Mat3teden12

Iščemo \( n \)-terico funkcij \( y_1, y_2, \ldots, y_n: I \to \mathbb{R} \), kjer je \( I \) nek interval, ki zadoščajo sistemu enačb

\begin{align}\label{ali:SDE} y_1 ' &= a_{11} y_1 + a_{21} y_2 + \ldots a_{n1} y_n + b_1 \\ y_2 ' &= a_{12} y_1 + a_{22} y_2 + \ldots a_{n2} y_n + b_2 \\ & \vdots \\ y_n ' &= a_{1n} y_1 + a_{2n} y_2 + \ldots a_{nn} y_n + b_n \end{align}

kjer so \( a_{ij}, b_j : I \to \mathbb{R} \) zvezne funkcije.

Označimo

\[ \vec{y} = \begin{bmatrix} y_{1} \\ y_{2} \\ \vdots \\ y_{n} \end{bmatrix}, \quad \vec{b} = \begin{bmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{n} \end{bmatrix} \]

ter

\[ A = \begin{bmatrix} a_{11} & \ldots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \ldots & a_{nn} \end{bmatrix} \]

\( A \) je dana matrična funkcija, \( \vec{b} \) je dana vektorska funkcija, \( \vec{y} \) pa je iskana vektorska funkcija. Sistem enačbe \ref{ali:SDE} je ekvivalenten enačbi

\begin{equation} \label{eq:1} \vec{y}' = A \cdot \vec{y} + \vec{b} \end{equation}

Sistem \ref{eq:1} je homogen, če je \( \vec{b} = 0 \) (ničelna vektorska funkcija).

Naj bo \( \vec{y}_0 \) neka rešitev enačbe \ref{eq:1}. Potem velja

\[ \left\{ \text{resitve enacbe } \ref{eq:1} \right\} = \left\{ \text{resitve enacbe } \vec{y}' = A \cdot \vec{y} \right\} + \vec{y}_0 \]

Dokaz;

Če je \( \vec{y} \) rešitev enačbe \( \vec{y}' = A\cdot \vec{y} \), potem je

\begin{align*} (\vec{y} + \vec{y}_0) &= \vec{y}' + \vec{y}_0 ' \\ &= A \vec{y} + A \vec{y}_0 + \vec{b} \\ &= A(\vec{y} + \vec{y}_0) + \vec{b} \end{align*}

Iz tega sledi, da je \( \vec{y} + \vec{y}_0 \) je rešitev enačbe \( \vec{z}' = A \vec{z} + \vec{b} \).

Obratno, če je \( \vec{y} \) rešitev enačbe \( \vec{y}' = A \cdot \vec{y} + \vec{b} \) je

\begin{align*} (\vec{y} - \vec{y}_0) ' &= \vec{y}' - \vec{y}_0 ' \\ &= A \vec{y} + \vec{b} - A \vec{y}_0 - \vec{b} \\ &= A (\vec{y} - \vec{y}_0) \end{align*}

Tako je \( \vec{y} - \vec{y}_{0} \) rešitev homogene enačbe.

Enačbo \ref{eq:1} torej rešujemo v dveh korakih: najprej poiščemo splošno rešitev homogenega dela \( \vec{y}' = A \cdot \vec{y} \), potem pa poiščemo še neko partikularno rešitev enačbe \( \vec{y}' = A \vec{y} + \vec{b} \).

Naj bo \( J \subseteq \mathbb{R} \) omejen odprt interval in \( A: \bar{J} \to \mathbb{R}^{n \times n} \) matrična funkcija z zveznimi koeficienti. Vzemimo \( x_0 \in J \) in \( \xi_0 \in \mathbb{R}^n \). Potem obstaja natanko ena rešitev sistema \( \vec{y}' = A\cdot \vec{y} \), \( \vec{y}(x_0) = \vec{\xi}_0 \), ki je definirana povsod na \( J \).

Rešitve sistemov linearnih diferencialnih enačb so definirane povsod na J, whereas pri LDE pa samo nekje na J.

