Mat3teden6

Primera sta npr.

\( x ^3 \) je \( o(x ^2) \), ko gre \( x \to 0 \) \( x ^2 \) je \( o(x ^2) \), ko gre \( x \to 0 \)

Ekvivalentno \( f(h) = o(g(h)), \ h \to a \) je, da za vsak \( \epsilon \) obstaja okolica \( a \), kjer velja

\[ \left| f(h) \right| \le \epsilon \left| g(h) \right| \]

Dokaz:

Spomnimo se razdalje med točko in ravnino:

\[ d(\vec{R}, \Pi) = \left\langle \vec{R} - \vec{r}, \frac{\vec{n}}{\left| \vec{n} \right|} \right\rangle \]

za ravnino \( \Pi \) in vektor \( \vec{R} \), ki kaže iz ravnine.

\[ d(\gamma(t_0 + h), \Pi) = \left\langle \gamma(t_0 + h) - \gamma(t_0), \frac{\dot{\gamma}(t_0) \times \ddot{\gamma} (t_0)}{{\dot{\gamma}(t_0) \times \ddot{\gamma} (t_0)}}\right\rangle \]

Drugi člen tega skalarnega produkta je vektor normale \( \vec{n} \) za ravnino \( \Pi \).

Prav tako pišimo \( \gamma(t) = (\gamma_1(t), \gamma_2 (t), \gamma_3 (t)) \), kjer je \( t = t_0 + h \).

Taylorjev izrek pravi, da \( \gamma_i(t) = \gamma_i(t_0) + \dot{\gamma_i}(t_0) \cdot h + \ddot{\gamma}_i(t_0) \frac{ h ^2}{2} + o(h ^2) \)

Zapišimo \( \vec{o}(h ^2) = (o(h ^2),o(h ^2),o(h ^2)) \)

Če uporabimo Taylorjev razvoj

\begin{align*} \left| \left\langle \dot{\gamma}(t_0) \cdot h ^2 + \ddot{\gamma}(t_0) \frac{h ^2}{2} + o ( h ^2 ), \vec{n} \right\rangle \right| &= \left| \vec{o}(h ^2), \vec{n} \right| \\ & \le \left| o (h^2) \right| = o (h ^2) \end{align*}

Frenet-Serretov trieder ni bil obdelan! Za vaje se bo še obvestilo, ali bo ali ne. Za teoretični izpit je potrebno vprašati profesorja.

(Afina) Tangentna ravnina na ploskev \( M \) skozi točko \( m = \vec{r}(u, v) = (x_0, y_0, z_0) \) definiramo kot množico vseh tangnetnih vektorja krivulj skozi to točko. Eksplicitno je to ravnina (potrebujemo začetno točko in pa dva smerna vektorja, ki nam razpenjata ravnina/ normalni vektor)

\[ m + \mathrm{Lin} \left\{ \vec{r}_u(u, v), \vec{r}_v(u, v) \right\} \]

Enačba tangentne ravnine je torej

\[ \left\langle (x, y, z) - (x_0, y_0, z_0), (\vec{r}_u \times \vec{r}_v)(u_0, v_0) \right\rangle \]

Imejmo \( f: D \to \mathbb{R}, \ D \subseteq \mathbb{R} ^2 \) območje, \( f \) je gladka. Imamo graf funkcije

\[ \Gamma_f = \left\{ (x, y, f(x, y)), \ (x, y) \in D \right\} \]

V parametrični obliki graf zapišemo kot \( \vec{r}: D \to \mathbb{R} ^3 \)

\[ \vec{r} (x, y) = \begin{bmatrix} x \\ y \\ f(x, y) \end{bmatrix} \]

Odvajamo

\[ \vec{r}_x = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ f_x(x, y) \end{bmatrix} \quad \vec{r}_y = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ f_y(x, y) \end{bmatrix} \]

Vektorski produkt teh vektorjev je

\[ \vec{r}_x \times \vec{r}_y = \begin{bmatrix} -f_x \\ -f_y \\ 1 \end{bmatrix} \]

Enačba (česa? tangentne ravnine ali klobas?) je torej

\[ \left\langle (x, y, z) - (x_0, y_0, z_0), (-f_x, -f_y, 1) \right\rangle = 0 \]

Pa jo mamo.

