Mat3teden8

Delec z maso \( m \) se giblje vzdolž poti \( \gamma \) po površju Zemlje. Položaj Zemlje označimo z \( \vec{r} \), kjer je izhodišče koordinatnega sistema v središču Zemlje. Na delec deluje gravitacijska sila

\[ \vec{F}_g = - G \frac{M m}{r ^2} \cdot \frac{\vec{r}}{r} \]

kjer je \( r = \left| \vec{r} \right| = (x, y, z) \) in \( G / \kappa \) gravitacijska konstanta. Prav tako je \( M \) masa zemlje.

Gledamo fiksiran delec. Ni delec fiksiran, če se giblje, ampak gledamo en določen delec.

Opazimo

\[ \vec{F}_g = \nabla \left(\frac{G M m}{r}\right) \]

Odvod po \( x \)-u je

\begin{align*} \left(\frac{1}{r}\right)_x &= (x ^2 + y ^2 + z ^2)^{-\frac{1}{2}} \\ &= - \frac{1}{2} (x ^2 + y ^2 + z ^2) ^{- \frac{3}{2}} \cdot 2x \\ &= - \frac{x}{(x ^2 + y ^2 + z ^2) ^{\frac{3}{2}}} = - \frac{x}{r ^3}\\ \implies \nabla \left(\frac{1}{r}\right) &= - \frac{(x, y, z)}{r ^3} = - \frac{\vec{r}}{r ^3} \end{align*}

Delo, ki ga sila \( \vec{F}_g \) opravi vzdolž poti \( \gamma \)

\begin{align}\label{eq:delo} A &= \int\limits_{\gamma} \vec{F}\,\mathrm{d } \vec{r} = \int\limits_{\gamma} \nabla (\frac{GMm}{r}\,\mathrm{d } \vec{r} \\ &\overset{\text{trditev}}{=} \frac{GMm}{r_1} - \frac{GMm}{r_0} \end{align}

kjer sta \( r_0 = \left| \vec{r}_0 \right| \) in \( r_1 = \left| \vec{r}_1 \right| \). višini delčeve pozicije na začetku oz. koncu poti. Za \( \Delta r = r_1 - r_0 \) (sprememba višine oddaljenosti od 0) dobimo

\begin{align*} A &= GMm \left( \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_0} \right) = GM m \cdot \frac{r_0 - r_1}{r_0 \cdot r_1} \\ &= GM m \frac{- \Delta r}{r_0 (r_0 + \Delta r} \end{align*}

Predpostavka o gibanju po površju Zemlje pomeni, da se \( r_1 \) ne razlikuje veliko od \( r_0 \), oz. da \( \left| \Delta r \right| \) majhen v primerjavi z \( r_0 \), zato lahko aproksimiramo

\[ r_0 - \Delta r = r_0 = R \]

kjer je \( R \) srednji radij Zemlje.

Izrek je endemično matematična beseda.

Iz tega sledi, da približno velja

\[ A = - \frac{GM}{R ^2} m \Delta r \]

kjer označimo \( \frac{GM}{R ^2} = g \).

Delo rezultante sil (= vsote vseh sil), ki delujejo na delec, je enako spremembi kinetične enerije. Celotna energija je vsota kinetične in potencialne, je delo enako spremembi potencialne energije oz.

\begin{equation} \label{eq:1} A = -\Delta U = U(r_0) - U(r_1) \end{equation}

kjer sledeč \ref{eq:delo}, gravitacijski potencial \( U \) definiramo kot

\begin{equation} \label{eq:2} U(r) = - \frac{GMm}{r} \end{equation}

Če v \ref{eq:1} in \ref{eq:2} vzamemo \( r_1 = \infty \), je \( U(r) \) delo, potrebno, da delec od razdalje \( r \) spravimo do neskončnosti.

