Mat3teden7

\[ \nabla_x u := (u_{x_1}, u_{x_2}, u_{x_3}) \]

za \( u: \mathbb{R} ^3 \to \mathbb{R}^2\).

\[ \mathrm{div}(X, Y, Z) := X_{x_1} + Y_{x_2} + Z_{x_3} \]

za \( (X, Y, Z): \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 \)

\[ \mathrm{rot} (X, Y, Z) := \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x_1} & \frac{\partial }{\partial x_2} & \frac{\partial }{\partial x_3} \\ X & Y & Z \end{vmatrix} = (Z_{x_2} - Y_{x_3}, X_{x_3}, Z_{x_1}, Y_{x_1} - X_{x_2}) \]

\[ \Delta := \mathrm{div} \circ \nabla = \frac{\partial ^2 }{\partial x_1 ^2} + \frac{\partial ^2}{\partial x_2 ^2} + \frac{\partial ^2}{\partial x_3 ^2} \]

Vzamemo \( u = u(x): \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R} \). Naj bo \( U \) njena izražava v koordinatah \( \xi \), to pomeni, definirano s predpisom \( u(x) = U(\xi) \). Torej

\[ U(\xi) := u(\vec{r}(\xi)) \]

oz.

\[ U = u \circ \vec{r} \]

Privzemimo oznake od prej. Velja

\[ (\nabla _x, u)(\vec{r}) = \left\langle \nabla_{\xi}U, \begin{bmatrix} \frac{\vec{\eta}_1}{H_1} \\ \frac{\vec{\eta}_2}{H_2} \\ \frac{\vec{\eta}_3}{H_3} \end{bmatrix} \right\rangle \]

Dokaz: Po verižnem pravilu sledi za \( j\in \left\{ 1, 2, 3 \right\} \).

\( U = u \circ \vec{r} \), kjer so \( \vec{r} = (X, Y, Z) \), \( U = u(X, Y, Z) \) oz \( U(\xi) = u(X(\xi), Y(\xi), Z(\xi)) = u(\vec{r}(\xi)) \)

\[ \frac{\partial U}{\partial \xi_j} = \frac{\partial u}{\partial x} (\vec{r}(\xi)) \cdot \frac{\partial X}{\partial \xi_j} (\xi) + \frac{\partial u}{\partial y}(\vec{r}(\xi)) \cdot \frac{\partial Y}{\partial \xi_j}(\xi) + \frac{\partial u}{\partial z} \cdot \frac{\partial Z}{\partial \xi_j} (\xi) = \left\langle (\nabla_x u)(\vec{r}(\xi)), \frac{\partial \vec{r}}{\partial \xi_j}(\xi) \right\rangle_{\mathbb{R}^3} \]

Vemo, da je po naših oznakah \( \vec{r}_j = H_j \vec{\eta}_j \) iz česar potem sledi

\[ = H_j (\left\langle (\nabla_x u(\vec{r}), \vec{\eta}_j \right\rangle \]

Ker so \( \eta_1, \eta_2, \eta_3 \) ortonormirani (predpostavili smo ortogonalnost, saj so normirani že bili) sistem v \( \mathbb{R}^3 \) (predpostavke!). Sledi

\[ \vec{v} = \sum\limits_1^3 \left\langle v, \vec{\eta}_j \right\rangle \vec{\eta}_j \]

za vsak \( \vec{v} \in \mathbb{R} ^3 \).

Za \( \vec{v} = \nabla_x u(\vec{r}) \) velja

Q.E.D.

Naj bo \( \vec{R} \) lokalni inverz k \( \vec{r} \).

Domača naloga: izrazi kartezični koordinatni sistem v \( \mathbb{R}^2 \) s polarnimi povsod.

Definiramo inverz \( \vec{R} = \vec{r}^{-1} \), kjer velja \( x = \vec{r}(\xi) \ \iff \ \xi = \vec{R}(x) \)

Izrek je VIP v matematiki, whereas lema pa je tisto, kar te pripelje do VIP lože.