Izberemo linearno neodvisne rešitve sistema \( \vec{y}' = A \cdot \vec{y} \) z oznako \( \vec{y}_1, \vec{y}_2, \ldots, \vec{y}_n \). Iz njih tvorimo matriko

\[ \underline{Y} = \left[ \vec{y}_1, \vec{y}_2, \ldots, \vec{y}_n \right] \]

Matriki \( \underline{Y} \) pravimo fundamentalna matrika sistema \( \vec{y}'= A \cdot \vec{y} \). Velja splošna rešitev sistema \( \vec{y}' = A \cdot \vec{y} \) je \( \vec{y} = Y \cdot \vec{c} \), kjer je \( \vec{c} \) vektor konstante.

Če fundamentalno matriko \( Y \) odvajamo, dobimo

\[ \underline{Y} ' = A \underline{Y} \]

Naj bo \( \underline{Y} \) fundamentalna matrika sistem \( \vec{y}' = A \cdot \vec{y} \). Potem je vektorska funkcija

\[ \vec{y}_p = \underline{Y} \int\limits_{}^{} \underline{Y}^{-1} \vec{b}\,\mathrm{d x} \]

(partikularna) rešitev sistema \( \vec{y}' = A \cdot \vec{y} + \vec{b} \).

To pomeni, da je

\[ \vec{y}_p (x) = \underline{Y}(x) \int\limits_{x_0}^x \underline{Y}^{-1} (\xi) \vec{b}(\xi) \,\mathrm{d }\xi \]

je iskana partikularna rešitev.

Dokaz: Upoštevamo pravilo za produkt na matričnih funkcijah:

\begin{align*} \vec{y}_p ' &= \left( \underline{Y} \int\limits_{}^{} \underline{Y}^{-1} \vec{b}\,\mathrm{d x} \right)' \\ &= \underline{Y}' \int\limits_{}^{} \underline{Y}^{-1} \vec{b}\,\mathrm{d x} + \underline{Y} \left( \int\limits_{}^{} \underline{Y}^{-1} \vec{b}\,\mathrm{d x} \right)' && \left( \int\limits_{}^{} \underline{Y}^{-1} \vec{b}\,\mathrm{d x} \right)' = \underline{Y}^{-1} \vec{b} \\ &= A \underline{Y} \int\limits_{}^{} \underline{Y}^{-1} \vec{b}\,\mathrm{d x} + \underline{Y} \underline{Y}^{-1} \vec{b}{} && \underline{Y}' = A \cdot \underline{Y}\\ &= A \left( \underline{Y} \int\limits_{}^{} \underline{Y}^{-1} \vec{b}\,\mathrm{d x} \right) + \vec{b} = A \vec{y}_p + \vec{b} \end{align*}

Naj bodo \( \vec{y}_1, \ldots, \vec{y}_n : I \to \mathbb{R} \) vektorska funkcija, definirana na odprtem intervalu \( I \subseteq \mathbb{R} \). Potem determinanto \( W = \det \underline{Y} \), kjer je \( \underline{Y} = \left[ \vec{y}_1, \ldots \vec{y}_n \right] \) imenujemo determinanta Wrońskega.

Spomnimo se: sled matrike je vsota diagonalnih elementov

\[ \mathrm{sl} B = \mathrm{tr} B = \sum\limits_{i=1}^n b_{ii} \]

Naj bo \( \underline{Y} : I \to \mathbb{R}^{n \times n} \) matrična funkcija, ki reši enačbe \( \underline{Y}' = A \cdot \underline{Y} \). Potem za \( W = \det \underline{Y} \) velja

\[ W(x) = W(x_0) e^{\int\limits_{x_0}^x \mathrm{tr} A (\xi)\,\mathrm{d } \xi} \]

\( \forall x, x_0 \in I \).