Zadnjič

\( \vec{F} \) potencialno \( \implies \ \rot \vec{F} = 0 \). V obratno smer \( \Leftarrow \) pa ne velja. Sedaj se vprašamo, kdaj pa velja.

Območje \( \Omega \subset \mathbb{R} ^3 \) je zvezdasto, če obstaja \( \omega_0 \in \Omega \) tako, da velja za vsak \( \omega \in \Omega \) je daljica \( [\omega_0, \omega] \) cela vsebovana v \( \Omega \).

Vemo:

\[ [\omega_0, \omega] = \left\{ (1 - t)\omega_0 + t\omega; \ t \in [0, 1] \right\} \]

Konveksna množica je zvezdasto območje, za katero je vsak element iz njega dober za vlogo \( \omega_0 \).

Npr. \( K(0,1) \setminus \left\{ 0 \right\} \) ni zvezdasto območje.

Naj bo \( \Omega \subset \mathbb{R} ^3 \) zvezdasto območje. in naj bo \( \vec{F} \) gladko vektorsko polje na \( \Omega \) tako, da velja \( \rot \vec{F} = 0 \). Tedaj je \( \vec{F} \) potencialno.

Dokaz: Naj bo \( \omega_{0} \) kot v definiciji zvezdnasto območje. Za poljuben \( \omega \in \Omega \) definiramo

\[ u(\omega) = \int\limits_{[\omega_0, \omega]} \vec{F}\,\mathrm{d s} \]

Preverjamo \( \nabla u = \vec{F} \). Parametriziramo \( [\omega_0, \omega] = [(x_0, y_0, z_0), (x, y, z)]\), kjer je

\[ \vec{r}(t) = \begin{bmatrix} (1 - t)x_0 + t x \\ (1 - t)y_0 + ty \\ (1 - t)z_0 + tz \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} r_{1}(t) \\ r_{2}(t) \\ r_{3}(t) \end{bmatrix} \]

Vemo, da je

\begin{align*} \int\limits_{[\omega_0, \omega]} \vec{F} \,\mathrm{d s} &= \int\limits_0^1 \left\langle \vec{F}(\vec{r}(t)), \odv{r}(t) \right\rangle_{\mathbb{R} ^3}\,\mathrm{d t} \\ &= \int\limits_0^1 \left\langle \vec{F}(\vec{r}(t)), \omega - \omega_0 \right\rangle_{\mathbb{R} ^3}\,\mathrm{d t} \end{align*}

Velja

\[ (\nabla u)(\omega) = (u_x, u_y, u_z)(\omega) \]

Poglejmo \( (u_x)(\omega) \). Velja

\begin{align}\label{eq:rnd1} (u_x)(\omega) &= \int\limits_0^1 \frac{\partial }{\partial x} \left\langle \vec{F}(\vec{r}(t)), \omega - \omega_0 \right\rangle \,\mathrm{d t} \\ &= \int\limits_0^1 \left( \left\langle \frac{\partial }{\partial x} \left[ \vec{F}(\vec{r}(t)) \right], \omega - \omega_0 \right\rangle + \left\langle \vec{F}(\vec{r}(t)), \frac{\partial }{\partial x} (\omega - \omega_{0}) \right\rangle \right)\,\mathrm{d t} \end{align}

Zanima nas, kaj je \( \frac{\partial }{\partial x} \left[ \vec{F}(\vec{r}(t)) \right] \). kjer je \( \vec{F} = (F_1, F_2, F_3) \). Velja

\begin{align*} \frac{\partial }{\partial x} \left[ \vec{F}(\vec{r}(t)) \right] &= \frac{\partial }{\partial x} (F_1(\vec{r}), F_2(\vec{r}), F_3(\vec{r})) \\ &= \left( \frac{\partial }{\partial x} (F_1(\vec{r})), \frac{\partial }{\partial x} (F_2(\vec{r})), \frac{\partial }{\partial x} (F_3(\vec{r})) \right) \end{align*}

\( F_1 \) je definiran kot \( F_1 = F_1 (a, b, c) \). Na podoben način sta definirani \( F_2 \) in \( F_3 \).