Enačbo allegedely. Govc.

Rotacijski paraboloid je podan z enačbo

\[ f(x, y) = x ^2 + y ^2 \]

Poiščimo tangento ravnino v točki \( (1, 3, 10) \).

Parcialna odvoda sta

\[ f_x = 2x \quad f_y = 2y \]

Enačba ravnine pomnožena z \( -1 \) je:

\begin{align*} \left\langle (x, y, z) - (1, 3, 10), (-2, -6, 1) \right\rangle &= 0 && \left. \right/ \cdot(-1) \\ \left\langle (x - 1, y - 3, z - 10), (2, 6, -1) \right\rangle &= 0 \\ 2(x - 1) + 6(y - 3) - (z - 10) &= 0 \\ 2x + 6y - z &= 10 \end{align*}

Imejmo \( F: \mathbb{R} ^3 \to \mathbb{R}\). Ploskev definiramo kot množico ničel oz. nivojnico:

\[ M = \left\{ (x, y, z) \in \mathbb{R}^3; \ F(x, y, z) = 0 \right\} \]

Če želimo res dobiti ploskev, moramo privzeti \( \nabla F = (\frac{\partial F}{\partial x}, \frac{\partial F}{\partial y}, \frac{\partial F}{\partial z}) \ne 0 \), potem so namreč izpolnjene predpostavke izreka o implicitni funkciji (glej mat1).

Opomba: To je analogno včerajšnjemu pogoju \( \vec{r}_u \times \vec{r}_v \ne 0 \). Pa parametrizacija obstaja.

Poskusimo izpeljati enačbo tangentne ravnine.

Iščemo torej smerne vektorje vseh možnih krivulj na ploskvi:

Naj bo torej \( m = (x_0, y_0, z_0) \) točka na ploskvi in si oglejmo poljubno krivuljo skozi to točko:

\[ \vec{r}(t) = (x(t), y(t), z(t)) \]

ker krivulja leži na ploskvi, velja

\[ F(x(t), y(t), z(t) = 0 \]

Če enačbo odvajamo, dobimo

\[ F_x \dot{x} + F_y \dot{y} + F_z \dot{z} = 0 \]

To v resnici pravi:

\[ \left\langle (\nabla F)(m), \odv{r} (t_0) \right\rangle = 0 \]

Vsi smerni vektorji krivulj skozi na ploskvi \( M \), ki gredo skozi točko \( m \) so pravokotni na gradient \( (\nabla F)(m) \).

To je mogoče le, če je \( (\nabla F)(m) \) normalni vektor tangentne ravnine skozi \( m \). Enačba tangentne ravnine je torej:

\[ \left\langle (x, y, z) - (x_0, y_0, z_0), (\nabla F)(x_0, y_0, z_0) \right\rangle = 0 \]

Ploskev v \( \mathbb{R}^3 \) lahko podamo tudi tako, da krivuljo v \( xz \) ravnini zavtrimo okrog \( z \)-osi.

Izhajamo iz parametrizacije krivulje:

\[ \gamma(t) = \begin{bmatrix} x(t) \\ 0 \\ z(t) \end{bmatrix}, \ t \in I \]

Da jo pomnožimo z rotacijsko matriko:

\[ \begin{bmatrix} \cos \phi & - \sin \phi & 0 \\ \sin \phi & \cos \phi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x(t)\\ 0\\ z(t) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x(t) \cos \phi\\ x(t) \sin \phi\\ z(t) \end{bmatrix} \]

Za plašč valja vzamemo daljico za \( \gamma \):

\[ \gamma(t) = \begin{bmatrix} a\\ 0\\ t \end{bmatrix}, \ t \in I \]

Parametrizacija valja je torej

\[ \vec{r} (t, \phi): \begin{bmatrix} a \cos \phi \\ a \sin \phi \\ t \end{bmatrix}, \ t \in I, \ \phi \in [0, 2\pi] \]

Za stožec vzamemo za \( \gamma \) premico skozi izhodišče

\[ \gamma(t) = \begin{bmatrix} t\\ 0\\ at \end{bmatrix}, \ t \in [0, b] \]

