Mat3teden4

Pravimo, da lastnost \( L \) velja skoraj povsod na množici \( X \in \mathbb{R}^n \), če velja povsod razen morda na množici z mero 0. To je, če je

\[ m(\{x \in X, L \text{ v točki } x \text{ ne velja }\}) \]

Primeri so:

1. \( f = g \text{ s.p. } x \in X: \quad m (\{x \in X, f(x) \not = g(x) \}) = 0 \)
2. \( X_{\mathbb{Q}} = 0 \text{ s. p. } \mathbb{R} \)

Naj bo \( f: K \to \mathbb{R} \) omejena. Tedaj je \( f \) integrabilna \( \iff \) množica nezveznosti \( f \) ima mero 0.

Error 404: dokaz not found

Če je \( A \subset \mathbb{R}^n \) omejena, tedaj

\[ V(A) = \int\limits \chi_A\,dx \ \exists \ \iff \chi_A \text{ zvezna s. p. } \iff m(\partial A) = 0 \text{ množica nezveznosti } \chi_A \]

Če je \( A \) kompaktna, tedaj

\[ V(A) = 0 \ \iff \ m(A) = 0 \]

Dokaz:

\( \Leftarrow \) velja že brez kompaktnosti

Domača naloga je dokaz!

Oznaka za \( A \subset \mathbb{R}^n \) omejena, pišimo \( I(A) = \{ f:A \to \mathbb{R}, f \text{ integrabilna na } A \} \)

1. \( f, g \in I(A) \implies f + g \in I(A) \) in \( \int\limits_A (f+g) \,dx = \int\limits_A f\,dx + \int\limits_A g\,dx\)

   in

   \( c\in \mathbb{R} \implies \ cf \in I(A) \) in \( \int\limits_A cf \,dx =c \int\limits_A f\,dx\)

2. \( f, g \in I(A), \ f \le g \text{ na } A \implies \int\limits_A f \,dx \le \int\limits_A g\,dx\)
3. \( f\in I(A) \implies \left| f \right| \in I(A) \) in \( \left| \int\limits_A f\,dx \right| \le \int\limits_A \left| f \right|\,dx \)
4. \( f\in I(A) \text{ in } V(A) \exists \implies \ \int\limits_A \left| f \right|\,dx \le \sup_A \left| f \right| \cdot V(A) \)

5. \( A_1, A_2 \subset \mathbb{R}^n \) omejena s predpostavkami

   \( V(A_1 \cap A_2) = 0 \) in \( f: A_1 \cup A_2 \to \mathbb{R} \) omejena in \( f\in I(A_1) \cap I(A_2) \) iz česar sledi

   \( f\in I(A_1 \cup A_2) \text{ in } \int\limits_{A_1 \cup A_2} f \,dx = \int\limits_{A_1} f \,dx + \int\limits_{A_2} f\,dx\)

Naj bo \( K \subset \mathbb{R}^n \) kvader in \( f: K \to [0, \infty) \) omejena. Tedaj velja

\[ \int\limits_K f \,dx = 0 \ \implies \ f = 0 \text{ s.p. } K \]

Dokaz:

Za \( n \in N \) definiramo

\[ K_n := \{ x\in K; \ f(x) \ge \frac{1}{n} \} = f^{-1} ([\frac{1}{n}, \infty ]) \]

Velja \( 0 \le \chi_{K_n} \le nf \) povsod na \( K \), saj je \( f \ge 0 \) . Sledi

\[ 0 \le S(\chi_{K_n}, D) \le S(nf, D) = n S(f, D) \ \forall \text{ delitev } D \text{ kvadra } K \]

iz tega sledi

\[ 0 \le S(\chi_{K_n}) \le n \cdot S(f) = 0 \]

kjer smo privzeli, da \( \int\limits_K f\,dx = 0\).