Dokaz za n=2

To pomeni, da sta

\[ \underline{Y} = \begin{bmatrix} y_{11} & y_{12} \\ y_{21} & y_{22} \end{bmatrix} \quad A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{bmatrix} \]

To pomeni, da je \( \underline{Y}' = A \cdot \underline{Y} \) oz.

\[ \begin{bmatrix} y₁₁ ’ & y₁₂ ’
y₂₁’ & y₂₂’ \end{bmatrix} =

\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} y_{11} & y_{12} \\ y_{21} & y_{22} \end{bmatrix}

\]

Tako dobimo sistem enačb

\begin{align*} y_{11} ' &= a_{11} y_{11} + a_{12}y_{21} \\ y_{12} ' &= a_{11} y_{12} + a_{12}y_{22} \\ y_{21} ' &= a_{21} y_{11} + a_{22}y_{21} \\ y_{22} ' &= a_{21} y_{12} + a_{22}y_{22} \\ \end{align*}

Determinanta Wronskega je ravno sledi \( W = \det Y = y_{11 } y_{22} - y_{12} y_{21} \). To sedaj odvajamo in dobimo

\begin{align*} W' &= y_{11 }' y_{22} + y_{11 }y_{22} ' - y_{12} ' y_{21} - y_{12} y_{21}' \\ &= a_{11} y_{11 }y_{22} = a_{12} y_{21} y_{22} + a_{21}y_{11 }y_{12} + a_{22} y_{11 }y_{22} \\ &- a_{11} a_{12} y_{21} - a_{12} y_{22} y_{21} - a_{21}y_{11 }y_{12 }- a_{22} y_{21} y_{12} \\ &= (a_{11 } + a_{22}) y_{11 }y_{22} - (a_{11 } + a_{22}) y_{12} y_{21} \\ &= (a_{11 } + a_{22}) (y_{11 }y_{22} - y_{12}y_{21}) \\ &= \mathrm{tr} A \det Y = \mathrm{tr} A \cdot W \end{align*}

Dobili smo \( W' = \mathrm{tr} A \cdot W \)

To je homogena, linearna diferencialna enačba 1. reda. Rešitev je \( W(x) = W(x_0) \cdot e^{\int\limits_{x_0}^x \mathrm{tr} A (\xi)\,\mathrm{d }\xi} \), kar je Liouvilleova formula.

To je sistem oblike

\begin{align*} y_1' &= a_{11 } y_1 + a_{12} y_2 + \ldots + a_{1n} y_n + b_1 \\ y_2 ' &= a_{21} y_1 + a_{22} y_2 + \ldots + a_{2n} y_n + b_2 \\ & \vdots \\ y_n ' &= a_{n1} y_1 + a_{n2} y_2 + \ldots + a_{nn} y_n + b_n \end{align*}

kjer so \( y_1, \ldots, y_n \) neznane funkcije, \( b_1, \ldots, b_n : I \to \mathbb{R} \) dane funkcije in \( a_{ij} \in \mathbb{R} \) (konstante).

V vektorski obliki

\begin{equation} \label{eq:2} \vec{y}' = A \vec{y} + \vec{b} \end{equation}

kjer je \( \vec{y} \) neznana vektorska funkcija, \( \vec{b} \) dana vektorska funkcija in \( A \) matrika števil. Enačba je homogena, če je \( \vec{b} \) ničelna vektorska fukcija.

Spomnimo se: reṡitev homogene linearne diferencialne enačbe s konstantnimi koeficienti \( y' = a y \) je \( y(x) = C e^{ax } \). Radi bi, da bi bila rešitev enačbe \( \vec{y}' = A \vec{y} \) oblike \( \vec{y} = e^{xA} \cdot \vec{c} \) , kjer je \( \vec{c} \) vektor konstant.

Intermezzo:

Kaj je \( e^A \)?

Kako izračunamo \( f(B) \), če je \( f \) funkcija? Če je \( f \) polinom \( f(x) = \sum\limits_{k=0}^m a_k x^b \), potem je \( f(B) = \sum\limits_{k=0}^m a_k B^k \). Če je funkcija \( f \) realno analitična, jo lahko razvijemo v Taylorjevo vrsto \( f(x) = \sum\limits_{ = 0}^{\infty} a_k x^k \). Radi bi definirali \( f(B) = \sum\limits_{k=0}^{\infty} \).