Pri odvajanju upoštevamo verižno pravilo in gledamo kot funkcijo \( (x, y, z) \mapsto t(x, y, z) + (1 - t) \omega_{0} \)

Za lažji prikaz:

\( \mathbb{R} ^3 \overset{\vec{r}}{\rightarrow} \mathbb{R} ^3 \overset{ \vec{F}}{\rightarrow} \mathbb{R} ^3 \)

oz. kot funkcija \( x \)-a

\[ \mathbb{R} \overset{\vec{r}}{\rightarrow} \mathbb{R} ^3 \overset{F_1}{ \rightarrow} \mathbb{R} \]

Torej je

\begin{align*} \frac{\partial }{\partial x} \left( F_1 (\vec{r}) \right) &= \left( \frac{\partial F_1}{\partial a} \right) (\vec{r}(t)) \frac{\partial }{\partial x} \left( r_1(t)) \right) + \left( \frac{\partial F_1}{\partial b} \right) (\vec{r}(t)) \frac{\partial }{\partial x} \left( r_2(t)) \right) + \left( \frac{\partial F_1}{\partial c} \right) (\vec{r}(t)) \frac{\partial }{\partial x} \left( r_3(t)) \right) \end{align*}

Odvod \( \frac{\partial r_1(t)}{\partial x} = t \), medtem ko sta odvoda \( r_2 \) in \( r_3 \) enaka 0, ker nista odvisna od x. Glej definicijo \( \vec{r} \).

Iz tega potem sledi

\begin{align*} \frac{\partial (F_1(\vec{r}))}{\partial x} &= t\left(\frac{\partial F_1}{\partial a}\right) (\vec{r}(t)) \\ \frac{\partial (F_2(\vec{r}))}{\partial x} &= t\left(\frac{\partial F_2}{\partial a}\right) (\vec{r}(t)) \\ \frac{\partial (F_3(\vec{r}))}{\partial x} &= t\left(\frac{\partial F_3}{\partial a}\right) (\vec{r}(t)) \\ \end{align*}

Nadalje

\begin{align*} \frac{\partial }{\partial x} \left[ \vec{F}(\vec{r}(t)) \right] &= t \left( \left( \frac{\partial F_1}{\partial a} \right)(\vec{r}), \left( \frac{\partial F_2}{\partial a} \right)(\vec{r}), \left( \frac{\partial F_3}{\partial a} \right)(\vec{r})\right) \\ &\overset{\text{predpostavka}}{=} t \left( \left( \frac{\partial F_1}{\partial a} \right) (\vec{r}(t)), \left( \frac{\partial F_1}{\partial b} \right) (\vec{r}(t)), \left( \frac{\partial F_1}{\partial c} \right) (\vec{r}(t)),\right) \\ &= t ( \tilde{\nabla} F_1) (\vec{r}) \end{align*}

Kjer je predpostavka \( \rot \vec{F} = 0 \), kar pomeni

\[ \begin{vmatrix} i & j & k \\ \partial_a & \partial_b & \partial_c \\ F_1 & F_2 & F_3 \end{vmatrix} = \left( \partial_b F_3 - \partial_c F_2, \partial_c F_1 - \partial_a F_3, \partial_a F_2 - \partial_b F_1 \right) = (\ldots, 0, 0) \]

in je \( \tilde{\nabla} = (\partial_a, \partial_b, \partial_c) \)