Sledi \( S(\chi_{K_n}) = 0 \)

Od prej že vemo \( \int\limits_K \chi_{K_n} \,dx = \int\limits_{K_n} 1 \,dx = 0 \)

Sledi \( V(K_n) \ \exists \) in je enako 0, kar potem pomeni \( m(K_n) = 0\ \forall n\in \mathbb{N}\) in še dodatno \( m(\{f \not = 0\}) = m(\bigcup_{n \in \mathbb{N}} K_n) = 0 \)

Q.E.D.

Tukaj že prej omenjeni Fubini-Tonelli povežemo z večdimenzijskimi prostori.

Naj bo \( f: [a, b] \times [c, d] \to \mathbb{R} \) integrabilna. Privzamemo, da je \( \forall x \in [a, b] \) funkcija \( f(x, \cdot ): [c, d] \to \mathbb{R}, \ y \mapsto f(x, y) \) (torej \( x \) je fiksen, druga spremenljivka pa ni) definirana kot integrabilna na \( [c, d] \). Tedaj je

\[ \iint\limits_{[a, b] \times [c, d] } f(x, y) \,dx dy = \int\limits_a^b \int\limits_c^d f(x, y) \,dy\,dx \]

Integral na levi strani je dvojni integral (Riemann-Darbouxov integral funkcije dveh spremenljivk), integral na desni pa je iterirani integral (tudi dvakratni) in je “zaporedje” dveh integralov ene spremenljivke.

Če je \( f:[a,b]\times [c, d] \to \mathbb{R} \) zvezna. Tedaj je

\[ \iint\limits_{[a, b] \times [c, d]} f(x, y) \,dx dy = \int\limits_a^b \int\limits_c^d f(x, y) \,dy\,dx = \int\limits_c^d \int\limits_a^b f(x, y)\,dx\,dy \]

Dokaz Fubinijevega izreka:

Za integrabilno \( f(x, \cdot) \) definiramo \( g:[a, b] \to \mathbb{R} \) s predpisom

\[ g(x) \int\limits_c^d f(x, y)\,dy \] , ki obstaja, ker je \( f \) integrabilna. Označimo \( I = [a, b], \ J = [c, d] \). želimo

\[ \iint\limits_{I \times J} f(x, y)\,dx dy = \int\limits_I g(x)\,dx \]

Izberemo delitvi

\begin{align*} D_1 &= \{ I_i = [x_{i-1}, x_i]; \ i = 1, \ldots m\} && \text{ za } I \\ D_2 &= \{J_j = [y_{j - 1}, y_j]; \ j = 1, \ldots n \} && \text{ za } J \end{align*}

\( D_1 \) je projekcija na \( I \) in \( D_2 \) je projekcija na \( J \).

Tedaj je \( D_1 \times D_2 \) delitev za \( I \times J \). Označimo za \( P_{ij} = I_i \times J_j \)

\begin{align*} m_{ij}(f) &= \inf_{P_{ij}} f \\ M_{ij}(f) &= \sup_{P_{ij}} f \end{align*}

Velja

\begin{equation} \label{eq:1} s(f, D) = \sum\limits_{i, j} m_{ij}(f) \left| P_{ij} \right| = \sum\limits_i \left( \sum\limits_j m_{ij}(f) \left| J_j \right| \right) \left| I_i \right| \end{equation}

saj je \( \left| P_{ij} \right| = \left| I_i \right| \cdot \left| J_j \right| \). Zadnjo vsoto želimo povezati z Darbouxovo vsoto funkcije \( g \).