Dragi on the difference between izrek in lema.

\[ \rot_x \left( \frac{\vec{\eta}_k}{H_k} \circ \vec{R} \right) \]

Dokaz:

Vzemimo \( k = 1, 2, 3 \). Velja, za \( U_k(\xi) := \xi_k \), tedaj

\[ \frac{\partial U_K}{\partial \xi_j} = \delta_{jk} = \begin{cases} 1; \ k = 1\\ 0; \ k \ne j \end{cases} \]

(Diracov delta).

Vemo, da je \( \rot \circ \nabla = 0 \). Sledi, za \( u_k(x) = U_k(\xi) \)

\[ \dive\left(\frac{\vec{r}_j}{H} \circ \vec{R}\right) = 0 \ \forall j \]

To pomeni:

\[ \dive \left( \frac{\vec{\eta}_{j}}{H_2 H_3} \circ \vec{R} \right) = \dive \left(\frac{\vec{\eta}_2}{H_1 H_3} \circ \vec{R}\right) = \dive\left(\frac{\vec{\eta}_3}{H_1 H_2} \circ \vec{R}\right) \]

Dokaz:

Velja \( \vec{\eta}_1 = \pm \vec{\eta}_2 \times \vec{\eta}_3 \) (saj so \( \left\{ \vec{\eta}_j \right\} \) ortonormirana baza za \( \mathbb{R} ^3 \)).

Velja še \( \dive(\vec{F} \times \vec{G}) = \left\langle \rot \vec{F}, \vec{G} \right\rangle - \left\langle \vec{F}, \rot \vec{G} \right\rangle\)

Sledi

Divergence, rotorja in … se ni potrebno bati, so samo okrajšave za določene matematične operacije. Nekateri moji kolegi bi temu rekli še kultne.

Za \( A_j := \frac{1}{H_j} \frac{\partial U}{\partial \xi_j} \) imamo

\[ \dive(A_j \vec{\eta}_j) = \frac{1}{H_j} \frac{\partial }{\partial \xi_j} (\frac{H}{H_j ^2} \frac{\partial U}{\partial \xi_j} ) \]

To je

\[ \dive \left[ (A_j \vec{\eta}_j ) \circ \vec{R}\right] = \left[ \frac{1}{H} \frac{\partial }{\partial \xi_j} \left( \frac{H}{H_j ^2} \frac{\partial U}{\partial \xi_j} \right) \right] \circ \vec{R} \]

Dokaz

Vzamemo \( j = 1 \). Vemo

\[ \dive (\phi \vec{F}) = \left\langle \nabla \phi, \vec{F} \right\rangle _{\mathbb{R} ^3} + \phi \dive \vec{F} \]

Zato je

kjer so \( \vec{\eta}_1 = \frac{\vec{r}_1}{\left| \vec{r}_1 \right|} = \frac{\vec{r}_1}{H_1} \) in \( \frac{\vec{\eta}_1}{H_2 H_3} = \frac{\vec{r}_1}{H_1 H_2 H_3} = \frac{\vec{r}_1}{H} \)

Iz verižnega pravila sledi, da je skalarni produkt enak

\[ \frac{\partial }{\partial \xi_1} \left( \frac{H}{H_1 ^2} \frac{\partial U}{\partial \xi_1} \right) \circ \vec{R} \]

Velja

\[ \Delta u = \frac{1}{H} \sum\limits_{j=1}^3 \frac{\partial }{\partial \xi_j} \left( \frac{H}{H_j ^2} \cdot \frac{\partial U}{\partial \xi_j} \right) \circ \vec{R} \]

Dokaz

\[ \Delta u = \dive \nabla u = \sum\limits_{j=1}^3 \dive \left[ A_j \vec{\eta}_j \circ \vec{R} \right] \]

Sedaj uporabimo zadnjo posledico.

Naj bo \( \vec{r}: I \to \mathbb{R} ^3 \) regularna parametrizacija neke krivulje \( \Gamma \) in \( u: \Gamma \to \mathbb{R} \) zvezna. Integral (skalarnega) polja \( u \) po \( \Gamma \) definiramo kot

\[ \int\limits_{\Gamma}u\,\mathrm{ds} = \int\limits_I u(\vec{r}(t)) \left| \odv{r} (t) \right|\,\mathrm{dt} \]

Zgornja definicija 6.1 je dobra (neodvisna od parametrizacije).