Če se tako vrnemo k prejšnjemo integralu \ref{eq:rnd1}

\begin{align*} (\partial_x u)(\omega) &= \int\limits_0^1 \left[ \left\langle t (\tilde{\nabla}F_1)(\vec{r}), \omega - \omega_0 \right\rangle + F_1(\vec{r}) \right]\,\mathrm{d t} \\ &= \int\limits_0^1 \left[ t \frac{\mathrm{d} (F_1 \circ \vec{r})}{\mathrm{dt}} + (F_1 \circ \vec{r}) \right] \,\mathrm{d t} \\ &= \int\limits_0^1 \frac{\mathrm{d} t \cdot F_1(\vec{r}(t))}{\mathrm{d} t} \,\mathrm{d t } && \text{definiramo } t \cdot F_1(\vec{r}(t)) = G_1(t) \\ &= G_1(1) - G_1(0) = 1\cdot F_{1(\vec{r}(1))} = F_1 (\omega) \end{align*}

S tem smo dokazali \( \partial_x u = F_1 \) in iz tega sledi

\[ \nabla u = \vec{F} \]

Q.E.D

Naj bo \( M \subset \mathbb{R} \) neka regularna ploskev in \( f: M \to \mathbb{R} \) zvezna.

Ploskovni integral skalarnega polja \( f \) definiramo kot

\[ \int\limits_M f \,\mathrm{d S} = \iint\limits_D f(\vec{r}(u, v)) \left| \vec{r}_u \times \vec{r}_v \right| \, \mathrm{d u} \, \mathrm{ dv} \]

kjer je \( \vec{r}: D \to M \) poljubna regularna parametrizacija za M.

Opombi

1. Za \( f = 1 \) dobimo površino ploskve
2. Definicija je neodvisna od izbire parametrizacije (je dobra).

Naj bo \( M \) zgornja polovica homogene sfere (s središčem v \( 0 \)) v \( \mathbb{R} ^3 \) z radijem \( a \). Iščemo njeno težišče \( T = (x_T, y_T, z_T) \).

Velja \( x_T = y_T = 0 \).

\begin{align*} z_T &= \frac{1}{m(M)} \iint\limits_M z \rho \, \mathrm{dS} \\ &= \frac{\rho}{\rho \frac{4 \pi a}{2}} \iint\limits_M z \, \mathrm{ dS} && f(x, y, z) = z\\ &= \frac{\rho}{\rho \frac{4 \pi a}{2}} \iint\limits_M f(x, y, z) \, \mathrm{ dS} \\ \end{align*}

Parametrizacija za \( M \): uporabimo sferične koordinate, nivojnica \( \left\{ r = a \right\} \).

\[ \vec{r} = \vec{r}(\phi, \theta) = (x, y, z) \]

\begin{align*} x &= a \sin \theta \cos \phi \\ y &= a \sin \theta \sin\phi \\ z &= a \cos \theta && \phi \in [0, 2\pi), \ \theta \in [0, \frac{\pi}{2}] \end{align*}

Iz tega potem sledi, da je

\begin{align*} I &= \int\limits_0^{2\pi}\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} a \cos \theta \left| \vec{r}_{\phi} \times \vec{r}_{\theta} \right|\,\mathrm{d } \theta\,\mathrm{d } \phi \\ &= \ldots = \pi a ^3 \end{align*}

Iz tega sledi, da je \( z_T = \frac{a}{2} \) in težišče je tako \( T = (0, 0 , \frac{a}{2}) \)

Naj bo \( M \) ploskev z orientacijo \( \vec{N} \). Ploskovni integral zveznega vektorskega polja \( \vec{F}:M \to \mathbb{R} ^3 \) je definirano s predpisom

\[ \int\limits_M \vec{F} \,\mathrm{d S} = \int\limits_M^{} \left\langle \vec{F}, \vec{N} \right\rangle\,\mathrm{d S} \]

Enoličnost definicije: Predznak integrala je odvisen od izbire ene izmed dveh orientacij \( \vec{N} \).

