Mat3teden14

Označimo

\[ C^1 (J \to \mathbb{R} ^2) = C^1(J) \times C^1(J) = \left\{ \left( y_1, y_2 \right); \ y_1, y_2 \in C^1 (J) \right\} \]

Prostor s skalarnim produktom je vektorski prostor \( V \) nad \( \mathbb{R} \) ali \( \mathbb{C} \) na katerem obstaja preslikava

\[ \left\langle \cdot, \cdot \right\rangle : V \times V \to \mathbb{C} \]

tako, da velja

1. \( \left\langle x + y, z \right\rangle = \left\langle x, z \right\rangle + \left\langle y, z \right\rangle\)
2. \( \left\langle \lambda x, z \right\rangle = \lambda \left\langle x, z \right\rangle\), če je množenje s skalarjem v prvem faktorju
3. \( \left\langle z, x \right\rangle = \overline{\left\langle x, z \right\rangle} \) - s tem smo rešili problem množenja s skalarjem v drugem faktorju, torej \( \left\langle x, z \right\rangle = \left\langle z, x \right\rangle\) če je prostor realen.
4. \( \left\langle x, x \right\rangle \le 0 \) in \( \left\langle x, x \right\rangle \iff x = 0 \) Vprašati se moramo, če imamo \( 0 \) v naši množici, na kar je odgovor, ja, ker smo v vektorskem prostoru.

Operacija \( \left\langle \cdot, \cdot \right\rangle \) se imenuje skalarni produkt.

Naj bo \( V \) prostor s skalarnim produktom. Norma, ki izhaja iz skalarnega produkta, je definirana s predpisom

\[ \left\lVert x \right\rVert = \sqrt{\left\langle x, x \right\rangle} \]

Naj bo \( V \) vektorski prostor. Preslikava \( \left\lVert \cdot \right\rVert: V \to [0, \infty) \) se imenuje norma, če velja

1. \( \left\lVert x \right\rVert \le 0 \ \forall x \in V \)
2. \( \left\lVert x \right\rVert = 0 \iff x = 0 \)
3. \( \left\lVert \lambda x \right\rVert = \left| \lambda \right| \left\lVert x \right\rVert, \ \forall x \in V, \ \lambda \in \mathbb{C} \text{ oz } \mathbb{R}\)
4. \( \left\lVert x + y \right\rVert \le \left\lVert x \right\rVert + \left\lVert y \right\rVert\)

Če je \( V \) prostor s skalarnim produktom, tedaj predpis

\begin{equation} \label{eq:5} \left\lVert x \right\rVert = \sqrt{\left\langle x, x \right\rangle} \end{equation}

res definiram normo na \( V \).

__

Vemo, če je \( M \) množica, je preslikava \( d:M \times M \ to [0, \infty) \) metrika na \( M \), če velja

• \( d(x, y) \le 0 \ \forall x, y \in M \) in \( d(x, y) = 0 \iff x = y \)
• \( d(x, y) = d(y, x) \)
• \( d(x, y) \le d(x, z) + d(z, y) \) kar je trikotniška neenakost

Vemo, če je \( \left\lVert \cdot \right\rVert \) norma na vektorskem prostoru \( V \), tedaj

\[ d(x, y) = \left\lVert x - y \right\rVert \]

določa metriko na \( V \).

Torej velja

\[ \left\{ \text{prostor s skalarnim produktom} \right\} \subsetneqq \left\{ \text{normirani prostori} \right\} \subsetneqq \left\{ \text{metrični prostori} \right\} \]

Za vsak \( x, y \) iz prostora s skalarnim produktom \( V \), velja

\[ \left| \left\langle x, y \right\rangle \right| \le \left\lVert x \right\rVert \left\lVert y \right\rVert \]

Opomba: Ne mešaj in ne dokazuj trikotniške neenakosti na izpitu!