To je smiselno samo za tiste funkcije in matriko, ko vrsta konvergira. Da lahko sploh govorimo o konvergenci matričnih vrst, moramo vpeljati metriko na matriko (nekakšno mero).

Če prav razumem, da s to metriko matrike primerjamo - da lahko vemo ali sta dve matriki blizu ali daleč.

Za \( B \in \mathbb{R}^{n \times n} \) definiramo supremum normo

\begin{equation} \label{eq:3} \lVert B \rVert = \sup_{\xi \in \mathbb{R}^n, \left| \epsilon \right| = 1} \left| B \epsilon \right| \end{equation}

To je norma na matrikah. To pomeni, da veljajo lastnosti za normo:

• \( \lVert B \rVert \ge 0 \) in \( \lVert B \rVert = 0 \iff B =0 \)
• \( \lVert \alpha B \rVert = \left| \alpha \right| \lVert B \rVert\) za vse \( \alpha \in \mathbb{R} \) in \( B \in \mathbb{R} ^{n \times n} \).
• trikotniška neenakosti \( \lVert A + B \rVert \le \lVert A \rVert + \lVert B \rVert\)

Za našo normo velja tudi:

• \( \left| B \epsilon \right| \le \lVert B \rVert \left| \epsilon \right|\) za vsak \( B \in \mathbb{R} ^{n\times n} \) in vsak \( \epsilon \in \mathbb{R}^n \)
• \( \lVert AB \rVert \ge \lVert A \rVert \lVert B \rVert \) za vse \( A, B \in \mathbb{R} ^{n \times n} \)

Norma \( \lVert \cdot \rVert \) definira metriko na matrikah

\[ d(A, B) = \lVert A - B \rVert \]

Za metriko \( d \) je \( \mathbb{R}^{n \times n} \) poln metričen prostor: vsako Cauchyjevo zaporedje je konvergentno.

Če je \( A: J \to \mathbb{R} ^{n \times n} \) matrična funkcija z zveznimi koeficienti, definiramo njeno normo kot \( \lVert A \rVert = \sup_{u \in J} \lVert A(u) \rVert \), kjer je slednje operatorska norma matrike \( A(u) \).

\( \forall x \in J \) in \( \xi \in \mathbb{R}^n \) je

\begin{align*} \left| A(x) \xi \right| & \le \lVert A \rVert \cdot \left| \xi \right| \\ \left| A(x) \xi \right| & \le \lVert A(x) \rVert \left| \xi \right| \le \lVert A \rVert \left| \xi \right| \end{align*}

Za \( B \in \mathbb{R}^{n\times n} \) definiramo

\begin{equation} \label{eq:4} e^B = \sum\limits_{j=0}^{\infty} \frac{B^j}{j!} \end{equation}

kjer je \( \sum\limits_{j=0}^{\infty} \frac{x^j}{j!} \) je Taylorjeva vrsta funkcije \( f(x) = e^x \).

Ali vrsta \( \sum\limits_{j=0}^{\infty} \frac{B^j}{j!} \) konvergira? Označimo \( s_n = \sum\limits_{j= 0}^n \frac{B^j}{j!} \). Ker je \( \mathbb{R} ^{n \times n} \) poln metričen prostor glede na matriko \( d \), je dovolj dokazati, da je zaporedje \( (s_n)_n \) Cauchyjevo.

Naj bo \( m > n \):

\begin{align*} \left\lVert s_m - s_n \right\rVert &= \lVert \sum\limits_{j=0}^m \frac{B_j}{j!} - \sum\limits_{j=0}^n \frac{B^j}{j!} \rVert \\ &= \left\lVert \sum\limits_{j = n+1}^m \frac{B^j}{j!} \right\rVert \le \sum\limits_{j = n+1}^m \frac{\lVert B^j \rVert}{j!} \\ & \le \sum\limits_{j = n+1}^m \frac{\left\lVert B \right\rVert^j}{j!} \end{align*}

kar je številska vrsta.