Opomba: Če je \( \vec{r}=\vec{r}(u, v): D \to M, \ D \subset \mathbb{R} ^2 \) neka regularna parametrizacija za \( M \), lahko vzamemo

\[ \vec{N} = \frac{\vec{r}_u \times \vec{r}_v}{\left| {\vec{r}_u \times \vec{r}_v} \right|} \]

Sledi, da je

\begin{align*} \int\limits_M^{}\vec{F}\,\mathrm{d S} &= \iint\limits_D^{} \left\langle \vec{F}(\vec{r}(u, v)), \vec{N}(u, v) \right\rangle \left| \vec{r}_u \times \vec{r}_v \right|\,\mathrm{d u} \, \mathrm{dv} \\ \implies \int\limits_M^{} \vec{F} \,\mathrm{d S} &= \int\limits_D^{} \left\langle \vec{F}(\vec{r}), \vec{r}_u \times \vec{r}_v \right\rangle\,\mathrm{d u} \, \mathrm{dv} \end{align*}

Za \( n = 1 \) je integracija po delih

\begin{align*} (uv)' &= u v' + u'v \\ uv' &= (uv) ' - u' v && \left. \right/ \mathrm{dx} \\ \int\limits_a^bu\,\mathrm{d v} &= \left. (uv) \right|^{x = b}_{x = a}- \int\limits_a^b v \,\mathrm{d u} \end{align*}

Za enodimenzionalni primer imamo \( \left\{ a, b \right\} = \partial \left[ a, b \right] \), če pa imamo območje \( M \) pa je

\[ \int\limits_M^{}\phi\,\mathrm{d V} \rightarrow \int\limits_{\partial M}^{}\tilde{\phi}\,\mathrm{d V} \]

oz. integracija po delih je

\[ \int\limits_{\partial M}^{}\psi \,\mathrm{d V} \overset{\text{lahko izrazimo kot}}{\longrightarrow} \int\limits_M^{} D \psi\,\mathrm{d V} \]

kjer je \( D \) nek diferencialni operator.

Naj bo \( \Omega \) odprta omejena množica v \( \mathbb{R}^3 \) z (odsekoma) gladkim robom, \( \vec{F} \) pa naj bo \( C^1 \) vektorsko polje v okolici \( \bar{\Omega} = \Omega \cup \partial \Omega \). Tedaj je

\[ \iint\limits_{\partial \Omega}^{} \vec{F}\,\mathrm{d S} = \iiint\limits_{\Omega}^{} \dive \vec{F} \,\mathrm{d V} \]

Opomba: \( \partial \Omega \) je ploskev z orientacijo \( \vec{N} \), ki kaže ven iz \( \Omega \), pravimo ji zunanja normala.

Dokaz: Za primer, ko \( \Omega \) lahko zapišemo kot območje md dvema grafoma, za vse tri koordinatne ravnine.

Označimo \( \vec{F} = (X, Y, Z) \). Tedaj je

\[ \dive \vec{F} = X_x + Y_y + Z_z \]

Označimo z \( \vec{N} = (N_1, N_2, N_3) \) zunanjo normalno. Želimo

\[ \iint\limits_{\partial \mho} (XN_1 + YN_2 + ZN_3) \,\mathrm{d S} = \iiint\limits_{\Omega}(X_x + Y_y + Z_z) \,\mathrm{d V} \]

Dovolj je dokazati samo za eno komponento, npr.

\[ \iint\limits_{\partial \Omega}^{} ZN_3 \,\mathrm{d S} = \iiint\limits_{\Omega} Z_z \,\mathrm{d V} \]

Desno stran enačbe označimo z DS, in levo stran označimo z LS.

Naj bo

\[ \Omega = \left\{ (x, y, z) \in \mathbb{R} ^3 ; \ f(x, y) < z < g(x, y) \right\} \]

Dokazali smo obstoj predpostavke \( f, g \).

Rob grafa je tako

\[ \partial \Omega = \Gamma_f + \Gamma_g + \text{ "plašč "} \]

Plašč je v narekovajih, ker je v našem primeru plašč valja, vendar v splošnem primeru, pa ni.