Dokaz:

Obravnavamo primer, ko je prostor skalarjev \( \mathbb{K} \), enak \( \mathbb{R} \). Za poljuben \( \lambda \in \mathbb{R} \) velja

\begin{align*} 0 &\overset{1)}{\le} \left\langle x + \lambda y, x + \lambda y \right\rangle \\ &\overset{2)}{=} \left\langle x, x + \lambda y \right\rangle + \left\langle \lambda y, x+ \lambda y \right\rangle \overset{3)}{=} \left\langle x, x + \lambda y \right\rangle \lambda \left\langle y, x + \lambda y \right\rangle \\ &\overset{4)}{=} \left\langle x + \lambda y, x \right\rangle + \lambda \left\langle x + \lambda y, y \right\rangle \\ &= \left\langle x, x \right\rangle + \lambda \left\langle y, x \right\rangle + \lambda \left\langle x, y \right\rangle + \lambda \cdot \lambda \left\langle y, y \right\rangle \\ &= \left\lVert x \right\rVert ^2 + 2 \lambda \left\langle x, y \right\rangle + \lambda ^2 \left\lVert y \right\rVert ^2 = f(\lambda) && \forall x, y \in V, \ \forall \lambda \in \mathbb{R} \end{align*}

Imamo kvadratno funkcijo, ki je za vsako \( \lambda \) iz \( \mathbb{R} \) nenegativna z grafom nad absciso.

To pomeni, da mora diskriminanta biti enaka

\begin{align*} D &= b ^2 - 4ac \le 0 \\ (2 \left\langle x, y \right\rangle) ^2 - 4 \left\lVert x \right\rVert ^2 \left\lVert x \right\rVert &\le 0 \\ 4 \left\langle x, y \right\rangle ^2 &\le 4 \left\lVert x \right\rVert ^2 \left\lVert y \right\rVert ^2 && \left/\sqrt{} \right. \\ \left| \left\langle x, y \right\rangle \right| &\le \left\lVert x \right\rVert \left\lVert y \right\rVert && \square \end{align*}

__

Velja

\begin{align*} \left\lVert x + y \right\rVert ^2 &= \left\langle x + y, x+ y \right\rangle \\ &= \left\langle x, x \right\rangle + \left\langle x, y \right\rangle + \left\langle y, x \right\rangle + \left\langle y, y \right\rangle \\ &= \left\lVert x \right\rVert ^2 + \left\langle x, y \right\rangle + \bar{\left\langle x, y\right\rangle} + \left\lVert y \right\rVert ^2 \\ &= \left\lVert x \right\rVert ^2 + 2 \Re \left\langle x, y \right\rangle + \left\lVert y \right\rVert ^2 \\ \end{align*} \begin{align*} \left\lVert x + y \right\rVert ^2 & \overset{\mathbb{K} = \mathbb{R}}{=} \left\lVert x \right\rVert ^2 + 2 \left\langle x, y \right\rangle + \left\lVert y \right\rVert ^2\\ \left\lVert x - y \right\rVert ^2 &= \left\lVert x \right\rVert ^2 - 2 \left\langle x, y \right\rangle + \left\lVert y \right\rVert ^2 \end{align*}

To dvoje sedaj odštejemo in delimo s 4 in dobimo

\begin{equation} \label{eq:4} \left\langle x, y \right\rangle = \frac{\left\lVert x + y \right\rVert ^2 - \left\lVert x - y \right\rVert ^2}{4} \end{equation}

Za \( \mathbb{K} = \mathbb{C} \) izračunamo še \( ix + y \).

Formula \ref{eq:4} pove, kako skalarni produkt rekonstruiramo s pomočjo norme.

Opomba: Ni vsaka norma na nekem vektorskem prostoru porojena s skalarnim produktom. Izkaže se, da je norma porojena s skalarnim produktom \( \iff \) velja paralelogramska identiteta

\[ \left\lVert x + y \right\rVert ^2 + \left\lVert x - y \right\rVert ^2 = 2 \left\lVert x \right\rVert ^2 + 2 \left\lVert y \right\rVert ^2 \]

Prostor \( V \) s skalarnim produktom je Hilbertov, če je v porojeni normi poln.