Vemo, da Taylorjeva vrsta eksponentne funkcije, konvergira povsod na \( \mathbb{R} \), torej tudi za \( x = \lVert B \rVert \). Zato gre \( \sum\limits_{j= n+ 1}^m \frac{\lVert B \rVert ^j}{j!} \) proti 0, ko gresta \( m \) in \( n \) proti neskončno.

Dobili smo, da \( \lVert s_m - s_n \rVert \overset{m,n \to \infty}{\longrightarrow} 0 \) in tako je \( (s_n)_n \) je Cauchyjevo in posledično konvergira.

Če je \( AB = BA \), potem je

\[ e^{A + B } = e^A \cdot e^B \]

Brez dokaza, ampak vstaviš noter neskončne vsote in jih zmnožiš. Če matriki ne komutirata, to ni nujno res.

Spomnimo se \( f \) je v \( x \) odvedljiva z odvodom \( f'(x) \), če je

\[ \lim_{h \to 0} \left( \frac{f(x + h) - f(x) }{h} - f'(x) \right) = 0 \]

Naj bo \( A \in \mathbb{R}^{n \times n} \) poljubna matrika. Potem je funkcija \( Y: \mathbb{R} \to (\mathbb{R}^{n \times n}, \lVert \cdot \rVert), \ x \mapsto e^{xA} \) odvedljiva, v smislu, da za vsak \( x \in \mathbb{R} \) obstaja matrika \( Y'(x) \in \mathbb{R}^{n \times n} \), da je

\[ \lim_{h \to 0} \lVert Y'(x) - \frac{Y(x + h) - Y(x)}{h} \rVert = 0 \]

Poleg tega velja \( Y'(x) = A Y (x), \forall x \)

Dokaz

\begin{align*} \left\lVert A Y(x) - \frac{Y(x + h) - Y(x)}{h} \right\rVert &= \left\lVert A e^{xA} - \frac{e^{(x + h) A} - e^{xA}}{h} \right\rVert \\ &\overset{*}{=} \left\lVert A e^{xA} - \frac{e^{xA} \cdot e^{hA} - e^{xA}}{h} \right\rVert \\ &= \left\lVert e^{xA} \left( A - \frac{e^{hA} - I}{h} \right) \right\rVert \\ & \le \left\lVert e^{xA} \right\rVert \cdot \left\lVert \frac{1}{h} e^{hA} - \frac{1}{h} I - A \right\rVert \\ &= \left\lVert e^{xA} \right\rVert \cdot \left\lVert \frac{1}{h} \sum\limits_{j=0}^{\infty} \frac{(hA)^j}{j!} - \frac{1}{h}I - A \right\rVert \\ &= \left\lVert e^{xA} \right\rVert \cdot \left\lVert \frac{1}{h} I + A + \sum\limits_{j=2}^{\infty} \frac{(hA)^j}{j! h} - \frac{1}{h} I - A \right\rVert \\ &= \left\lVert e^{xA} \right\rVert \cdot \left\lVert \sum\limits_{j=2}^{\infty} \frac{h^{j - 1}A^j}{j!} \right\rVert \\ & \le \left\lVert e^{xA} \right\rVert \cdot \sum\limits_{j = 2}^{\infty} \left| h \right|^{j -1} \frac{ \left\lVert A^j \right\rVert}{j!} \\ & \le \left\lVert e^{xA} \right\rVert \cdot \sum\limits_{j = 2}^{\infty} \left| h \right|^{j-1} \frac{ \left\lVert A \right\rVert ^j}{j!} \\ &= \left\lVert e^{xA} \right\rVert \cdot \left| h \right| \cdot \left\lVert A \right\rVert ^2 \cdot \sum\limits_{j=2}^{\infty} \frac{\left| h \right|^{j - 2} \left\lVert A \right \rVert ^{j -2}}{j!} \end{align*}

\* pomeni, da \( xA, hA \) komutirata.