Parametrizacija stožca je

\[ \vec{r} (t, \phi): \begin{bmatrix} t\cos \phi \\ t \sin \phi \\ a \end{bmatrix}, \ t \in [0, b], \ \phi \in [0, 2\pi] \]

Za sfero vzamemo \( \gamma \) polkrožnico:

\[ \gamma(t) = \begin{bmatrix} \cos t\\ 0\\ \sin t \end{bmatrix}, \ t \in [- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \]

Parametrizacija enotske sfere je torej

\[ \vec{r} (t, \phi): \begin{bmatrix} \cos t\cos \phi \\ \cos t \sin \phi \\ \sin t \end{bmatrix}, \ t \in [- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}], \ \phi \in [0, 2\pi] \]

Te stvari so Govcu ful pri srcu, ker je topolog in ful uživa v risanju teh stvari. Although his drawing could, you know…, get better.

Parametrizacija krožnice je

\[ \gamma(t) = \begin{bmatrix} a + r \cos t\\ 0\\ r \sin t\end{bmatrix}, \ t \in [0, 2\pi) \]

Parametrizacija torusa je

\[ \vec{r} (t, \phi): \begin{bmatrix}(a + r \cos t) \cos \phi \\ (a + r \cos t) \sin \phi \\ r \sin t \end{bmatrix}, \ t \in [0, 2\pi) \]

Naj bo \( D \subseteq \mathbb{R} ^2 \) območje in \( \vec{r}: D \to \mathbb{R} ^3 \) parametrizirana ploskev \( M = \left\{ \vec{r}(u, v); \ (u, v) \in D \right\} \). Njeno površino \( P(M) \) izračunamo kot

\[ P(M) = \iint\limits_D \left| \vec{r}_u \times \vec{r}_v \right| \, \mathrm{du} \, \mathrm{dv} \]

Opomba:

\[] \lVert \vec{r}_u \times \vec{r}_v \rVert = \lVert \vec{r}_u \rVert \lVert \vec{r}_v \rVert \sin \phi \]

Oznaka \( \lVert \cdot \rVert\) označuje normo.

\begin{align*} \lVert \vec{r}_u \times \vec{r}_v \rVert &= \lVert \vec{r}_u \rVert ^2 \lVert \vec{r}_v \rVert ^2 \sin ^2 \phi \\ &= \lVert \vec{r}_u \rVert ^2 \lVert \vec{r}_v \rVert ^2 (1 - \cos ^2 \phi) \\ &= \lVert \vec{r}_u \rVert ^2 \lVert \vec{r}_v \rVert ^2 - \left| \left\langle r_u, r_v \right\rangle \right| ^2 \end{align*}

kjer je \( \left\langle r_u, r_v \right\rangle = \lVert \vec{r}_u \rVert \lVert \vec{r}_v \rVert \cos \phi\)

Če pišemo

\[ \lVert \vec{r}_u \rVert ^2 = E; \quad \lVert \vec{r}_v \rVert ^2 = G; \quad \left\langle r_u, r_v \right\rangle = F \]

Tako dobimo

\[ \lVert \vec{r}_u \times \vec{r}_v \rVert = \sqrt{EG - F ^2} \]

Iz česar sledi, da je ploščina ploskve \( M \) tako enak

\[ P(M) = \iint\limits_D \sqrt{EG -F ^2} \, \mathrm{du} \mathrm{dv} \]

Definicija za površino ploskve je dobra (torej neodvisna od parametrizacije).

Dokaz: Naj bosta \( \vec{r}:D \to M \) in \( \vec{\rho}: \Delta \to M \) dve parametrizaciji ploskve \( M \). Naj bo \( \Phi: \Delta \to D \ (x, y) \mapsto (u, v) \) gladka bijekcija:

\[ \Phi(x, y) = (U(x, y), V(x, y)) \]

Privzemimo, da je to ravno bijekcija, ki podaja zvezo med obema parametrizacijama:

\[ \vec{\rho} = \vec{r} \circ \Phi \]

Komentar: Zakaj \( \Phi \) obstaja? Definiramo lahko \( \Phi = \vec{r}^{-1} \circ \vec{\rho} \)