Cauchyjevo zaporedje (razlika dveh poljubno velikih členov zaporedja je poljubno majhna): za vsak \( \epsilon > 0 \) obstaja \( n_0 \in \mathbb{N} \) (npr. 500 mio člen) tako, da

\[ m, n \le n_0 \implies \left\lVert x_m - x_n \right\rVert < \epsilon \]

kjer je \( \left\lVert \cdot \right\rVert \) podan z \ref{eq:5}

Polnost pomeni, če je zaporedje \( \left( x_n \right)_n \subset V \) Cauchyjevo, tedaj je konvergentno (v \( V \)) torej obstaja \( x \in V \) tako, da \( x = \lim_{n \to \infty} \) v \( V \), to pomeni, da je

\[ \lim_{n \to \infty} \left\lVert x - x_n \right\rVert = 0 \]

kjer je \( \left\lVert x - x_n \right\rVert \) realno zaporedje.

1. \( \mathbb{R} ^n = \left\{ (x_1, \ldots, x_n); \ x_j \in \mathbb{R} \right\} \) Definiramo

   \[ \left\langle x, y \right\rangle = \sum\limits_{j = 1}^n x_j y_j \]

   S tem \( \mathbb{R} ^n \) postane realen Hilbertov prostor.

2. \( \mathbb{C} ^n = \left\{ z = \left( z_1, \ldots, z_n \right); z_j \in \mathbb{C} \right\} \)

   Definiramo

   \[ \left\langle z, w \right\rangle = \sum\limits_{j = 1}^n z_j \bar{w}_j \]

   S tem \( \mathbb{C} ^n \) postane kompleksen Hilbertov prostor. Opazimo

   \[ \Re \left\langle z, w \right\rangle _{\mathbb{C} ^n} = \left\langle \tilde{z}, \tilde{w} \right\rangle_{\mathbb{R}^{2n}} \]

   \( z = a + bi \ \in \mathbb{C}, \ \ w = c + di \ \in \mathbb{C} \)

   \begin{align*} \left\langle z, w \right\rangle_{\mathbb{C}} &= z \bar{w} \\ &= \left( a + bi \right) \left( c - di \right) = (ac + bd) + i (bc - ad) \end{align*}

   Iz tega sledi, da je

   \[ \Re \left\langle z, w \right\rangle = ac + bd = \left\langle \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix} \right\rangle_{\mathbb{R} ^2} \]

   \( \mathbb{C} \ni \tilde{x + yi} = (x, y) \in \mathbb{R} ^2 \)

3. \( J: [a, b] \subset \mathbb{R} \) za \( V = C(J) = \left\{ f: J \to \mathbb{C}, \ f \text{ zvezvne} \right\} \)

   Definiramo skalarni produkt na \( V \).

   \begin{align*} \left\langle f, g \right\rangle &= \int\limits_J^{} f \bar{g}\,\mathrm{d x} \\ &= \int\limits_a^b f(x) \bar{g}(x)\,\mathrm{d x} \end{align*} \begin{align*} \left\lVert f \right\rVert ^2 _2 &= \left\langle f, f \right\rangle \\ &= \int\limits_J^{} f \bar{f} \,\mathrm{d x} \\ &= \int\limits_J^{} \left| f \right| ^2\,\mathrm{d x } \end{align*}

   S tem \( V \) postane prostor s skalarnim produktom (preveri za domačo nalogo). Ta prostor ni Hilbertov.

   Iščemo \( \left( f_n \right)_n \subset V \) tako, da velja

   1. je Cauchyjevo v \( V \)

      \begin{align*} \left\lVert f_n - f_m \right\rVert ^2 &= \left\langle f_n - f_m, f_n - f_m \right\rangle \\ &= \int\limits_J^{} \left| f_n - f_m \right| ^2 \,\mathrm{d x} \underset{m, n \to \infty}{\longrightarrow} 0 \end{align*}

      I guess, da za primer \( x^n \to 0 \) v \( \left\lVert \cdot \right\rVert_2 \)na \( [0, 1] \). Preveriti moramo

      \[ \int\limits_0^1 \left| x^n - x^m \right| ^2 \,\mathrm{d x} \underset{m, n \to \infty}{\longrightarrow} 0 \]

   2. nima limite v \( V \)

   Če želimo iz \( V = \left\{ C(J), \left\lVert \cdot \right\rVert ^2 \right\} \), narediti Hilbertov (= poln) prostor, ga moramo razširiti, vendar to presega Mat3.