Izberemo \( i \in \{i, \ldots, m\} \) in \( x \in I_i \). Tedaj je

\[ m_{ij}(f) = \inf_{\xi \in I_i, \ y_j \in J_j} f(\xi, y) \le \sup_{y\in J_j} f(x, y) \]

Sledi iz \ref{eq:1}

\begin{align*} &= \sum\limits_j m_{ij}(f) \left| J_j \right| \le \sum\limits_j m_{ij}(f(x, \cdot)) \left| J_j \right| = s(f(x, \dot), D_2)\\ & \le \int\limits_c^d f(x, y)\,dy \end{align*}

Iz tega potem sledi, da je

\[ \iint_{I \times J} f(x, y) \, dx dy = \int\limits_I g(x)\,dx = g(x) \quad \forall i, \ \forall x \in I_i \]

Nadaljno

je vsota iz \ref{eq:1}

\[ \sum\limits_j m_{ij}(f) \left| J_j \right| \le \inf_{x\in I_i} \forall i \]

in tako dobimo neenakost Darbouxovih vsot

\[ s(f, D) \le s(g, D_1) \]

Potrebno za zgornjo vsote. Torej

\[ s(f, D) \le s(g, D_1) \le S(g, D_1) \le S(f, D) \]

Ker je \( f \) integrabilna, \( \forall \varepsilon > 0 \ \exists D \ni \):

\[ S(f, D) - s(f, D) < \varepsilon \]

Torej za njuno projekcijo na 1. komponento \( (D_1) \) velja

\[ S(g, D_1) - s(g, D_1) < \varepsilon \]

Vidimo, da je torej

\[ s(f) = S(f) = s(g) = S(g) \]

Q.E.D. *

1. \( P = [-1, 1] \times [-2, 2] \in \mathbb{R} ^2 \) in \( f(x, y) = 1 - \frac{x}{3} - \frac{x}{4} \)

   \( I = \iint\limits _P f(x, y) \, dx dy \)

   Ker je \( f \) zvezna, rečemo, da \( I \ \exists \). Uporabimo Fubinijev izrek, da ga izračunamo.

2. \( P = [0, 1] \times [0, 1] \) in \( A = P \cup \{(x, y) \in \mathbb{R} ^2, \ y \le x\} \) za funkcijo \( g(x, y) = x \)

Naj bodo

• \( I = [a, b] \)
• \( \alpha, \beta: I \to \mathbb{R} \) zvezne in \( \alpha \le \beta \)
• \( A := \{(x, y) \in \mathbb{R} ^2, \ x \in I, \ y \in [\alpha(x), \beta(x)]\} \)
• \( f: A \to \mathbb{R} \) zvezna

Tedaj je

\[ \iint\limits_{A} f(x, y) \, dx dy = \int\limits_a^b \int\limits_{\alpha(x)}^{\beta(x)} f(x, y) \,dy\,dx \]

Dokaz:

Ker sta \( \alpha, \beta \) zvezni, sta na \( [a, b] \) omejeni, zato obstaja pravokotnik \( P \subset \mathbb{R}^2 \ \ni: \ A \subset P \). Definiramo \( \tilde{f}: A \to \mathbb{R} \ \ni \)

\[ \tilde{f} (x, y) = \begin{cases} f(x, y); (x, y) \in A \\ 0; \text{ sicer } \end{cases} \]

oz. \( \tilde{f} = f \chi_{A} \)

Točke nezveznosti funkcije \( \tilde{f} \) so vsebovane v grafih funkcije \( \alpha \) in \( \beta \): \( \Gamma_{\alpha} \cup \Gamma_{\beta} \). Vemo, da imata grafa prostornino 0 v \( \mathbb{R}^2 \)torej jo ima tudi unija teh dveh grafov. Poslediċno je \( \tilde{f} \) zvezna s.p. \( P \), zato je integrabilna na \( P \).