Leva stran enačbe je tako oblike

\[ \implies \mathrm{LS} = \iint\limits_{\Gamma_f} ZN_3 + \iint\limits_{\Gamma_g} ZN_3 + \iint\limits_{\text{plašč}} ZN_3 \]

Zadnji integral je enak nič, saj po definiciji naše normale, vektor normale na plašču z vrednostmi \( \vec{N} = (\cdot, \cdot, 0) \)

Parametrizacija grafa \( \Gamma_f \) je: \( \vec{r}(x, y) = (x, y, f(x, y)); \ (x, y) \in D \subset \mathbb{R} ^2 \)

Izračunamo, da je \( \left| \vec{r}_x \times \vec{r}_y \right| = \sqrt{1 + f_x ^2 + f_y ^2}\) in iz tega, dobimo, da je normala in tretja komponenta normale enaka

\[ \vec{N} = \frac{\vec{r}_x \times \vec{r}_y}{\left| \vec{r}_x \times \vec{r}_y \right|} \quad N_3 = \frac{- 1}{\sqrt{1 + f_x ^2 + f_y ^2}} \]

\[ \implies \mathrm{LS} = \iint\limits_{D} Z(x, y, f(x, y)) \left( - \frac{1}{\sqrt{1 + f_x ^2 + f_y ^2}} \right) \sqrt{1 + f_x ^2 + f_y ^2} \,\mathrm{d x} \, \mathrm{dy} + \iint\limits_{D} Z(x, y, g(x, y)) \left( \frac{1}{\sqrt{1 + g_x ^2 + g_y ^2}} \right) \sqrt{1 + g_x ^2 + g_y ^2} \,\mathrm{d x} \, \mathrm{dy} \]

Drugi člen produkta je \( N_3(\vec{r}) \) in tretji člen \( \left| \vec{r}_x \times \vec{r}_y \right| \)

Iz tega nadalje sledi

\begin{align*} \implies \mathrm{LS} &= \iint\limits_D \left[ Z(x, y, g(x, y)) - z(x, y, f(x, y)) \right]\,\mathrm{d x} \, \mathrm{dy} \\ &= \iiint\limits_{f(x, y)}^{g(x, y)} Z_z (x, y, t) \,\mathrm{d t} \, \mathrm{dx dy} \\ &= \iiint\limits_{\Omega} Z_z \,\mathrm{d V} = \mathrm{DS} \end{align*}

In s tem je glavnina dokaza enaka.

Kot je značilno za knjige v zahodnem svetu dodamo podnaslov, ki je zmeraj daljši od naslova.

Odpravljanje pogoja, da je \( \Omega \) območje med dvema sferama.

\[ \Omega = \Omega_1 \cup \Omega_2 \]

kjer \( \Omega_1, \ \Omega_2 \) zadoščata pogoju, da sta med dvema grafoma. Iz tega sledi,

\begin{align*} \iiint\limits_{\Omega}^{}\dive \vec{F} \,\mathrm{d V} &= \iiint\limits_{\Omega_1}^{} \dive \vec{F} \,\mathrm{d V} + \iiint\limits_{\Omega_2}^{} \dive \vec{F} \,\mathrm{d V} \\ &\overset{\text{Gauss}}{=} \iint\limits_{\partial \Omega_1}^{}\vec{F} \,\mathrm{d S} + \iint\limits_{\partial \Omega_2}^{}\vec{F} \,\mathrm{d S} \end{align*}

vendar velja, da \( \partial \Omega \ne \partial \Omega_1 \cup \partial \Omega_2 \).

Integrala po \( \Sigma \) se izničita, ker integriramo isto funkcijo, toda vsakič z nasprotno normalo.

