Mat3teden1

Naj bodo \( a, b, c, d \in \mathbb{R} \) in \( f:[a, b] \times [c, d] \to \mathbb{R} \) zvezna. Tedaj je \( F:[c, d] \to \mathbb{R} \) definirana s predpisom \( F(t) = \int\limits_a^b f(x, t) \, dx \) zvezna.

Sledi dokaz.

Naj bo \( f=f(x, t): P = [a, b] \times [c, d] \to \mathbb{R} \). Privzemimo, da je

• \( f \) zvezna na \( P \)

• \( \frac{\partial f}{\partial t} \exists \) in je zvezna na \( P \)

  Tedaj je

  \begin{equation} \label{eq:1} F(t) := \int\limits_a^b f(x, t) \,dx \end{equation}

  odvedljiva na \( [c, d] \) in velja

  \begin{equation} \label{eq:2} F'(t) = \int\limits_a^b \frac{\partial f }{\partial t} (x, t) \,dx \end{equation}

Sledi dokaz.

Naj bo \( P = [a, b] \times [c, d] \). Naj bo \( f(x, t): P \to \mathbb{R}\). Privzemimo, da

• je \( f\) zvezna na \( P \)
• \( \frac{\partial f }{\partial t} \exists \) in je zvezna na \( P \)

• imejmo še odvedljivi funkciji \( \alpha, \beta: [c, d] \to [a, b] \). Tedaj je

  \begin{equation} \label{eq:3} F(t) = \int\limits_{\alpha(t)}^{\beta(t)}f(x, t)\,dx \end{equation}

  odvedljiva na \( [c, d] \) in velja

  \begin{equation} \label{eq:4} F'(t) = \int\limits_{\alpha(t)}^{\beta(t)} \frac{\partial f}{\partial t} (x, t) \,dx +f(\beta(t), t) \cdot \beta'(t) - f(\alpha(t), t) \cdot \alpha'(t) \end{equation}

Naj bo \( f:[a, b] \times [c, d] \to \mathbb{R} \) zvezna. Tedaj velja

\begin{equation} \label{eq:5} \int\limits_a^b \left( \int\limits_c^d f(x, t) \,dt \right)\,dx = \int\limits_c^d \left( \int\limits_a^b f(x, t) \,dx \right)\,dt \end{equation}

Dokaz: Definiramo \( G(y) := \int\limits_a^b \int\limits_c^y f(s, t) \,dt \,ds \). Integral \( \psi (s, y) = \int\limits_c^y f(s, t)\,dt \exists \), ker je zvezna v spremenljivki in to pomeni, da \( G(y) \exists \).

Prav tako definiramo \( H(y) := \int\limits_c^y \int\limits_a^b f(s, t) \,ds \,dt \). Integral \( \varphi (t) = \int\limits_a^b f(s, t) \,ds \).

Ker je \( G(c) = 0 = H(c) \) zadošča preveriti, da \( G' = H' \).

Velja

\begin{align*} H'(y) &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dy}} \int\limits_c^y \varphi (t)\,dt \\ &= \varphi(y) = \int\limits_a^b f(s, y) \,ds \\ G'(y) &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dy}} \int\limits_a^b \psi (s, y) \,ds \\ &= \int\limits_a^b \frac{\partial }{\partial y} \psi (s, y) \,ds \end{align*}

Da gre lahko iz totalnega odvoda dobimo parcialni odvod znotraj integrala, upoštevamo trditev 1.3.

Če je \( \psi \) zvezna, zvezno odvedljiva na \( y \) preveri za DN.

Naj bo \( f: [a, \infty) \times [c, d] \to \mathbb{R} \) zvezna. Integrali \( \left\{ I(t) = \int\limits_a^\infty f(x, t) \,dx, t \in [c, d]\right\} \) so enakomerno konvergentni (na \( [c, d] \)), če

~ ponovi se enakomerna konvergentnost funkcije iz matematike 1 ~

\( \forall \varepsilon > 0 \exists M > a \ni: \)

\[ \left| I(t) - \int\limits_a^N f(x, t) \,dx \right| < \varepsilon \, \forall N \ge M \text{ in } \forall t \in [c, d] \]

Naj bo \( f:[a, \infty) \times [c, d] \to \mathbb{R} \) zvezna. Privzamemo, da \( \exists \) integrabilna funkcija \( \Phi: [a, \infty) \to [0, \infty) \ni: \)

\[ \forall x \ge a \, , \forall t \in [c, d]: ,\ \left| f(x, t) \right| \le \Phi(x) \]

Tedaj

\begin{equation} \label{eq:6} F(t) = \int\limits_a^{\infty} f(x, t) \,dx \end{equation}

konvergira enakomerno na \( [c, d] \).

Dokaz

\begin{align*} \left| F(t) - \int\limits_a^M f(x, t) \,dx \right| &= \left| \int\limits_M^{\infty} f(x, t) \,dx \right| \\ & \le \int\limits_M^{\infty}\left| f(x, t) \right| \,dx \le \int\limits_M^{\infty} \Phi(x)\,dx && \forall t \end{align*}

Ker je \( \Phi \) integrabilna \( \forall \varepsilon > 0 \exists M_0 > a \ni \): \[ M \ge M_0 \implies \int\limits_M^{\infty} \Phi \,dx < \varepsilon \implies \left| F(t) - \int\limits_a^M f(x, t) \,dx \right| <\varepsilon \, \forall M \ge M_0 \, \forall t \in [c, d] \]

Vzamemo \( 0 < c < d \), \( F(t) := \int\limits_0^{\infty} e^{-tx}\,dx; \, t \in [c, d] \).