( \( \{\text{ nezveznosti } \tilde{f} \} \subset \Gamma_{\alpha} \cup \Gamma_{\beta} \) in ima prostornino 0)

\begin{align*} \iint\limits_A f(x, y) \, dx \, dy &= \iint\limits_P \tilde{f}(x, y) \, dx \,dy \\ &\stackrel{F.T.}{=} \int\limits_{a}^{b} \left( \int\limits_c^d \tilde{f} (x, y)\,dy \right) = \int\limits_a^b \int\limits_{\alpha(x)}^{\beta(x)}f(x, y) \,dy\,dx \end{align*}

Upoštevamo \( \forall x \in [a, b] \) je \( \tilde{f}(x, \cdot) \) odsekoma zvezna na \( [c, d] \), zato je integrabilna.

\[ \int\limits_c^d \tilde{f} (x, \cdot) \,dx = \int\limits_c^{\alpha(x)} 0 \,dx + \int\limits_{\alpha(x)}^{\beta(x)}\,dx = \int\limits_{\beta(x)}^{d} 0 \,dx \]

Q.E.D.

• \( A \subset \mathbb{R}^n, \ B \subset \mathbb{R}^n \) kvadra
• \( f:A \times B \to \mathbb{R} \) integrabilna

• \( f(x, \cdot) \) integrabilna na \( B \ \forall x \in A\)

  iz česar sledi

\[ \iint\limits_{A\times B} f \, dx \, dy = \int\limits_A \left( \int\limits_B f(x, y) \,dx \right)\,dx \]

\( F: K = [a, b] \times [c, d] \times [e, f] \to \mathbb{R}] \) zvezna

\[ \iiint\limits_K F(x, y, z) = \iint\limits_{[a, b] \times [c, d]} \left( \int\limits_e^f\,dx( F(x, y, z) \, dz \right) \, dx \, dy = \int\limits_a^b \left( \int\limits_c^d \left( \int\limits_e^f F(x, y, z) \,dz \right)\,dy \right)\,dx \]

• \( A\subset \mathbb{R} ^2 \) ima ploščino
• \( \alpha, \beta: A \to \mathbb{R} \) zvezna in \( \alpha < \beta \)
• \( B := \{(x, y, z), \in A \times \mathbb{R}, \alpha(x, y) \le y \le \beta(x, y) \} \)
• \( f: B \to \mathbb{R} \) je zvezna

\[ \iiint\limits_B f(x, y, z) \, dV = \iint\limits_A \left( \int_{\alpha(x, y)}^{\beta(x, y)} f(x, y, z) \, dz \right) \, dy \, dx \]

1. \( \iiint_{[0, 1] \times [-1, 1] \times [2, 5]} (x + y + z) \, dx \, dy \, dz = \int\limits_0^1 \int\limits_{-1}^1 \int\limits_2^5 (x + y + z)\,dz\,dy\,dx \) Dragi je vzel primer 2.8 (p.S.) in ker so mu bile dane številke dolgočasne, jih je spremenil. Izračunaj sam.

2. Naj bo \( T \) tetraeder z oglišči \( (0, 0, 0), \ (1, 0, 0), \ (0, 1, 0), \ (0, 0, 1) \). \[ \iiint\limits_T f(x, y, z) \, dV = \iint\limits_A \left( \int\limits_0^{1 - x - y} f(x, y, z) \,dz \right) \, dx \, dy \]

   Za razliko o navadnih stvari, je tokrat funkcija \( f(x, y, z) \) prepuščena bralcu in ne dokaz.

Naj bo \( U^{\text{odp}} \subset \mathbb{R}^n \) in \( \varphi_1, \ldots \varphi_m: U \to \mathbb{R} \) parcialno odvedljiva na vse spremenljivke. Jacobijevo matriko za \( \varphi := (\varphi_1, \ldots \varphi_m) \) definiramo kot

\[ J\varphi = \begin{bmatrix} \frac{\partial \varphi_1 }{\partial x_1} & \ldots & \frac{\partial \varphi_1 }{\partial x_m} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial \varphi_m }{\partial x_1} & \ldots & \frac{\partial \varphi_m }{\partial x_m} \end{bmatrix} \]

Za \( n = 1 \) in \( n = 2 \)

Definicija in Jakobijeva matrika.