Imamo \( \Omega = K(0, 1) \) enotsko kroglo v \( \mathbb{R} ^3 \) in vektorsko polje \( \vec{F} = (x, y, z) \ (\vec{F} = \mathrm{id}) \)

\begin{align*} \iint\limits_{\partial \Omega}^{} \vec{F} \,\mathrm{d }\vec{S} &\overset{\text{Gauss}}{=} \iiint\limits_{\Omega}^{} \dive \vec{F} \,\mathrm{d V} \\ &= 3V(\Omega) = 4\pi \end{align*}

Imamo vektorsko polje \( \vec{F} = (y ^2, z ^3, x ^2) \) in plašč stožca \( M = \Sigma = \left\{ x ^2+ y ^2 \le z ^2 \text{ in } 0 \le z \le 1 \right\}\)

Zanima nas integral

\[ I = \iint\limits_M^{} \vec{F} \,\mathrm{d }\vec{S} \]

Območje lahko parametriziramo kot

\[ \Sigma = \left\{ (r \cos \phi, r \sin \phi, z); r \le z \le 1 \right\} \]

Želimo uporabiti Gaussov izrek. Poiščemo \( \Omega \) tako, da je \( M \) del \( \partial \Omega \). Vzamemo \( \Omega := \Sigma, \ \partial \Omega = M \cup K \), kjer je \( K \) osnovna ploskev stožca. Tako je

\begin{align*} \iint\limits_M^{} \vec{F} \,\mathrm{d }\vec{S} &= \iint\limits_{\partial \Omega}^{} \vec{F} \,\mathrm{d S} - \iint\limits_K^{} \vec{F} \,\mathrm{d }\vec{S} \\ &\overset{\text{Gauss}}{=} \iiint\limits_{\Omega}^{} \dive \vec{F} \,\mathrm{d V} - \iint\limits_K^{} \vec{F} \,\mathrm{d } \vec{S} \\ \dive \vec{F} &= 0 && \text{ glej definicijo divergence } \\ &= - \iint\limits_K^{} \vec{F} \,\mathrm{d }S = \ldots = - \frac{\pi}{4} \end{align*}

kjer smo \( K := \left\{ (r \cos \phi, r \sin \phi, 1); \ r \in [0, 1], \phi \in [0, 2\pi] \right\} \) parametrizirali.

Biti ali ne biti konsistenten z vektorskimi oznakami. To je sedaj vprašanje.

Naj bo \( \vec{F} = (U, V, W) \) vektorsko polje definirano v okolici točke \( \vec{r}_0 \in \mathbb{R} ^3 \).

Tedaj je

\[ (\dive \vec{F})(\vec{r}_0) = \left(\frac{\partial U}{\partial x} + \frac{\partial V}{\partial y} + \frac{\partial W}{\partial z} \right) (\vec{r}_0) \]

Za divergenco potrebujemo (ortonormirani) koordinatni sistem, za \( \vec{F} \) ga pa ne. Kaj se zgodi, če en ONS nadomestimo z drugim? Kako se to pozna na divergenci?

Naj bo \( \vec{F} \in C^1 \).

\[ \left( \dive \vec{F} \right)(\vec{r}_0) = \lim_{\epsilon \searrow 0} \left\langle \dive \vec{F} \right\rangle_{K(\vec{r}_0, \epsilon)} \]

Kjer je \( (\dive \vec{F}) \) zvezna funkcija v okolici \( \vec{r}_0 \) in pa \( \left\langle \dive \vec{F} \right\rangle_{K(\vec{r}_0, \epsilon)}\) povprečje \( \dive \vec{F} \) po krogli \( K(\vec{r}_0, \epsilon) \).

Oziroma drugače povedano

\[ \frac{1}{V(K(\vec{r}_0, \epsilon))} \iiint\limits_K^{} \dive \vec{F} \,\mathrm{dV} \frac{3}{4\pi} \frac{1}{\epsilon ^3} \iint\limits_{S ^2 (\vec{r}_0, \epsilon)}^{} \vec{F} \,\mathrm{d }\vec{S} \]

kar je neodvisno od izbire koordinat.

In odgovor na zgornja vprašanja je, da se nič ne zgodi.