec{r} \right) = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \lambda^n K^n h \left( \vec{r} \right) = \left( 1 + \lambda K + \ldots \right) h \left( \vec{r} \right) \]

Rešitev bo sestavljena iz dveh valovnih funkcij

\[ \psi \left( \vec{r}, t \right) = \psi_i \left( \vec{r}, t \right) + \psi_s \left( \vec{r}, t \right) = \exp \left\{ \mathrm{i} (\vec{k} \cdot \vec{r} - \omega t) \right\} + \psi_s \left( \vec{r}, t \right) \]

Indeks \( i \) predstavlja vpadno valovno funkcijo, indeks \( s \) pa sipano valovno funkcijo.

Nastavek ravnega vala nam problema ne bo rešil zaradi potenciala, vendar pa uporabimo enostavnejši nastavek \( \psi_s \left( \vec{r}, t \right) = \psi \left( \vec{r} \right) \exp \left\{ - \mathrm{i} \omega t \right\} \).

Nastavek nesemo v valovno enačbo, dobimo

\[ \mathrm{i} \hbar \psi (- \mathrm{i} \omega) = - \frac{\hbar}{2m} \nabla ^2 \psi + V \psi. \]

Z upoštevanjem definicije \( \hbar \omega = E \) dobimo Helmholtzovo enačbo

\[ \left( \nabla ^2 + \frac{E 2m}{\hbar ^2} \right) \psi = \frac{2m}{\hbar ^2} \psi \]

Naš diferencialni operator je tako \( \mathcal{L} = \nabla ^2 + k ^2 \).

Daleč stran od območja potenciala predpostavimo \( V \approx 0 \) in \( \psi_s \approx 0 \). S temi predpostavkami rešujemo enačbo

\[ \mathrm{i} \hbar \frac{\partial }{\partial t} \psi_i = - \frac{\hbar ^2}{2m} \nabla ^2 \psi_i, \]

iz česar sledi

\[ \mathrm{i} \hbar ( - \mathrm{i} \omega ) = \frac{\hbar ^2}{2m} k ^2, \]

s čimer smo določili energijo \( E = \frac{\hbar ^2}{2m} k ^2 \).

Vrnimo se nazaj k naši Helmholtzovi enačbi.

Greenova funkcija operatorja \( \mathcal{L} \) je retardirana Greenova funckija iz prejšnjega predavanja

\[ G \left( \vec{r}, \vec{r}_0 \right) = G_{\infty} \left( \vec{r}, \vec{r}_0 \right) = -\frac{1}{4 \pi} \frac{\exp \left\{ \mathrm{i} k \left| \vec{r} - \vec{r}_0 \right| \right\}}{\left| \vec{r} - \vec{r}_0 \right|} \]

Uporabili bomo iteracijo, ki smo jo definirali v teoretičnem uvodu. Prvi red iteracije je

\[ \psi_1 \left( \vec{r} \right) = \exp \left\{ \mathrm{i} \vec{k} \cdot \vec{r} \right\} + \int\limits_{\mathbb{R} ^3}^{} \left( -\frac{1}{4 \pi} \frac{\exp \left\{ \mathrm{i} k \left| \vec{r} - \vec{r}_0 \right| \right\}}{\left| \vec{r} - \vec{r}_0 \right|} \right) \frac{2m}{ \hbar ^2} V \left( \vec{r} \right) \exp \left\{ \mathrm{i} \vec{k} \cdot \vec{r} \right\} \, \mathrm{d} ^3 \vec{r}_0. \]

Prepoznamo, da smo dobili rešitev iz dveh valovnih funkcij in posledično prepoznamo sipalno valovno funkcijo

\[ \psi_s \left( \vec{r} \right) = - \frac{m}{2 \pi \hbar ^2} \int\limits_{\mathbb{R} ^3}^{} V \left( \vec{r}_0 \right) \frac{\exp \left\{ \mathrm{i} k \left| \vec{r} - \vec{r}_0 \right| + \mathrm{i} \vec{k} \cdot \vec{r}_0\right\}}{\left| \vec{r} - \vec{r}_0 \right|} \, \mathrm{d} ^3 \vec{r}_0. \]

Pred nadaljevanjem bomo naš integral malo poenostavili. Predpostavimo, da smo daleč od našega območja s potencialom \( \vec{r} \gg \vec{r}_0 \).