Izračunajmo parcialna odvoda z uporabo verižnega pravila:

\[ \vec{\rho}_x(x, y) = \vec{r}_u (U(x, y), V(x, y)) \cdot U_x(x, y) + \vec{r}_v(U(x, y), V(x, y)) \cdot V_x(x, y) \]

in tako dobimo

\begin{align*} \vec{\rho}_x &= \vec{r}_x \cdot V_x + \vec{r}_v \cdot V_x \\ \vec{\rho}_y &= \vec{r}_u \cdot U_y + \vec{r}_v \cdot V_y \end{align*}

Torej velja

\begin{align*} \vec{\rho}_x \times \vec{\rho}_y &= U_x \cdot U_y \cdot \vec{r}_u \times \vec{r}_u + U_x \cdot V_y \cdot \vec{r}_u \times \vec{r}_v + V_x \cdot U_y \cdot \vec{r}_v \times \vec{r}_u + V_x \cdot V_y \cdot \vec{r}_v \times \vec{r}_v && \vec{r}_i \times \vec{r}_i = 0 \\ &= (U_x\cdot V_y - V_x \cdot U_y) \vec{r}_u \times \vec{r}_v \\ &= \begin{vmatrix} U_x & U_y \\ V_x & V_y \end{vmatrix} \vec{r}_u \times \vec{r}_v = \det(J\Phi) \vec{r}_u \times \vec{r}_v \end{align*}

Površina ploskve \( M \) je (glede na parametrizacijo \( \vec{r} \)) enaka

\begin{align*} P(M) &= \iint\limits_D \lVert ( \vec{r}_u \times \vec{r}_v)(u, v) \rVert \, \mathrm{du} \mathrm{dv} \\ & \underset{\text{izrek 2.51}}{\overset{\text{menjava spr.}}{=}}\iint\limits_{\Delta} \lVert (\vec{r}_u \times \vec{r}_v) (\Phi(x, y)) \rVert \left| \det (J\Phi) \right| \, \mathrm{dx} \mathrm{dy} \\ &= \iint\limits_{\Delta} \lVert (\vec{\rho}_x \times \vec{\rho}_y) (x, y) \rVert \, \mathrm{dx} \mathrm{dy} \end{align*}

Imejmo ploskev \( M \) podano kot graf funkcije \( f:D \to \mathbb{R}, \ D \subset \mathbb{R}^2 \)

\[ \Gamma_f = M = \left\{ (x, y, f(x, y); \ (x, y) \in D \right\} \]

Zanima nas \( P(\Gamma_f \). Od prejšnjič poznamo parametrizacijo \( M \):

\[ \vec{r}(x, y) = \begin{bmatrix} x \\ y \\ f(x, y) \end{bmatrix}, \ (x, y) \in D \]

Vektorji so potem

\( \vec{r}_x = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ f_x \end{bmatrix} \quad r_y = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ f_y \end{bmatrix} \quad \vec{r}_x \times \vec{r}_y = \begin{bmatrix} -f_x \\ -f_y \\ 1 \end{bmatrix} \)

Iz česar potem sledi ploščina

\[ P(\Gamma_f) = \iint\limits_D \lVert \vec{r}_x \times \vec{r}_y \rVert\, \mathrm{dx} \mathrm{dy} = \iint\limits_D \sqrt{1 + f_x ^2 + f_y ^2} \, \mathrm{dy}\mathrm{dx} \]

Opomba: Opazimo, da je formula povsem analogna formuli za dolžino krivulje podane z grafom.

Imejmo rotacijski paraboloid \( M = \Gamma_f \) podan z \( f(x, y) = \frac{x ^2 + y ^2}{2}; \ (x, y) \in K((0, 0), 1) \) (enotski krog)