4. \( l ^2 = \left\{ a = \left( x_n \right)_{n \in \mathbb{N}}; \ a_n \in \mathbb{C} \text{ in } \left\lVert a \right\rVert_{l ^2} = \sqrt{\sum\limits_{n = 1}^{\infty} \left| a_n \right| ^2} < \infty \right\} \)

   Imamo za \( a, b \in l ^2 \)

\[ \left\langle a, b \right\rangle_{l ^2 } = \sum\limits_{j = 1}^{\infty} a_j \bar{b}_j \]

Množica je separabilna, ko je gosta (ang. dense set ) in ko je števna. Pomembna podmnožica “ končna zaporedja”: \( \left( a_1, a_2, \ldots, a_n, 0, 0, \ldots \right) \)

Če je \( a = (a_1, a_2, \ldots, ) \in l ^2 \), tedaj za \( a^{(N)} = \left( a_1, a_2, \ldots, a_n, 0, 0 \right) \in l ^2 \) velja \( a^{(N)} \to a \) v \( l ^2 \)

\( x, y \in U \) sta pravokotna (\( x \perp y \)), če \( \left\langle x, y \right\rangle = 0 \).

Če sta \( x, y \) pravokotna, je

\[ \left\lVert x + y \right\rVert ^2 = \left\lVert x \right\rVert ^2 + \left\lVert y \right\rVert ^2 \]

Dokaz

\[ \left\lVert x + y \right\rVert ^2 = \left\lVert x \right\rVert ^2 + \left\lVert y \right\rVert ^2 + 2 \Re \left\langle x, y \right\rangle \]

Zadnji člen je enak 0

Naj bo \( A \subset X \) poljubna podmnožica, kjer je \( X \) prostor s skalarnim produktom. Množica

\[ A^{\perp} = \left\{ y \in X; y \perp a \forall a \in A \right\} \]

se imenuje ortogonalni komplement.

Za vsak \( A \subset X \) je \( A^{\perp} \) zaprt vektorski prostor.

Dokaz: Linearnost velja (množenje s skalarjem).

Zaprtost (poglej definicijo odprte množice): če je \( y_n \in A ^{\perp}; \ y_n \rightarrow x \in X \) (\( y_n \) konvergira k \( x \)) iz česar sledi \( x \in A^{\perp} \).

Vzamemo poljuben \( a \in A \). Želimo \( x \perp a \). Vemo, da je \( y_n \perp a \) za vsak \( n \in \mathbb{N} \).

Iz definicije pravokotnosti vemo, da je skalarni produkt enak 0.

\( \left\langle x, a \right\rangle = \lim_{n \to \infty} \left\langle y_n, a \right\rangle \) ali je to valid?

Vemo

\begin{equation} \label{eq:7} y_n \to x \end{equation}

In hočemo:

\begin{equation} \label{eq:6} \left\langle y_n, a \right\rangle \rightarrow \left\langle x, a \right\rangle \end{equation}

\ref{eq:6}:

\[ \lim_{n \to \infty} \left[ \left\langle y_n, a \right\rangle - \left\langle x, a \right\rangle\right] = 0 \]

\ref{eq:7}

\[ \left\lVert y_n - x \right\rVert \underset{n \to \infty}{=} 0 \]

Velja

\[ \left| \left\langle y_n, a \right\rangle - \left\langle x, a \right\rangle \right| = \left| \left\langle y_n, a \right\rangle \right| \underset{\text{CSB}}{\longrightarrow}\left\lVert y_n - x \right\rVert \left\lVert a \right\rVert \underset{\ref{eq:7}}{\longrightarrow} 0 \quad \square \]

Naj bo \( Y \le X \) (podprostor). Vzamemo \( x \in X \). Pravimo, da je \( Y \) ortogonalna (pravoktona) projekcija vektorja \( x \) na podprostor \( Y \), če je \( x - y \perp Y \) oz. \( x - y \in Y^{\perp} \).