\[ k \left| \vec{r} - \vec{r}_0 \right| = k \sqrt{r ^2 - 2 \vec{r} \cdot \vec{r}_0} = kr \left( 1 - \frac{2 \vec{r} \cdot \vec{r}_0}{r ^2} + \ldots \right)^{\frac{1}{2}} = kr \left( 1 - \frac{\vec{r} \vec{r}_0}{r ^2} + \ldots \right) \]

Zaradi predpostavke je \( \vec{r}_0 ^2 = 0 \). Slednje lahko zapišemo tudi malo drugače, z uvedbo novega normaliziranega vektorja

\[ k \left| \vec{r} - \vec{r}_0 \right| = kr - k \frac{\vec{r}}{r ^2} \cdot \vec{r}_0 = kr - \vec{k} \, ' \cdot \vec{r}_0. \]

Sipano valovno funkcijo tako zapišemo kot

\[ \psi_s \left( \vec{r} \right) = - \frac{m}{2 \pi \hbar ^2} \int\limits_{\mathbb{R} ^3}^{} V \left( \vec{r}_0 \right) \frac{\exp \left\{ k r - \vec{k}\, ' \vec{r}_0 + \mathrm{i} \vec{k} \cdot \vec{r}_0 \right\}}{r - \frac{\vec{r}}{r} \cdot \vec{r}_0} \, \mathrm{d} ^3 \vec{r}_0 \]

Zaradi predpostavke oddaljenosti bo \( \frac{\vec{r}}{r} \cdot \vec{r}_0 \approx 0 \).

Integral tako zapišemo

\[ \psi_s \left( \vec{r} \right) = - \frac{m \exp \left\{ \mathrm{i} kr \right\}}{2 \pi \hbar ^2 r} \int\limits_{\mathbb{R} ^3}^{} V \left( \vec{r}_0 \right) \exp \left\{ \mathrm{i} (\vec{k} - \vec{k} \, ') \vec{r}_0 \right\} = - \frac{m}{2 \pi \hbar ^2} \hat{V} \left( \vec{k} - \vec{k} \, ' \right) \frac{\exp \left\{ \mathrm{i} k r \right\}}{r}, \]

kjer smo prepoznali Fourierovo transformacijo.

V nadaljevanju bomo to delali, ker je zanimivo in nam bi za drugo nalogo zmanjkalo časa.

Tranformiramo funkcijo nadomestimo z definicijo

\[ - \frac{m}{2 \pi \hbar ^2} \hat{V} \left( \vec{k} - \vec{k} \, ' \right) \frac{\exp \left\{ \mathrm{i} kr \right\}}{r} = f \left( \vec{k} - \vec{k} \, ' \right) \frac{\exp \left\{ \mathrm{i} k r \right\}}{r} \]

Imejmo vpadni tok \( \vec{\jmath}_i \) in sipalni tok \( \vec{\jmath}_s \), ki se siplje v prostorski kot \( \mathrm{d} \Omega = \mathrm{d} \cos \theta \mathrm{d} \phi \).

Sipalni presek v odvisnosti od prostorskega kota lahko povežemo z razmerjema tokov

\[ \frac{\mathrm{d} \sigma}{\mathrm{d} \Omega}= \frac{1}{j_i} \frac{\mathrm{d} N_{s}}{\mathrm{d} \Omega} = \frac{1}{j_i} \frac{j_s r ^2 \mathrm{d} \Omega}{\mathrm{d} \Omega} = \frac{j_s}{j_i} r ^2, \]

kjer smo upoštevali definicijo sipanih delcev

\[ N_s = \int\limits_{}^{} \vec{\jmath}_s \, \mathrm{d} S \]

Vpadni tok lahko izračunamo preko

\[ \vec{\jmath}_i = \frac{\hbar}{2 m \mathrm{i}} \left( \psi_i^{\ast} \nabla \psi_i - \psi_i \nabla \psi_i^{\ast} \right) = \frac{\hbar \vec{k}}{m}, \]

kjer smo upoštevali, kaj je vpadna valovna funkcija.