Odvoda sta \( f_x = x \ f_y = y \)

\begin{align*} P(\Gamma_f) &= \iint\limits_D \sqrt{1 + f_x ^2 + f_y ^2} \, \mathrm{dx} \mathrm{dy} \\ &= \iint\limits_D \sqrt{1 + x ^2 + y ^2} \, \mathrm{dx} \mathrm{ dy} \\ &= \int\limits_0^{2\pi} \int\limits_0^1 \sqrt{1 + r ^2} r\,\mathrm{dr}\,\mathrm{d}\phi \\ &= \int\limits_0^{2 \pi}\,\mathrm{d} \phi \int\limits_0^1 \sqrt{1 + r ^2} r\,\mathrm{dr} && t:= 1 + r ^2; \ dt = 2r \mathrm{dr} \\ &= 2 \pi \frac{1}{2} \int\limits_1^2 \sqrt{t}\,\mathrm{dt}\\ &= \pi \left. \frac{t^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} \right|_1^2 \\ &= \pi \cdot \frac{2}{3} \cdot (2 \sqrt{2} - 1) = \frac{2 \pi}{3} (2 \sqrt{2} - 1) \end{align*}

Lokalna orientacija gladke regularne krivulje \( \Gamma \) brez samopresečišč v točki \( \gamma \in \Gamma \) je podana z izbiro enotskega tangentnega vektorja v tej točki (imamo samo dve možni izbiri).

Globalna orientacija je podana z zvezno izbiro enotskih tangentnih vektorjev v vsaki točki \( \gamma \in \Gamma \).

Opomba: Vsaka regularna (povezana) krivulja (brez samopresečišč) ima natanko dve globalni orientaciji. To se še malenkost posploši: lahko imamo tudi odsekoma gladko krivuljo: \( \Gamma \) unija krivulj \( \Gamma_1, \ldots, \Gamma_n \) kjer je konec prejšnje krivulje enak začetku naslednju. V tem primeru orientacijo \( \Gamma \) definiramo kot “usklajeno izbiro orientacij \( \Gamma_i, \ i = 1, \ldots, n \)”

Lokalna orientacija gladke regularne ploskve \( M \subseteq \mathbb{R} ^3 \) je izbira enotske normalne v točki \( m \in M \)

Globalna orientacija ploskve \( M \) je zvezna izbira enotskih normalnih vektorjev za vse \( m \in M \):

\begin{align*} \vec{n}:M &\to S ^2 \\ m & \mapsto \vec{n}(m) \end{align*}

Kar je t.i. Gaussova preslikava, kjer je \( S ^2 = \left\{ (x, y, z); \ x ^2 + y ^2 + z ^2 = 1 \right\} \), kar je množica enotskih vektorjev v \( \mathbb{R} ^3 \) oz. enotska sfera.

Če je ploskev \( M \) povezana ima največ dve orientaciji \( \vec{n} \) in \( -\vec{n} \); lahko pa se zgodi, da nima nobene orientacije, lahko pa se zgodi, da nima nobene orientacije. Potem je \( M \) neorientabilna ploskev.

Kolobar, plašč valja sta orientabilna, medtem ko Möbiusov trak pa je neorientabilen.

Imejmo ploskev z robomo \( \vec{r}: D \to M \) parametrizacija, kjer \( D \) zaprto območje. Imamo dva tipa točk:

• notranje točke na ploskvi: obstaja lokalna parametrizacija \( K((0, 0), 1) \to M \) neke okolice te točke,
• robne točke na ploskvi: obstaja lokalna parametrizacija \( K((0,0), 1) \cap ([0, \infty) \times \mathbb{R} \to M \)

Opomba: Robne točke ploskve z robom tvorijo krivuljo ozrioma disjunktno unijo krivulj.

Ideja Orientacija ploskve (z robom) porodi orientacijo na robni krivulji. Če hodim po robu ploskve in moja glava kaže v smeri normalnega vektorja (npr. navzgor), moram videti ploskev na svoji levi.

Naj bo \( M \) orientabilna ploskev z robom \( \partial M \). Za vsako točko \( m \in \partial M \) naj bo \( \vec{\mu} \) tisti enotski vektor iz tangentne ravnine \( T_mM \), ki je pravokoten na \( T_m\partial M \) (tangentno premico na \( \partial \) v točki \( m \)) in kaže ven iz \( M \), in naj bo \( \vec{n} \) enotski normalni vektor na \( M \), podan z orientacijo.

Potem vektor \( \vec{n} \times \vec{\mu} \) določa inducirano orientacijo roba \( \partial M \) v točki \( m \in \partial M \).