Zanima nas ta izraz, ko gre \( h\to 0 \), zato lahko predpostavimo \( \left| h \right| < 1 \).

\begin{align*} \left \lVert e^{xA} \right \rVert \cdot \left| h \right| \left \lVert A \right \rVert ^2 \sum\limits_{j=2}^{\infty} \frac{\left| h \right| ^{j - 2} \left \lVert A \right \rVert ^{j -2}}{j!} & \le \left \lVert e^{xA} \right \rVert \left| h \right| \left \lVert A \right \rVert ^2 \cdot \sum\limits_{j = 2}^{\infty} \frac{\left \lVert A \right \rVert ^{j - 2}}{j!} \\ &= \left \lVert e^{xA} \right \rVert \left| h \right| \left \lVert A \right \rVert ^2 \sum\limits_{k = 0}^{\infty} \frac{\left \lVert A \right \rVert^k}{ (k + 2)! } & \le \left \lVert e^{xA} \right \rVert \left| h \right| \left \lVert A \right \rVert ^2 \sum\limits_{k = 0}^{\infty} \frac{\left \lVert A \right \rVert ^k}{k!} && \text{ vsota je stevilska vrsta } \\ &= \left \lVert e^{xA} \right \rVert \left \lVert A \right \rVert ^2 e^{\left \lVert A \right \rVert} \left| h \right| \overset{h \to 0}{\longrightarrow} 0 \end{align*}

saj je zadnji člen neodvisen od \( h \), kar pomeni, da

\[ \lim_{h \to 0} \lVert A Y(x) - \frac{Y(x + h) - Y(x) }{h} \rVert = 0 \]

za vse \( x \in \mathbb{R} \).

\( Y(x) = e^{xA} \) je rešitev Caucyjevega problema \( Y' = A Y, \ Y (0) = I \).

Tak \( Y(x) \) se imenuje fundamentalna rešitev Cauchyjevega problema.

Splošna reṡitev sistema \( \vec{y}' = A \vec{y} \), kjer je \( \vec{y} : J \to \mathbb{R} ^n \) neka funkcija, je podana s predpisom

\[ \vec{y} (x) = e^{xA} \vec{c} \]

kjer je \( \vec{c} \) vektor konstant.

Dokaz: Povedali smo, da je rešitev sistema \( \vec{y}' = A \vec{y} \) \( n \)-razsežen vektorski prostor.

Če je

\[ \vec{c} = \begin{bmatrix} c_1 \\ \vdots \\ c_3 \end{bmatrix} \]

potem je

\begin{align*} e^{xA} \vec{c} &= c_1 e^{xA} \cdot e_1 + c_2 e^{xA} \cdot e_2 + \ldots + c_n e^{xA} \cdot e_n \end{align*}

kjer so

\[ e_i = \begin{bmatrix} 0 \\ \vdots \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix} \]

\( e^{xA} \cdot e_i \) je \( i \)-ti stolpec matrike \( e^{xA} \). Pokazati je treba le še, da so stolpci matrike \( e^{xA} \) linearno neodvisni.

Zakaj so stolpci \( e^{xA} \) linearno neodvisni? To velja natanko takrat, ko je \( e^{xA} \) obrnljiva \( \iff \ \det e^{xA} \ne 0 \).

Zakaj je \( \det e^{xA} \ne 0 \)?

\( Y(x) = e^{xA} \) je rešitev diferencialne enačbe \( Y' = A \cdot Y \). Vemo, da za determinanto Wrońskega \( W(x) = \det (\underline{Y}(x)) = \det (e^{xA}) \) velja

\[ W(x) = W(0) e^{\int\limits_0^x \mathrm{tr} A\,\mathrm{d }\xi} \]

kjer je \( A \) konstantna matrika. Vemo, da je

\[ W(0) = e^{0A} = \det I = 1 \]

To pomeni, da je integral v eksponentu

\[ \int\limits_0^x \mathrm{tr} A\,\mathrm{d }\xi = \mathrm{tr}A \left. \xi \right|_0 ^x = x \mathrm{tr}A \]

To pomeni, da je

\[ \det e^{xA} = e^{x \mathrm{ tr} A} > 0 \]

ker je \( x \mathrm{tr} A \) samo število.

Iz tega sledi, da je \( \det e^{xA} \ne 0 \)in nadalje, da so stolpci \( e^{xA} \) so linearno neodvisni.