Dokaz:

Naj bosta \( I = [a, b] \in \mathbb{R} \) in \( J = [\alpha, \beta] \in \mathbb{R} \). Naj bo \( \vec{R}: J \to \mathbb{R} ^3 \) neka druga parametrizacija in \( \phi \) bijekcija med domenama.

Velja

oz. \( \phi = \vec{r}^{-1} \circ \vec{R} \)

Imamo dve možnosti. Prva je, da je \( \dot{\phi} > 0 \) povsod in \( (\alpha, \beta) \mapsto (a, b) \). Druga pa je \( \dot{\phi} < 0 \) povsod in \( (\alpha, \beta) \mapsto (b, a), \ \alpha \mapsto b, \ \beta \mapsto a \)

QED.

Naj bo \( \Gamma \) homogena polkrožna žica s polmerom \( q \). Kako izračunamo težišče \( (x_T, y_T) \)?

kjer je \( \rho \) gostota.

Masa je tako \( m(\Gamma) = \rho \pi q) \).

Definiramo \( \Gamma: \vec{r}(t) = q (\cos (t), \sin (t)), \ t \in [0, \pi] \). Odvod je \( \odv{r} = q (-\sin t, \cos t) \) in \( \left| \odv{r}(t) \right| = a\)

Naj bo \( \vec{F}: \Gamma \to \mathbb{R} ^3 \) zvezna. Integral vektorskega polja \( \vec{F} \) po \( \Gamma \) definiramo kot

\[ \int\limits_{\Gamma} \vec{F}\,\mathrm{d} \vec{r} := \int\limits_a^b \left\langle \vec{F}(\vec{r}(t)), \odv{r}(t) \right\rangle\,\mathrm{dt} \]

Naj bo \( \vec{F}= (X, Y, Z), \ \vec{r}=(x, y, z); \ x = x(t), \ y = y(t), \ z = z(t) \).

Iz tega sledi, da je

\[ \left\langle \vec{F}, \odv{r} \right\rangle = X \cdot \frac{\mathrm{d}x }{\mathrm{d} t} + Y \cdot \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} + Z \cdot \frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} t} \]

Za definicijo to potem pomeni, da je integral oblike

\[ \int \left\langle \vec{F}, \odv{r} \right\rangle \, \mathrm{dt} = \int (X \mathrm{dx} + Y \mathrm{dy} + Z \mathrm{dz}) \]

S tem “kvazi” računom utemeljimo oznako

\[ \int\limits_{\Gamma} \vec{F} \,\mathrm{d} \vec{r} = \int\limits_{\Gamma} X\,\mathrm{dx} + Y \, \mathrm{dy} + Z \, \mathrm{dz} \]

Če v definiciji nadomestimo \( \vec{r} \) z drugo parametrizacijo \( \vec{R} \) iste krivulje, tedaj je novi izraz

\[ \int\limits_{\Gamma} \left\langle \vec{F} \circ \vec{R}, \odv{R} \right\rangle\,\mathrm{dx} \]

• enak, če \( \vec{R} \) ohranja orientacijo

• nasprotno enak, če \( \vec{R} \) obrne orientacijo.

  Dokaz: Prepuščen za domačo nalogo, ker je zelo podoben trditvi 6.1

Zanima nas integral

\[ I = \int\limits_{\Gamma} x \,\mathrm{dx} + (x + z) \, \mathrm{dy} + z ^2 \, \mathrm{dz} \]

za \( \Gamma : \vec{r}(t) = (t, t ^2, t ^3); \ t \in [0, 1] \). Naše skalarno polje je \( \vec{F}=(x, x+z, z ^2) \).

Izračunajmo integral

\[ \int\limits_{\Gamma} (x ^2 - y ^2) \, \mathrm{dx} - 2xy \,\mathrm{dy} \]

kjer je \( \Gamma = \Gamma_1 \cup \Gamma_2 \cup \Gamma_3 \):

[skica] Bodi pozoren na orientacijo (podaj primera za \( (t, t - 1) \), ki je narobe obrnjena in \( -(t, t - 1) \), ki je v 3. kvadrantu.