Izračunajmo še sipani tok. Za to bomo potrebovali en vmesni račun

\begin{align*} \nabla \frac{\exp \left\{ \mathrm{i} k r \right\}}{r} &= - \nabla \left( \frac{1}{r} \right) \exp \left\{ \mathrm{i} k r \right\} + \frac{1}{r} \exp \left\{ \mathrm{i} k r \right\} \cdot \frac{\vec{r}}{r} \mathrm{i} k \\ &= - \frac{1}{r ^2}\frac{\vec{r}}{r} \exp \left\{ \mathrm{i} k r \right\} + \frac{\vec{r}}{r ^2} \mathrm{i} k \exp \left\{ \mathrm{i} k r \right\} \\ &= \frac{\vec{r}}{r} \exp \left\{ \mathrm{i} k r \right\} \left( \mathrm{i} k \cdot \frac{1}{r} - \frac{1}{r ^2} \right) \end{align*}

Sipalni tok je potem

\[ \vec{\jmath}_s = \frac{\hbar}{2m \mathrm{i}} \left| f \left( \vec{k} - \vec{k} \, ' \right) \right| ^2 \cdot \frac{\vec{k} \, '}{r ^2}. \]

Sipalni presek je potem ob upoštevanju izračunanih tokov

\[ \frac{\mathrm{d} \sigma}{\mathrm{d} \Omega} = f \left( \vec{k} - \vec{k} \, ' \right) ^2 \]

Vrnimo se nazaj k potencialu. Naj bo \( \vec{q} \) v sferičnih koordinatah zapisan v smeri \( z \), torej \( \vec{q} = q \hat{e}_z \).

\[ \hat{V} (\vec{q}) = \int\limits_{\mathbb{R} ^3}^{} V_0 \frac{\exp \left\{ - \gamma r \right\}}{r} \exp \left\{ \mathrm{i} \vec{q} \cdot \vec{r}\right\} \, \mathrm{d} ^3\vec{r} = \iiint\limits_{}^{} V_0 \frac{\exp \left\{ - \gamma r \right\}}{r} \exp \left\{ \mathrm{i} 2 r \cos \theta \right\} \, \mathrm{d} \phi r ^2 \, \mathrm{d} r \sin \theta \, \mathrm{d} \theta \]

Integral po azimutalnem kotu \( \phi \) je trivialen, tako da se v nadaljevanju lotimo integriranja po kotu \( \theta \)

\[ \hat{V} (\vec{q}) = 2 \pi V_0 \int\limits_0^{\infty} \frac{\exp \left\{ - \gamma r \right\}}{r} r ^2 \, \mathrm{d} r \left. \frac{\exp \left\{ \mathrm{i} q r \cos \theta \right\}}{\mathrm{i} q r} \right|_{\cos \theta = -1}^{\cos \theta = 1} \]

Po integriranju spremenljivke \( r \) je končni potencial

\[ \hat{V} (\vec{q}) = \frac{4 \pi V_0}{q ^2 + \gamma ^2}. \]

Sedaj lahko z izračunanim integral izrazimo funkcijo \( f \left( \vec{k} - \vec{k} \, ' \right) \), ki je enaka

\[ f \left( \vec{k} - \vec{k} \, ' \right) = \frac{2 m V_0}{\hbar ^2 \left( q ^2 + \gamma ^2 \right)}. \]

Diferencialni sipalni presek je

\[ \frac{\mathrm{d} \sigma}{\mathrm{d} \Omega} = \frac{m ^2 V_0 ^2}{\hbar ^2} \frac{1}{\left( \left| \vec{k} - \vec{k} \, '\right| ^2 + \gamma ^2 \right) ^2} \]

Za konec bi radi še izračunali sipalni presek.

\begin{align*} \left| \vec{k} - \vec{k} \, ' \right| &=\left| \vec{k} - k \frac{\vec{r}}{r} \right| ^2 \\ &= k ^2 + k ^2 - 2\vec{k} \cdot \vec{r} \frac{k}{r} & \vec{k} = k \hat{e}_z \\ &= 2k ^2 - 2kr \cos \theta \\ &= 2k ^2 \left( 1 - \cos \theta \right) \end{align*}

Sipalni presek je tako

\[ \sigma = \int\limits_{}^{} \frac{4 m ^2 V_0 ^2}{r ^4} \frac{1}{\left( \left| \vec{k} - \vec{k} \, ' \right| ^2 + \gamma ^2\right) ^2} \, \mathrm{d} \phi \, \mathrm{d} (\cos \theta) = \frac{16 \pi m ^2 V_0 ^2}{\hbar ^2 \gamma ^2 \left( \gamma ^2 + 4 k ^2 \right)} \]