Hkrati smo dokazali še

\[ \det (e^{xA}) = e^{x \mathrm{ tr}A} \]

Kako izračunamo \( e^{xA} \)? Recimo najprej, da je \( A \) diagonalizabilna. To pomen, da obstaja diagonalna matrika \( D \) in obrnljiva matrika \( P \), da je

\[ A = P D P ^{-1} \]

\( D \) ima na diagonali lastne vrednosti, stolpci \( P \) pa so lastni vektorji.

Če imamo diagonalizabilo matriko na neko potenco \( k \), se vmesne instance \( P \) in \( P^{-1} \) med sabo pokrajšajo

\[ A^k = (P D P ^{-1})^k = P D P^{-1} P D P^{-1} \ldots PDP^{-1} = P D^k P^{-1} \]

\begin{align*} e^{xA} &= \sum\limits_{k = 0}^{\infty} \frac{(xA)^k}{k!} \\ &= \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{P x^k D^k P_1}{k!} \\ &= P \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{(xD)^k}{k!} P^{-1} \\ &= P e^{xD} P^{-1} \end{align*}

Če je

\[ D = \begin{bmatrix} d_1 & & \\ & \ddots & \\ & & d_n \end{bmatrix} \]

je potem

\[ e^{xD} = \begin{bmatrix} \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{(d_1 x)^k}{k!} & & \\ & \ddots & \\ & & \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{(d_n x)^k}{k!} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} e^{d_1 x} & & \\ & \ddots & \\ & & e^{x d_n} \end{bmatrix} \]

in nadalje

\[ e^{xA} = P \begin{bmatrix} e^{d_1 x} & & \\ & \ddots & \\ & & e^{d_n x} \end{bmatrix} P^{-1} \]

Kaj pa, če se \( A \) ne da diagonalizirati? Potem \( A \) zapišemov Jordanski obliki:

\[ A = P J P^{-1} \]

kjer je \( J \) Jordanova matrika matrike \( A \)

\[ J = \begin{bmatrix} J_1 & & \\ & J_2 & \\ & & J_3 \end{bmatrix} \]

kjer so \( J_i \) Jordanove kletke.

Jordanove kletke so oblike

\[ \begin{bmatrix} \lambda_j& 1 & & & \\ & \lambda_j& 1 & & \\ & & \ddots & \ddots && \\ & & & & \lambda_j & 1 \\ & & & & &\lambda_j \end{bmatrix} \]

kjer je \( \lambda_j \) lastna vrednost matrike \( A \). Vsaka Jordanska kletka ima samo eno lastno vrednost. Dve Jordanski kletki imata enako ali različno lastno vrednost. Vsaka Jordanska kletka pripada enemu lastnemu vektorju matrike \( A \). Število Jordnaskih kletk, ki pripadajo lastni vrednosti \( \lambda_j \) je enako številu linearno neodvisnih lastnih vektorjev za lastno vrednost \( \lambda_j \). To je enako

\[ \mathrm{dim} \left( \mathrm{ker} (A - \lambda_j I) \right) \]

kjer je \( \mathrm{ker} (A - \lambda_j I) \) je lastni podprosto za lastno vrednost \( \lambda_j \).

Temu število rečemo geometrična večkratnost lastne vrednosti \( \lambda_j \). Algebraična večkratnost lastne vrednosti \( \lambda_j \) je stopnja ničle \( \lambda_j \) v karakterističnem polinomu.

To je enako vso velikosti vseh Jordanskih kletk, ki pripadajo lastni vrednosti \( \lambda_j \).

\begin{align*} e^{xA} &= \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{(xA)^k}{k!} \\ &= \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{(xPJP^{-1})^k}{k!} \\ &= \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{P (xJ)^k P^{-1}}{k!} \\ &= P \left( \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{(xJ)^k}{k!} \right) P^{-1} \\ &= P e^{xJ} P^{-1} \end{align*}

Kaj pa je \( e^J \)?