Oznake: \( y = P_Y x \), preslikava \( P_Y: X \to Y, \ x \mapsto y = P_Y x \) se imenuje ortogonalni projektor prostora \( X \) na podprostor \( Y \). Dokazati moramo obstoj in enoličnost.

Naj bo \( X \) prostor s skalarnim produktom in \( Y \subseteq X \) linearni podprostor. Denimo, da za vsak \( x \in X \) obstaja neki \( P_Y x \) kot iz prejšnje definicije. Tedaj

1. \( P_Y x \) je enolično določen

2. \( P_Y x \) je najboljši približek za \( x \) v \( Y \), v smilsu

   \[ \left\lVert x - P_Y x \right\rVert = \inf_{z \in Y} \left\lVert x - z \right\rVert = d(x, Y) \]

3. \( P_Y \) je linearna
4. Preslikava \( P_Y \) je zvezna, celo skrčitev: \( \left\lVert P_Y x \right\rVert \le \left\lVert x \right\rVert, \ \forall x \in X \)
5. \( Y \) je zaprt v \( X \).

Dokaz:

1. Denimo, da obstajata \( y_1, y_2 \in Y \) tako, da velja \( x - y_1 \perp Y \) in \( x - y_2 \perp Y \). Odštejemo in sledi \( Y \ni y_1 - y_2 \perp Y \). Tako sledi, da je \( y_1 - y_2 \perp y_1 - y_2 \) in to je možno samo, če je \( y_1 - y_2 = 0 \).

2. Vzemimo poljuben \( z \in Y \). Tedaj je \[ x- z = \underbrace{\left( x - P_Y x \right)}_{\in Y^{\perp}} + \underbrace{\left( P_Y x - z \right)}_{\in Y} \]

   Z uporabo Pitagorovega izreka

   \begin{align*} \left\lVert x - z \right\rVert ^2 &= \left\lVert x - P_Y x \right\rVert ^2 + \left\lVert P_Y x - z \right\rVert ^2 & \\ \ge \left\lVert x - P_Y x \right\rVert ^2 \end{align*}

   Za enakost vzamemo \( z = P_Y x \)

3. Vzamemo \( x_1, x_2 \in X \) . Vemo \( x_1 - P x_1, x_2 - Px_2 \in Y^{\perp} \). Iz tega sledi

   \[ \left( x_1 + x_2 \right) - \underbrace{\left( Px_1 - Px_2 \right)}_{\in Y} \in Y^{perp}\]

   Po enoličnosti a) sledi \( Px_1 + Px_2 = P(x_1 + x_2) \)

4. \( x = (x - Px) + Px \) iz česar sledi

   \[ \left\lVert x \right\rVert ^2 = \underbrace{\left\lVert x - Px \right\rVert ^2}_{\le 0} \left\lVert Px \right\rVert ^2 \le \left\lVert Px \right\rVert ^2 \]

5. Naj bo \( (y_n)_n \subset Y \) tako, da \( y_n \to x \) za neki \( x \in X \). Dokazujemo \( x \in Y \). Ker je \( P \) zvezen, sledi \( Py_n \to P_x \)

   \[ 0 \le \left\lVert Py_n - Px \right\rVert \overset{P \text{ lin. }}{=} \left\lVert P(y_n - x) \right\rVert \overset{d)}{\le} \left\lVert y_n - x \right\rVert \overset{n \to \infty}{\longrightarrow} 0 \]

   kar je \( 0 \) po privzetku. Hkrati pa velja \( Py_n = y_n \), saj \( y_n \in Y \). Sledi, da je \( Px \leftarrow Py_n = y_n \rightarrow x \) iz česar sledi, da je \( Px = x \) in to pomeni, da je \( x \in Y \).