Naj bo

• \( A \subset \mathbb{R}^n \) omejena množica s prostornino
• \( \varphi: A \to \mathbb{R}^n \) injektivna in razreda \( C^1 \)
• \( \det J\varphi (x) \not = 0 \ \forall x \in A \)
• \( x \mapsto \det J\varphi (x) \) omejena in različna od 0
• \( \varphi(A) \) je odprta v \( \mathbb{R}^n \) s prostornino
• \( f \varphi(A) \to \mathbb{R} \) integrabilna

Tedaj je tudi \( x \mapsto f(\varphi(x)) \left| \det J\varphi(x) \right| \) integrabilna na \( A \) in velja

\[ \int\limits_{\varphi(A)} \,dx = \int\limits_A f(\varphi(x)) \left| \det J\varphi(x) \right|\,dx \]

To je formula za uvedbo nove spremenljivke v večkratnih integralih.

(Skica) Dokaz (a):

Obravnavamo primer, ko je \( n = 2 \) in je \( A \) pravokotnik in \( f \) naj bo zvezna. Naj bo \( \{P_j\} \) neka delitev za naš pravokotnik \( A \). Velja

\[ \iint\limits_{\varphi(A)} f(x, y) \, dx \, dy = \sum\limits_j \iint\limits_{\varphi(P_j)} \]

Pri tej enakosti upoštevamo injektivnost.

Nadalje lahko zapišemo kot

\begin{align*} &= \sum\limits_j \left\langle f \right\rangle_{\varphi(P_j)} \left| \varphi(P_j) \right| \end{align*}

kjer je \( \left\langle f \right\rangle_Q = \frac{1}{\left| Q \right|} \int\limits_Q f\,dx\) povprečje med \( f \) in \( Q \).

Velja prva ugotovitev:

\[ \left\langle f \right\rangle _{\varphi(P_j} = f(\varphi(u_j, v_j)) \]

za neke \( (u_j, v_j) \in P_j \)

in druga ugotovitev:

Naš pravokotnik se, ko je dovolj majhno slika v paralelogram.

Velja, da je \( \left| \varphi(P_j) \right| \approx \left| \text{ paralelograma } \right|\).

\begin{align*} = \left| (\varphi(u + \Delta u, v) - \varphi(u, v)) \times (\varphi(u, v + \Delta v) - \varphi(u, v)) \right| &= \frac{\partial \varphi}{\partial u} (u, v) \Delta u \times \frac{\partial \varphi}{\partial v} (u, v) \Delta v \\ &= \left| \varphi_u \times \varphi_v \right| \Delta u \Delta v \\ &= \begin{vmatrix} (\varphi_1)_u & (\varphi_1)_v \\ (\varphi_2)_u & (\varphi_2)_v \end{vmatrix} = \left| \det J \varphi \right| \end{align*}

Iz tega potem sledi, da je

\[ \iint\limits_{\varphi(A)} f(x, y) \, dx \, dy = \sum\limits_j f(\varphi(x, y)) \left| \det J \varphi(x, y) \right| \Delta u \Delta v \]

To je Riemannova vsota za funkcijo \( f \circ \varphi \left| \det J \varphi \right| \). \( \Delta u \Delta v \) je velikost delilnega pravokotnika za \( A \). Posledično v limiti dobimo

\[ \int\limits_A f \circ \varphi \left| \det J \varphi \right|\,dx = \int\limits_A f(\varphi(\xi, \eta)) \left| \det J \varphi (\xi, \eta) \right| \,d\xi \, d\eta \]

Q.E.D. -ish

Opomba:

\( \Lambda : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n \) linearna, kaj je potem \( J\Lambda = ? \).