Če je

\[ J = \begin{bmatrix} J_1 & & \\ & \ddots & \\ & & J_k \end{bmatrix} \]

kjer so \( J_i \) Jordanske kletke, je

\[ e^J = \begin{bmatrix} e^{J_1} & & \\ & \ddots & \\ & & e^{J_k} \end{bmatrix} \]

Kaj je \( e^J \), če je \( J \) Jordanova kletka:

\[ J = \begin{bmatrix} \lambda & 1 & & \\ & \ddots & \ddots & \\ & & \lambda & 1 \\ & & & \lambda \end{bmatrix} \]

Pišemo \( J = \lambda I + N \), kjer je

\[ N = \begin{bmatrix} 0 & 1 & & \\ & \ddots & \ddots & \\ & & & 0 & 1 \\ & & & & 0 \end{bmatrix} \]

\[ N ^2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 & \\ & \ddots & \ddots & \ddots \\ & & & 0 & 0 \\ & & & & 0 \end{bmatrix} \]

\[ N^{n -1} =\begin{bmatrix} 0 & \ldots & 1\\ & \ddots & \vdots \\ & & 0 \end{bmatrix} \]

in \( N^n = 0 \). \( N \) je nilpotentna matrika.

To pomeni, da je

\begin{align*} e^{xJ} &= e^{x (\lambda I + N)} = e^{x\lambda I} \cdot e^{xN} \\ &= e^{x\lambda } \cdot \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{(xN)^k}{k!} \\ &= e^{\lambda x I} \sum\limits_{k= 0}^{n -1} \frac{(xN)^k}{k!} \\ &= e^{\lambda x} \cdot \begin{bmatrix} 1 & x & \frac{x ^2}{2} & \frac{x ^3}{3} & \ldots &\frac{x^{n- 1}}{(n - 1)!} \\ & 1 & x & \frac{x ^2}{2} & & \\ & & 1 & x & & \\ & & & \ddots & \ddots & \\ & & & & & 1 \end{bmatrix} \end{align*}

1. Naj bo \( A \in \mathbb{C}^{n \times n} \):Če je \( \lambda \) lastna vrednost matrike \( A \) z lastnim vektorjem \( \vec{v} \in \mathbb{C}^n \), potem je \( \vec{y} (x) = e^{\lambda x} \vec{v} \) ena od rešitev diferencialne enačbe \( \vec{y} ' = A \vec{y} \).
2. Naj bo \( A \in \mathbb{R}^{n \times n } \) potem velja
   1. Če je \( \lambda \in \mathbb{C} \) lastna vrednost z lastnim vektorjem \( \vec{v} \in \mathbb{C}^n \), potem je \( \bar{\lambda} \) tudi lastna vrednost z lastnim vektorjem \( \vec{\bar{v} \).
   2. Če funkcija \( \vec{y} \) reši enačbo \( \vec{y}' = A \vec{y} \), jo rešita tudi realni in imaginarni del funkcije \( \vec{y} \).

Dokaz

1. smo že
2. bla
   1. \( A \vec{v} = \lambda \vec{v} \implies \bar{A} \vec{\bar{v}} = \bar{\lambda} \vec{\bar{v}} \)

   2. \( \vec{y} = \vec{a} + i \vec{b} \). Potem je

      \begin{align*} \vec{a} ' + i \vec{b}' &= A ( \vec{a} + i \vec{b} ) \\ &= A \vec{a} + A i \vec{b} \\ &\implies a' = A \vec{a}, \ \vec{b}' = A \vec{b} \end{align*}

Preslikava

\[ N:y \mapsto \begin{bmatrix} y \\ y' \\ y'' \\ \vdots \\ y^{(n)}\end{bmatrix} \]

\[ \left\{ \text{resitve enacbe} \right\} \to \left\{ \text{resitve sistema } \vec{z}' = A \vec{z} + \vec{g} \right\} \]

kjer je \( \vec{g} = (0 \ldots 0 \frac{b}{a_n}) \). Funkcija je bijektivna. Inverz

\[ \begin{bmatrix} z_1 \\ \vdots \\ z_n \end{bmatrix} \mapsto z_{1} \]