   QED

Podprostora \( Y \subseteq X \), ki nima ortogonalne projekcije \( Y^{\perp} \). Po e) \( Y \) ne sme biti zaprt, kar pomeni, da ne sme biti končno dimenzionalen.

Vzamemo \( X = l ^2 = \left\{ (a_1, a_2, \ldots), \left\lVert x \right\rVert ^2 = \sum\limits_1^{\infty} \left| a_n \right| ^2 < \infty \right\} \) in \( Y \) je končno zaporedje. Videli smo, da za vsak \( a \in X \) obstaja zaporedje \( \left( a^{(N)}\right)_{N \in \mathbb{N}} \subset Y \) tako, da

\[ \left\lVert a^{(N)} - a \right\rVert _2 \underset{N \to \infty}{\longrightarrow} 0 \]

Torej \( Y \) ni zaprt. Torej po e) ortogonalna projekcija \( l ^2 \to Y \) ne obstaja.

Kako to “vidimo”? Vzamemo \( x \in l ^2 \setminus Y \), npr.

\[ x = \left( 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \ldots \right) = \left( \frac{1}{n} \right)_{n \in \mathbb{N}} \]

To pomeni, da

\[ \sum\limits_{n = 1}^{\infty } \frac{1}{n ^2} < \infty \]

Naj bo \( Y \subseteq X \) končno dimenzionalen prostor in \( \left\{ e_1, \ldots e_n \right\} \) njegova baza sestavljena iz paroma ortogonalnih vektorjev z dolžino \( 1 \). To pomeni, da je

\[ \left\langle e_j, e_k \right\rangle = \delta_{jk} \]

Tedaj je

\[ P_Y x = \sum\limits_{j = 1}^n \left\langle x, e_j \right\rangle e_j \]

za domačo nalogo lahko pokažeš \( x - P_Y x \perp e_k, \ \forall k \)

Pravimo, da je družina \( \left\{ e_j; \ j \in \mathbb{N} \right\} \) ortonormiran sistem (ONS), če velja

\[ \left\langle e_j, e_k \right\rangle = \delta_{jk} \]

Naj bo \( X \) vektorski prostor s skalarnim produktom in \( \left\{ e_j, \ j \in \mathbb{N} \right\} \) ONS v \( X \). Tedaj za vsak \( x \in X \) velja

\[ \sum\limits_{j = 1}^{\infty} \left| \left\langle x, e_j \right\rangle \right| ^2 \le \left\lVert x \right\rVert ^2 \]

Dokaz:

Definiramo \( Y_N = \mathrm{Lin} \left\{ e_1, \ldots, e_n \right\} \) (samo \( n \) vektorjev). Vemo, da je \( P_{Y_n} x = \sum\limits_{j = 1}^n \left\langle x, e_j \right\rangle e_j \) (opomba, da je to linearna kombinacija vektorjev). Velja

\[ \left\lVert P_{Y_n} x \right\rVert ^2 = \sum\limits_{j = 1}^n \left| \left\langle x, e_j \right\rangle \right| ^2 \]

po Pitagorovem izreku, kjer smo upoštevali, da so \( e_j \) ortogonalni med sabo.

Hkrati vemo, da je \( \left\lVert P_{Y_n} x \right\rVert \le \left\lVert x \right\rVert\) iz česar sledi

\[ \sum\limits_{j = 1}^n \left| \left\langle x, e_j \right\rangle \right| ^2 \le \left\lVert x \right\rVert ^2, \ \forall n \in \mathbb{N} \]

Iz tega potem sledi

\[ \sum\limits_{j = 1}^{ \infty } \left| \left\langle x, e_j \right\rangle \right| ^2 \le \left\lVert x \right\rVert ^2 \quad \square \]

Naj bo \( X \) Hilbertov prostor \( \left\{ e_j, j \in \mathbb{N} \right\} \) ONS in \( \left( c_j \right)_{j \in \mathbb{N}} \in l ^2 \). Tedaj

\[ \sum\limits_{j = 1}^{\infty}c_j e_j \] obstaja v \( X \).