Opombi:

1. To je krivulja v \( \mathbb{R} ^2 \)
2. Krivulja ni gladka, je pa (končna) unija gladkih.

Podobno naredmo za \( \Gamma_2, \Gamma_3 \). Dobimo

\[ \int\limits_{\Gamma} \text{sth}\,\mathrm{dx} = \ldots = 0 \]

Vektorsko polje \( \vec{F}: \Omega \to \mathbb{R} ^3 \) je potencialno, če obstaja funkcija \( u: \Omega \to \mathbb{R} \) za katero je \( \vec{F} = \nabla u \ (= \mathrm{grad} u \). Funkciji \( u \) pravimo potencial polja \( \vec{F} \)

Če je \( \vec{F} = (X, Y, Z) \), potem je

Za isti \( u \).

Ali je vsako polje potencialno? Če bi bila vsa polja potencialna,x bi to poimenovanje brezpredmetno. Spomnimo se včerajšnjega \( \rot \nabla u = 0 \). Če je \( \vec{F} \) potencialno, mora biti \( \rot \vec{F} = \rot \nabla u = 0 \)

Naj bo \( \Gamma \) regularna krivulja med točkama \( A \) in \( B \in \mathbb{R} ^3 \) in \( \vec{F} = \nabla u \). Tedaj je

\[ \int\limits_{\Gamma} \vec{F}\,\mathrm{d} \vec{r} = u(B) - u(A) \]

Vidimo, da je integral po potencialnem polju neodvisen od poti, ki jo izberemo, da pridemo iz točke \( A \) do točke \( B \).

Ta trditev je v eni dimenziji ekvivalentna osnovnemu izreku analize in vemo v \( \mathbb{R} \):

\[ \int\limits_{\alpha}^{\beta} v' (t)\,\mathrm{t} = v(\beta) - v(\alpha) \]

Dokaz:

\( \vec{r}:[\alpha, \beta] \to \Gamma \)

kjer je \( * \) uporaba osnovnega izreka analize.

Q.E.D.

Naj bo \( \Omega \subset \mathbb{R} ^3 \) povezana odprta množica in \( \vec{F}: \Omega \to \mathbb{R} ^3 \) zvezno vektorsko polje. Naslednje trditve so ekvivalentne:

1. \( \vec{F} \) je potencialno

2. integral \( \vec{F} \) po vsaki sklenjeni krivulji je enak 0

   Glede na to, da ste uporabljali to že pred tem izrekom, to doživljam kot izdajo zakona, odredbe o legalizaciji črne gradnje.

3. za vsak \( A, \ B \subset \Omega \) je integral \( \vec{F} \) od \( A \) do \( B \) neodvisno od izbire poti med točkama

Dokaz:

\( 1 \Rightarrow 2 \)

Naj bo \( \Gamma \) sklenjena krivulja v \( \Omega \), ki vsebuje točko \( A \) (= od \( A \) do A). Po prejšnji trditvi je

\[ \oint\limits_{\Gamma} \vec{F} \, \mathrm{d} \vec{r} = u(A) - u(A) = 0 \]

\( 2 \Rightarrow 3 \)

Definiramo \( \Gamma = \Gamma_1 \cup (- \Gamma_2)\), kjer je \( - \Gamma_2 \) \( \Gamma_2 \) z nasprotno orientacijo. Vemo, da je

\[ \int\limits_{\Gamma} \vec{F} \,\mathrm{d} \vec{r} \overset{2}{=} 0 \]

Hkrati velja po trditvi od prej

\[ \int\limits_{\Gamma_1} \,\mathrm{dx} + \int\limits_{- \Gamma_2}^{}\,\mathrm{dx} = \int\limits_{\Gamma_1} \,\mathrm{dx} - \int\limits_{\Gamma_2}\,\mathrm{dx} \]

Iz česar sledi, da je \( \int\limits_{\Gamma_1} \,\mathrm{dx} = \int\limits_{\Gamma_2}^{}\,\mathrm{dx} \)

Trditev 3 dokažemo prihodnji teden.