Ali so \( F(t) \) enakomerno konvergentne?

Dovolj je, da najdemo \( \Phi = \Phi(x) : [0, \infty) \to [0, \infty) \ni \)

1. \( e^{-tx} \le \Phi(x) \, \forall x \, \forall t \)
2. \( \int\limits_0^{\infty} \Phi(x) \,dx < \infty \)

Definiramo \( \Phi(x) := e^{-cx}, \, tx \ge cx \, \forall t, \, \forall x \), potem sledi \( e^{-tx} \le e^{-cx} \).

\begin{align*} \int\limits_0^{\infty} \Phi(x) \,dx &= \frac{e^{-cx}}{-c} \left. \right|_{x=0}^{x = \infty} \\ &= \frac{1}{c} < \infty \end{align*}

Vidimo, da \( F(t) \) enakomerno konvergentna celo na \( [c,\infty) \)

Če je \( f:[a,\infty) \times [c, d] \to \mathbb{R} \) zvezna in \( F(t) := \int\limits_a^{\infty} f(x, t) \,dx \) enakomerno konvergentna na \( [c, d] \), tedaj je \( F \) zvezna na \( [c, d] \).

Dokaz:

Za \( t, t_0 \in [c, d] \) je

\begin{align*} \left| F(t) - F(t_0) \right| &= \left| \int\limits_a^{\infty} \left[ f(x, t) - f(x, t_0) \right] \,dx \right| \\ &= \left| \int\limits_a^M \left[ f(x, t) - f(x, t_0) \right]\,dx + \int\limits_M^{\infty} f(x, t)\,dx - \int\limits_M^{\infty} f(x, t_0) \,dx \right| \\ & \le \int\limits_a^M \left| f(x, t) - f(x, t_0) \right|\,dx + \left| \int\limits_M^{\infty}f(x, t)\,dx \right| + \left| \int\limits_M^{\infty} f(x, t_{0)}\,dx \right| \end{align*}

Funkcija je neomejena, ergo nekompaktna in nam trditev 1.2 ne pomaga več.

Vzamemo \( \varepsilon > 0 \). Ker \( F(t) \) konvergira enakomerno, \( \exists M_0 \ge a \ni: \, \left| \int\limits_M^{\infty}f(x, u)\,dx \right| < \frac{\varepsilon}{3} \) \( \forall M \ge M_0 \text{ in } \forall u \in [c, d] \).

Za tak \( M \) sta zadnja dva integrala \( < \frac{\varepsilon}{3} \). Za ta (fiksirani) \( M \ge M_0 \) je \( f:[a, M] \times [c, d] \to \mathbb{R} \) enakomerno zvezna, zato (kot včeraj) \( \exists \delta > 0 \ni \)

\[ t, t_0 \in [c, d], \, \left| t - t_0 \right| < \delta \implies \left| f(x, t) - f(x, t_0) \right| < \frac{\varepsilon}{3(M - a)} \]

Torej je \( F \) zvezna.

Če je \( f:[a, \infty) \times [c, d] \to \mathbb{R} \) zvezna, \( F(t) = \int\limits_a^{\infty} f(x, t) \,dx \) enakomerno konvergentna na \( [c, d] \). Tedaj je \( F \) integrabilna in velja

\begin{equation} \label{eq:7} \int\limits_c^d \left( \int\limits_a^{\infty} f(x, t) \,dx \right)\,dt = \int\limits_a^{\infty} \left( \int\limits_c^d f(x, t) \,dt \right)\,dx \end{equation}

Dokaz:

Vemo, da je \( F \) zvezna, zato je integrabilna na \( [c, d] \). Vemo, da velja

\[ \int\limits_c^d \left( \int\limits_a^b f(x, t) \,dx \right)\,dt = \int\limits_a^b \left( \int\limits_c^d f(x, t) \,dt \right)\,dx \]

Označimo \( F_b(t) = \int\limits_a^b f(,x t) \,dx \). Želimo poslati \( b \rightarrow \infty \).

Velja, da je \( \lim_{b \to \infty} F_b(t) = F(t) \) enakomerna na \( [c, d] \):

\[ \left| F(t) - F_b(t) \right| = \left| \int\limits_b^{\infty}f(x, t) \,dx \right| \rightarrow_{b \to 0} 0 \] enakomerno v \( t \).

Sledi (iz mat1):

\[ \lim_{b \to \infty} \int\limits_c^d F_b (t) \,dt = \int\limits_c^d F(t) \,dt \]

Torej leva stran (LS) ima limito za \( b \rightarrow \infty \) in sicer

\[ \int\limits_c^d \int\limits_a^{\infty}...\,dx\,dt \]

Torej jo ima tudi desna stran (DS), ta limita pa je po definiciji

\[ \int\limits_a^{\infty}\int\limits_c^d f(x, t)\,dt\,dx \]

Q.E.D