To pomeni, da zaporedje \( \left( \sum\limits_{j = 1}^n c_j e_j \right)_{n \in \mathbb{N}} \) v X (opazi, da je na zgornji meji \( n \) in ne \( \infty \)).

Če označimo

\[ x = \sum\limits_{j = 1}^{\infty} c_j e_j \]

je \( c_j = \left\langle x, e_j \right\rangle \)

Če je \( \left\{ e_j, \ j \in \mathbb{N} \right\} \) ONS v Hilbertovem prostoru \( X \), tedaj

\[ \sum\limits_{j = 1}^{\infty} c_j e_j \]

konvergira \( \iff \ \left( c_j \right)_{j \in \mathbb{N}} \in l ^2 \)

Dokaz:

Označimo

\[ s_n = \sum\limits_{j = 1}^{n} c_j e_j \]

Po Pitagorovem izrek je \( \left( s_n \right)_n \) Cauchyjevo v \( X \).

\begin{align*} \left\lVert s_n - s_m \right\rVert ^2 &\overset{n > m}{=} \left\lVert \sum\limits_{j = m + 1}^n c_j e_j \right\rVert ^2 \\ &= \sum\limits_{j = m + 1 }^n \left\lVert c_j e_j \right\rVert ^2 \\ &= \sum\limits_{j = m + 1}^n \left| c_j \right| ^2 \cdot \underbrace{\left\lVert e_j \right\rVert ^2}_{=1} \\ &= \sum\limits_{j = m + 1 }^n \left| c_j \right| ^2 = \sum\limits_{j = 1}^n \left| c_j \right|^2 - \sum\limits_{j = 1}^m \left| c_j \right| ^2 \end{align*}

Razlika delnih vsot (konvergirajoče) vrste \( \sum\limits_{j = 1}^{\infty} \left| c_j \right| ^2 \) gre proti 0, ko \( m, n \to \infty \).

Ker je \( X \) poln, obstaja \( \lim_{n \to \infty} s_n \in X \). To je naš \( x \). \( \square \)

Naj bo \( X \) Hilbertov prostor in \( \mathcal{E} = \left\{ e_j; \ j \in \mathbb{N} \right\} \) ONS v \( X \). Vrsti

\[ \sum\limits_{j = 1}^{\infty} \left\langle x, e_j \right\rangle e_j \]

pravimo Fourierova vrsta za \( x \) glede na \( \mathcal{E} \), števila \( \left\langle x, e_j \right\rangle \) pa so Fourierovi koeficienti.

Opomba: Vrsta konvergira po prejšnjih spoznanjih.

Ali je \( \sum\limits_{j = 1}^{\infty} \left\langle x, e_j \right\rangle e_j = x \).

Naj bo \( X \) Hilbertov prostor. Pravimo, da je ONS \( \mathcal{E} = \left\{ e_j; j \in \mathbb{N} \right\} \) kompleten (KONS), če za vsak \( x \in X \) velja

\[ x = \sum\limits_{j =1}^{ \infty }\left\langle x, e_j \right\rangle e_j \]

\( X \) je Hilbertov prostor, \( \mathcal{E} \) je ONS. Naslednje izjave so ekvivalentne:

1. \( \mathcal{E} \) je KONS

2. za vsak \( x, y \in X \) je

   \[ \left\langle x, y \right\rangle = \sum\limits_{j = 1}^{\infty} \left\langle x, e_j \right\rangle \bar{\left\langle y, e_j \right\rangle} \]

3. za vsak \( x \in X \) je

   \[ \left\lVert x \right\rVert ^2 = \sum\limits_{j = 1}^{\infty} \left| \left\langle x, e_j \right\rangle \right| ^2 \]

   čemur je Parsevalova indentitea

4. \( \mathcal{E} \) ni vsebovan v nobenem večjem ONS
5. \( \mathcal{E}^{\perp} = \left\{ 0 \right\} \)