Potem je definirana Jacobijeva matrika kot

\[ J \Lambda = \left[ \frac{\partial \Lambda_j}{\partial k} \right] \]

za \( \Lambda_j: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \) linearna. \( \Lambda_j (x_1, \ldots x_n) = c_1^j x_1 + \ldots c_n^j x_k \) in to pomeni, da je odvod enak

\[ \frac{\partial \Lambda_j}{\partial x_k} = c_k^i \]

Kar pomeni, da je Jacobijeva matrika enaka \( J\Lambda = \left[ c_k^j \right] = \Lambda \).

Imamo vektorje

\begin{align*} v_1 &= (1, 1, 1) \\ v_2 &= (2, 3, 1) \\ v_3 &= (0, 1, 1) \end{align*}

Volumen paralelipeda, ki ga natejujejo vektorji \( v_1, v_2, v_3 \).

Naj bodo \( v_1, v_2, v_3 \) standardni bazni vektorji. Velja \( T \hat{e}_j = \mathbf{v}_j \), če je

\[ T = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \]

in \( P = T(K); \ K = [0,1] \times [0,1] \times [0, 1] \).

Definiramo \( P \) kot \( P = \{\sum\limits_{j = 1}^3 \lambda_j \mathbf{v}_j; \ \lambda_j \in [0, 1] \} \)

Ker velja \( T \hat{e}_j = \mathbf{v}_j \) je potem vsota v množici P enaka

\[ T(\sum\limits_j \lambda_j \hat{e}_j) = T (\{\sum\limits_{j = 1}^3\lambda_j \hat{e}_j; \ \lambda_j \in [0,1] \})= K \]

To pomeni, da je prostornina enaka

\begin{align*} V(P) &= \iiint\limits_P 1 \, \mathrm{dV} = \iiint\limits_{T(K)} 1 \, \mathrm{dV} \\ &= \iiint\limits_K 1 \left| \det JT \right| = \left| \det (T) \right| \iiint\limits_K 1 = \left| \det T \right| = 2 \end{align*}

ker je \( V(K) = 1 \)

\begin{align*} \iint\limits_{\{x ^2 + y ^2 \le 1\}} 1 \, \mathrm{dx} \mathrm{dy} &= \int\limits_0^{2 \pi} \int\limits_0^1 1 \cdot r \,dr\,d\varphi \\ &= 2 \pi \cdot \frac{1}{2} = \pi \end{align*}

V grobem: polarne koordinate v \( \mathbb{R} ^2 \times (\text{ kartezične v } \mathbb{R}) \).

\begin{align*} x &= r \cos \varphi \\ y &= r \sin \varphi \\ z &= z \end{align*}

Zakaj so cilindrične? Ker se bolje sliši kot polravninske. To je moj ad hoc odgovor na to vprašanje.

Lp in lep pozdrav, Dragi.

Jacobijeva matrika je \( \left| \det J \varphi \right| = r\)

Vzamemo \( 0 < \rho \le R \). Naj bo \( \Omega \subset \mathbb{R}^3 \) območje omejeno z

\begin{align*} x ^2 + y ^2 + z ^2 &= R ^2 \\ x ^2 + y ^2 &= \rho ^2 \end{align*}

Natančneje leži znotraj krogle in valja.

Zanima nas \( V (\Omega) \), kar je presek krogle z radijem R in cilindra z radijem \( \rho \)

\begin{align*} V(\Omega) &= \iiint\limits_{\Omega} 1 \, \mathrm{dx} \, \mathrm{dy}\, \mathrm{dz} \\ &\stackrel{\text{cilindrične}}{=} \int\limits_0^{\pi} \int\limits_0^{\rho} \int\limits_{-\sqrt{R ^2 - r ^2}}^{\sqrt{R ^2 - r ^2}}r \, \mathrm{dz}\, \mathrm{dr}\, \mathrm{d}\varphi \\ &= \ldots = \frac{4 \pi R ^3}{3} \left( 1 - \left[ 1 - (\frac{\rho}{R}) ^2 \right] ^{\frac{3}{2}} \right)) \end{align*}